北京市清华大学附属中学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试(答案解析)

一、选择题
1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12
AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（ ）
A ．35cm
B ．30cm
C ．25cm
D ．20cm 2．如图，已知等腰ABC 的底角15C ︒∠=，顶点B 到边AC 的距离是3cm ，则AC 的长为
（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm 3．若实数a ，b 满足a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，且a ，b 恰好是等腰△ABC 两条边的长，则△ABC 周长为（ ）
A ．8
B ．8或10
C ．12
D ．10
4．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥，垂足为E ，//BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠，2AE BF =．下列四个结论中：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥；④3AB BF =．其中正确的结论共有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．如图，ABC 中，45ABC ︒∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD CD =；②AE BG =；③2CE BF =；④AD CF BD +=．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
6．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：
①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且62EBD ∠=，则AEB ∠的度数是（ ）
A ．124
B ．122
C ．120
D ．118 8．已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则其周长为（ ）
A ．12
B ．9
C ．10
D ．12或9 9．若海岛N 位于海岛M 北偏东30°的方向上，则从海岛N 出发到海岛M 的航线可能是
（ ） A ． B ．
C ．
D ．
10．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12
AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．75°
D ．45°
11．如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形．
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
12．如图，在ABC ∆中，5AC =，线段AB 的垂直平分线交AC 于点,D BCD ∆的周长是9，则BC 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题
13．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，
::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．
14．如图，在ABC 中，22A ∠=︒，D 为AB 边中点，E 为AC 边上一点，将ADE 沿着DE 翻折，得到A DE '，连接A B '．当A B A D ''=时，A EC '∠的度数为______．
15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝4cm ．则BP 的长＝________．
16．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝62 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是_____________．
17．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．
18．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，AB =6，AC =14，∠ABC =3∠C ，则BE =____．
19．如图，在ABC 中，30EFD ∠=︒，且AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，则B 的度数为______．
20．△ABC 中，∠A =50°，当∠B =____________时，△ABC 是等腰三角形．
三、解答题
21．如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF ．
求证：（1）Rt △ABF ≌Rt △DCE ；
（2）OE ＝OF ．
22．在等边ABC ∆中，
（1）如图1，P ，Q 是BC 边上两点，AP AQ =，20BAP ∠=︒，求AQB ∠的度数； （2）点P ，Q 是BC 边上的两个动点（不与B ，C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP AQ =，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接AM ，PM ．
①依题意将图2补全；
②求证：PA PM =．
23．如图，在平面直角坐标系中，(2,4)A ，(3,1)B ，(2,1)C --．
（1）在图中作出ABC 关于x 轴的对称图形111A B C △，并直接写出点1C 的坐标：________；
（2）求ABC 的面积：
（3）点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，若6PQ =，则点P 的坐标为________． 24．如图，在ABC 中，90,C AC BC ∠=︒>，D 为AB 的中点，E 为CA 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ．作点B 关于直线DF 的对称点G ，连接DG ．
（1）依题意补全图形；
（2）若ADF α∠=．
①求EDG ∠的度数（用含α的式子表示）；
②请判断以线段,,AE BF EF 为边的三角形的形状，并说明理由．
25．已知：90,A D AB DC ︒∠=∠==，点,E F 在直线BC 上，位置如图所示，且BE CF =．
（1）求证：AF DE =；
（2）若PO 平分EPF ∠，求证：PO 垂直平分线段BC ．
26．在如图所示的方格纸中，
（1）作出ABC 关于MN 对称的111A B C △；
（2）222A B C △是由111A B C △经过怎样的平移得到的？并求出111A B C △在平移过程中所扫过的面积．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵MN 垂直平分线段AD ，
∴AC=DC ，AE+ED=AD=10cm ，
∵AB+BC+AC=15cm ，
∴AB+BC+DC=15cm ，
∴△ABD 的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
2．D
解析：D
【分析】
根据等腰三角形的性质，可得∠BAD=30°，再利用30度角所对直角边等于斜边的一半，求出AB 即可．
【详解】
解：∵AB=AC ，
