广东省深圳外国语学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

2
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知函数
f
(x)
=
ìï1
í ïî
ln
( x=1) x -1
， (x ¹ 1)
若方程 f 2 (x)+af (x) + b = 0 有九个不同实根，
则 ab 的取值范围是（ ） A． (-¥, - 2) U (-2, 0)
C．
(-¥,
1 4
]
B． (-¥, -1) U (-1, +¥) D． (-2, +¥)
应关系完全一致，是同一函数，故 D 符合题意. 故选：D. 3．C
【分析】根据地震释放出的能量 E 与地震级数 M 之间的关系式 lg E = 4.8 + 1.5M ，将两次地
震等级分别代入，利用对数运算法则可得两次能量 E 的比值，近似计算可确定选项. 答案第11 页，共22 页
【详解】设 6.9 级地震所释放出来的能量是 E1 ，日本 5.1 级地震所释放出来的能量是 E2 ， 则 lg E1 = 4.8 + 1.5´ 6.9 ， lg E2 = 4.8 + 1.5 ´ 5.1 ；
( ) 可得 lg E1 - lg E2
=
lg
E1 E2
=
2.7
，所以
E1 E2
= m = 102.7 Î
102.5 ,103
而
5
102.5 = 102
= 100
10 » 316 ，即 m Î (316,1000) .
故选：C
4．A
【分析】由扇形的弧长和面积公式求解即可.
【详解】因为扇形的圆心角弧度为 2，所对弦长为 4， O 为圆心，如下图，
10．设函数 f ( x) = sin x cos x +
3 cos2 x -
3 ，给出下列命题，正确的是（ 2
）
A．
f
(
x)
的图象关于点
æ çè
p 3
,
0
ö ÷ø
对称
B．若 f ( x1 ) - f ( x2 ) = 2 ，则 x1 - x2 min = p
C．把
f
(
x
)
的图象向左平移
p 12
个单位长度，得到一个偶函数的图象
x2
>
0
是
F
(
x1 )
+
F
( x2
)
>
0
的充要条件.
试卷第61 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合 M 的外部与集合 N 集合 P 交集内部的公共部 分，求解即可.
【详解】根据题意，阴影部分为集合 M 的外部与集合 N 集合 P 交集内部的公共部分，
即 (ðU M ) Ç ( N Ç P) .
故选：C. 2．D 【分析】同一函数要满足中两个条件：第一：定义域相同，第二：对应关系完全一致，根 据两个条件即可判断.
【详解】对于选项
A，
y
=
x
定义域为 R
，
y
=
x2 x
定义域为{x |
x
¹
0} ，函数定义域不相同，
不是同一函数，故 A 不符合题意；对于B，y源自=cosx×
tanx
定义域为
ì í
x
î
D．在(0, 2p
)
内使
f
(
x)
=
1 2
的所有
x
的和为
13 3
p
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用
其名字命名的“高斯函数”为：设 x Î R ，用[x] 表示不超过 x 的最大整数，则 y = [x]
称为高斯函数．例如：[-2.3] = -3 ，[3.2] = 3 ，下列命题正确的是（ ）
A．
x0
Î
(0,
1 2
)
B． ln(2 - x0 ) = x0
试卷第31 页，共33 页
C． x0 - e-x0 < 0
D．
x 2- x0 0
>e
三、填空题
13．已知a
Î
(
0,
p
)
，若
sin
æçèa
-
p 6
ö ÷ø
=
3 3
，则
cos
æ çè
2a
+
p 6
ö ÷ø
=
.
14．写出一个符合下列要求的函数：
广东省深圳外国语学校 2023-2024 学年高一上学期期末考 试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．如图，U 是全集， M ， N ， P 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． M Ç ( N Ç P)
答案第31 页，共22 页
根据图像可得，点 A 为函数 y = x2 与 y = x -1 ,( x < 1) 的交点，
所以 x2
= 1- x 解得 x
=
1
2
5
，故点 A 的横坐标为 12
5
，
点 B 为函数 y = 3x 与 y = x -1 ,( x < 1) 的交点，
所以
3x
则下列各数中最接近 m 的值为（ ）
A．100
B．310
C．500
D．1000
4．已知扇形的圆心角为 2 弧度，且圆心角所对的弦长为 4，则该扇形的面积为（ ）
试卷第11 页，共33 页
A．
4 sin 2
1
B．
4 cos2
1
C． 4 sin2 1
D． 4 cos2 1
5．若两个正实数
x，y
满足
x
+
y
=
3
，且不等式
x
4 +
1
+
16 y
>
m2
-
3m
+
5
恒成立，则实数
m 的取值范围为（ ）
A．{m -4 < m < 1}
B．{m m < -1或 m > 4}
C．{m -1 < m < 4}
D．{m m < 0 或 m > 3}
ìa，，a ³ b a ³ c
f ( x) = { max x2, x -1 ,3x}
|πx,
¹
π 2
+
k
k
Î
Züý þ
，
y
=
sinx
定义域为
R
，函数定义域不
相同，不是同一函数，故 B 不符合题意；
对于 C， y = log2x 定义域为{x | x > 0} ，函数 y = log4x2 定义域为{x | x ¹ 0} ，函数定义域不
相同，不是同一函数，故 C 不符合题意；
对于 D， y = x 定义域为 R ， y = x2 定义域为 R ，且 y = x2 = x ，函数定义域相同，对
21．已知函数
f
(x)
=
3x - a 3x+1 + 3
是奇函数.
