正切函数的图象和性质(两节课)

正切函数的图象和性质（两节课）
教学要求：会用“正切线”画正切函数的图象，掌握正切函数的性质及简单应用。

教学过程
（1）复习单位圆中的正切线 A T=tan α （2）利用正切线画函数y= tan αx ∈)2
,
2(π
π
-
的图象
步骤是：①作直角坐标，并在x=2
π
-
的左侧作单位圆
②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8
π
）.分别在单位圆中作出正切线；
③把横坐标从2
π
-
到
2
π
也分成8分
④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线。

以上步骤希多数同学跟老师一起完成
由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2
,
2
(π
π
-的图
象左、右移动k π个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x ≠k π+2
1π）的图象.
（3）正切函数的性质
①定义域{x|x ∈R 且x ≠k π+
2
π
，k ∈z}.
②值域， 当x 沿正方向接近k π+2
π
时，y 的值无限增大，当x 沿负向接近k π－
2
π
时，
y 的值无限减少，这是说y 可取任何实数 .值域为R . ③周期性 ，由于tan(x+π)=tanx ，周期为π
④奇偶性， 由于tan(－x)=tanx ，y=tanx 是奇函数 ⑤单调性，通过函数图象可以看到，在每个开区间（k π－
2
π
，k π+
2
π
），k ∈z 正切函
数都是增函数。

（注意，不能说正切函数在定义域内是增函数。

）
例1．求y=tan(x+4
π
)的定义域
解：x+
4
π
≠k π+2
π
，得x ≠k π+
4
π
，定义域是{x| x ≠k π+
4
π
，k ∈z}
例2．比下列各组正切函数值的大小.
（1）tan167°与tan173° （2）tan （－
)5
13tan()4
11ππ-
与
解（1）90°<167°<173°<270°y=tanx 在(90°, 270°)内是增函数，∴tan167°< tan 173°
（2）tan （－π4
11）=tan （－π4
3） tan （－π5
13）=tan （－
π5
3）
－
)2
,23(tan ,2
5
34
32
3π
ππ
πππ-
-
=-
<-
<-<在而x y 内是增函数
).5
13tan()4
11tan()5
3tan()4
3tan(πππ-
<-
-<-
∴即x
例3．判断下列函数的奇偶性
（1）y=tan 3x （2）y=3+2cosx+x ·tanx 解：（1）f （－x ）=[tan(－x)]3=(－tanx)3=－tan3x=－fx 是奇函数
（2）f （－x ）=3+2cos(－x)+ (－x)tan(－x)=3+2cosx+x ·tanx 是偶函数 . 例4．求下列函数的周期
（1）y=3tan(2x+
3
π
) （2）y=7tan(
3
x －
6
π
)
解：（1）f(x)= 3tan(2x+
3
π
)=3tan(2x+
3π
+π)= 3tan[2（x+2
π
）+
3
π
]=f(x+
2π
). ∴周期为2
π
.
（2）f(x)= y=7tan(3
x －6
π
)=7tan(3
x －
6
π
+π)=7 tan[
3
1（x+3π）－
6
π
]=f(x+3π)
∴周期为π. 例5．求函数y=3 tan （2
1x+
4
π
）的单调区间.
解：设u=
2
1x+
4
π
，u 是x 的增函数 .当k π－2
π
<u< k π+
2
π
时，y 是u 的增函数.
∴当k π－
2
π
<
21x+
4
π
< k π+
2
π
时，y 是π的增函数. 解得，2 k π－
2
3π
<x<2 k π+
2
π
, k ∈z . 即x ∈（2 k π－
2
3π，2 k π+
2
π
）（k ∈z ）时
是增函数
总结①正切函数图象的作法
②正切函数性质
③正切函数性质的应用
布置作业，课本P 72 1、2、3、4、5、6 .。