∴∠C=∠ABC=15°，
∴∠BAD=30°，
∵BD ⊥AC ，
∴∠BDA=90°，
∴AB=2BD ，
点B 到边AC 的距离是3cm ，即BD=3cm ，
∴AB=2BD=6cm ，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，解题关键是利用等腰三角
形的性质把已知的15°角转化为30度角．
3．D
解析：D
【分析】
由已知等式，结合非负数的性质求a 、b 的值，再根据等腰三角形的性质，分类求解即可．
【详解】
解：∵a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，
∴(a －2)2+(b －4)2=0，
∴a−2＝0，b−4＝0，
解得：a ＝2，b ＝4，
当a ＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三角形三边关系定理；
当n ＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三角形三边关系定理，周长为：2＋4＋4＝10． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求a ，b 的值，再根据a 或b 作为腰，分类求解．
4．A
解析：A
【分析】
根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠ABC=∠C ，得到AC=AB ，根据等腰三角形的性质得到DB=DC ，AD ⊥BC ，证明△CDE ≌△BDF ，根据全等三角形的性质证明得到答案．
【详解】
解：∵BC 平分∠ABF ，
∴∠ABC=∠FBC ，
∵BF ∥AC ，
∴∠C=∠FBC ，
∴∠ABC=∠C ，
∴AC=AB ，
∵AC=AB ，AD 是△ABC 的角平分线，
∴DB=DC ，AD ⊥BC ，故②、③说法正确；
在△CDE 和△BDF 中，
C DBF C
D DB
CDE BDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），
∴DE=DF ，故①说法正确；
∵△CDE ≌△BDF ，
∴BF=CE ，
∵AE=2BF ，
∴AB=AC=3BF，故④说法正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，
得出CE＝AE＝1
2
AC，又因为BF＝AC所以CE＝
1
2
AC＝
1
2
BF，连接CG．因为△BCD是等
腰直角三角形，即BD＝CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG＝CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
【详解】
解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG．
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故②错误．
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE＝AE＝1
2
AC．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC，
∴CE＝1
2AC＝
1
2
BF，
∴2CE＝BF；
故③正确；
由③可得△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故④正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
6．D
解析：D
【分析】
首先根据等边三角形性质得出BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD与
△ACE全等、△BCF与△ACG全等以及△DFC与△EGC全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．
【详解】
∵△ABC与△CDE为等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
即：∠ACE=∠BCD，
在△BCD与△ACE中，
∵BC=AC，∠ACE=∠BCD，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD，即①正确；
在△BCF与△ACG中，
由①可知∠CBF=∠CAG ，
又∵AC=BC ，∠BCF=∠ACG=60°，
∴△BCF ≌△ACG(ASA)，
∴AG=BF ，即②正确；
在△DFC 与△EGC 中，
∵△BCF ≌△ACG ，
∴CF=CG ．即④正确；
∵∠GCF =60°，
∴△CFG 为等边三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG ∥BE ，即③正确；
综上，①②③④都正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．
7．B
解析：B
【分析】
由等边三角形的性质，得到AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，然后证明△ACE ≌△BCD ，则∠CAE=∠CBD ，由角的关系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案．
【详解】
解：如图：
∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD ，
∴△ACE ≌△BCD ，
∴∠CAE=∠CBD ，
即6062BAE EBC ︒-∠=︒-∠，
∵60EBC ABE ∠=︒-∠，
∴6062(60)BAE ABE ︒-∠=︒-︒-∠，
∴58ABE BAE ∠+∠=︒，
∴18058122AEB ∠=︒-︒=︒；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识，正确求出58ABE BAE ∠+∠=︒． 8．A
解析：A
【分析】
由等腰三角形有一边长为5，一边长为2，可分两种情况：①5为腰长，2为底边长；②2为腰长，5为底边长，依次分析即可求得答案．
【详解】
解：①若5为腰长，2为底边长，
∵5，5，2能组成三角形，
此时周长为：5+5+2=12；
②若2为腰长，5为底边长，
∵2+2=4<5，不能组成三角形，故舍去；
∴三角形周长为12．
故选：A ．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，解题的关键是注意分类讨论． 9．D
解析：D
【分析】
根据题意画出图形，再利用“上北下南”求出方向角即可．
【详解】
解：如图：
∵海岛N 位于海岛M 的北偏东30°方向上，∴海岛N 在海岛M 上方，故排除A ､B 选项， 根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，排除选项C ，
故选D ．
【点睛】
本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角的概念．
10．A
解析：A
【分析】
根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．
【详解】
又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，
∴DA=DB ，
∴∠A=∠ABD ，
设∠A=x ，则∠ABD=x ，
∵15DBC ∠=︒，
∴∠ABC=x+15°，
∵AB=AC ，
∴∠C=∠ABC=x+15°，
∴2(x+15°)+x=180°，
∴x=50°，
故选A ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