(1)求 a 的值，判断 f ( x) 的单调性（不必证明）｡
试卷第51 页，共33 页
(2)解不等式： log2 f ( x) + 2 £ 0 .
22．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基 于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数
a
+
b
(
a
>
0,
b
>
0)
，则
1 a
+
3 b
的最小值为
．
四、解答题
2
17．（1）计算：
6log6 7
+
2lg5
-
(sin1)0
+
lg4
+
æ çè
8 27
ö3 ÷ø
（2）已知 x-2 + x2 = 6 ，求 x-3 + x3 的值. 18．如图，已知单位圆 O 与 x 轴正半轴交于点 M ，点 A, B 在单位圆上，其中点 A 在第
3．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例
如，地震时释放出的能量 E （单位：焦耳）与地震级数 M 之间的关系式为
lg E = 4.8 +1.5M .2022 年 9 月 18 日 14 时 44 分在中国台湾花莲发生的 6.9 级地震所释放出
来的能量是 2020 年 12 月 30 日 8 时 35 分在日本本州东海岸发生的 5.1 级地震的 m 倍，
即 (m - 4)(m +1) < 0 ，解得 -1 < m < 4 .
故选：C. 6．D 【分析】根据题意，在同一个直角坐标系中画出三个函数的图象，结合最大值的含义可直 接得出最小值. 【详解】在同一直角坐标系中作出函数 y = x2 , y = x -1 , y = 3x ，
{ } 根据题意可得函数 f ( x) = max x2, x -1 ,3x 为图中黑线表示部分，
｡
① f ( x) 的值域为 R ② f ( x +1) 为偶函数
15．函数
f
(x)
=
x
-1
与函数
g(x)
=
2
cos
é 5π êë 2
( x -1)ùúû 的图象所有交点的横坐标之和为
．
( ) 16．函数 f
ln
(x) =
e2x +1 x
在区间 éë-e, -1]U[1,eùû 上的最大值与最小值之和为
B． M È ( N Ç P)
C．(ðU M ) Ç ( N Ç P)
2．下列两个函数为同一函数的为（ ）
D． (ðU M ) È ( N Ç P)
A．
y
=
x；y
=
x2 x
B． y = cosx × tanx；y = sinx
C． y = log2x；y = log4 x2
D． y = x ；y = x2
y
)
æ ç è
x
4 +
1
+
16 y
ö ÷ ø
结合基本不等式求出
x
4 +1
+
16 y
的最小值，
进而得 m2 - 3m + 5 < 9 ，再解一元二次不等式即可.
答案第21 页，共22 页
【详解】由题意知，
x
4 +1
+
16 y
=
1 4
(
x
+
1
+
y
)
æ ç è
x
4 +
1
+
16 y
ö ÷ ø
=
1 4
éê4 ë
(2)若
f
( x) 是定义在 R 上的倒函数，当 x £ 0
时，
f
(x)
=
1 3-x +
x4
，方程
f
(x) =
2023 是
否有整数解？并说明理由；
(3)若 f ( x) 是定义在 R 上的倒函数，其函数值恒大于 0，且在 R 上单调递增.记
F
(x)
=
éë
f
( x)ùû2 f (x)
-1
，证明：
x1
+
一象限，且 ÐAOB
=
π 2
，记 ÐMOA
=
a , ÐMOB
=
b
.
试卷第41 页，共33 页
(1)若a
=
π 3
，求点
A,
B
的坐标；
(2)若点
A
的坐标为
æ çè
4 5
,
m
ö ÷ø
，求
sina
-
sin
b
的值.
19．湖南株洲市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定
成本为 500 万元，每生产 x 台，需要另投入成本 h ( x) （万元），当年产量小于 60 台时，
h
(
x
)
=
x2
+
20x
（万元）；当年产量不少于
60
台时
h
(
x)
=
102 x
+
9800 x
-
2080
（万元）.
若每台设备的售价为 100 万元，通过市场分析，假设该企业生产的电子设备能全部售.
（1）求年利润 y （万元）关于年产量 x （台）的函数关系式？ （2）年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？
y = f ( x) ，如果对于其定义域 D 中任意给定的实数 x ，都有 -x Î D ，并且
f ( x) × f (-x) = 1，就称函数 y = f ( x) 为“倒函数”.
(1)已知
f
(x)
= 10x
，
g (x)
=
22+
x x
，判断
y
=
f
(x) 和
y
=
g ( x) 是不是倒函数，并说明理
由；
+
4y x +1
+
16 (
x y
+
1)
+
16ùú û
³
1 4
é ê20 êë
+
2
x4+y1 ×
16
(
x+ y
1)
ù ú úû
=
9
，
当且仅当
4y x +1
=
16 (
x +1)
y
，即
x
=
1 3
,
y
=
8 3
时取等，又不等式
x
4 +
1
+
16 y
>
m2
-
3m
+
5
恒成立，
则不等式 m2 - 3m + 5 < 9 ，
20．设函数 f (x) =
3 sin
x cos
x
+
3sin 2
x
-
3 2
.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数 y = f (x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得
到的图象向左平移
p 4
个单位，得到函数
y
=
g(x)
的图象，求
g(
x)
在[-
p 4
,
3p 4
]
上的值域.
二、多选题
9．下列条件中，其中 p 是 q 的充分不必要条件的是（ ）
试卷第21 页，共33 页
A． p : a ³ 1, b ³1； q : a + b ³ 2
B．
p
:
tan a
=1；
q
:πa(
=