先确定对称轴，再找到对称点进而可以找到符合题意的对称三角形即可．
【详解】
解：如图，左右对称的有4个，
如图，上下对称的有1个，
如图，关于正方形的对角线对称的有2个，
∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的性质，找到正确的对称轴，画出相应的对称三角形是解决本题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
首先根据DE是线段AB的垂直平分线，可得AD＝BD，然后根据△BCD的周长是9cm，以及AD＋DC＝AC，求出BC的长即可．
【详解】
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BCD的周长是9cm，
∴BD＋DC＋BC＝9（cm），
∴AD＋DC＋BC＝9（cm），
∵AD＋DC＝AC，
∴AC ＋BC ＝9（cm ），
又∵AC ＝5cm ，
∴BC ＝9−5＝4（cm ）．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二、填空题
13．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得
∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点 解析：80
【分析】
先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．
【详解】
解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，
∴AD=CD ，AE=BE ，
∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，
∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，
∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，
∴,2C x B x ∠=∠=，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴322180x x x x x ++++=︒，
解得20x =︒，
∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，
故答案为：80．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．
14．【分析】根据折叠的性质可得根据及折叠的性质可得为等边三角形再根据三角形的外角性质求解即可【详解】在中将沿着翻折交于点得到如图；∴∴∵为边中点∴为等边三角形∴∴∵即∴故答案为：【点睛】本题考查了全等三 解析：16
【分析】
根据折叠的性质可得AED A ED '≅，根据A B A D ''=及折叠的性质可得
A BD '为等边
三角形，再根据三角形的外角性质求解即可
【详解】
在ABC 中，22A ∠=︒，将ADE 沿着DE 翻折，A D '交AC 于点F ,得到A DE '，如图；
∴
AED A ED '≅ ∴1=,222
AD A D AB EA D A ''===∠∠, ∵A B A D ''=，D 为AB 边中点，
∴A B A D DB ''==,A BD '为等边三角形， ∴=60A DB '∠，
∴60A AFD +=∠∠，
∵=AFD EA D A EC ''+∠∠∠
即()60A EA D A EC ''++=∠∠∠
∴=16A EC '∠.
故答案为：16
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是根据折叠找到对应的边角关系
15．8cm 【分析】先根据已知条件求得PA=PC 再含30度直角三角形的性质求得BP 的长即可【详解】解：
∵AB=AC ∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵∠BAC=120°∠BAP=90°∴∠PAC=30 解析：8cm
【分析】
先根据已知条件求得PA=PC ，再含30度直角三角形的性质求得BP 的长即可．
【详解】
解：∵AB=AC ，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，
∴∠PAC=30°，
∴∠C=∠PAC ，
∴PA=PC=4cm，
∵∠BAP=90°，∠B=30°，
∴BP=2AP=8cm．
故答案为：8cm
【点睛】
本题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件求得PA=PC=4cm，再根据含30度直角三角形的性质求得BP的长．
16．6【分析】作BH⊥AC垂足为H交AD于M′点过M′点作M′N′⊥AB垂足为N′则BM′+M′N′为所求的最小值再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′再由锐角三角函数的定义即可得出结论【详解
解析：6
【分析】
作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】
解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=2∠BAC=45°，
∴BH=AH
∴222
+=
AH BH AB
∴BH=6．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6．
故答案为6．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
17．50【分析】作M关于OB的对称点N关于OA的对称点连接交OB于点P
交OA于点Q连接MPQN可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M关于OB的对称点N关于OA的对称点
【分析】
作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时
OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】
作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN
++最小，即MP PQ QN M N '
'++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，
∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22
QPN OQP αβ∠=
︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴
11(180)25(180)22
αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ． 故答案为：50．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．
18．【分析】如图延长交于证明可得再求解再证明：可得从而可得答案【详解】解：如图延长交于AD 平分∠BAC 故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理三角形的外角的性质角平分线的定义等腰三角形的判定与性 解析：4.
如图，延长BE ，
交AC 于G ， 证明,AGB ABG ∠=∠ 可得,AG AB = ,GE BE = 再求解CG ，
再证明：C CGB ∠=∠， 可得,BG CG = 从而可得答案． 【详解】
解：如图，延长BE ，
交AC 于G ，
AD 平分∠BAC ，
,GAE BAE ∴∠=∠
,BE AD ⊥
90AEG AEB ∴∠=∠=︒，
,AGB ABG ∴∠=∠
6AG AB ∴==，
,GE BE = 14AC =，
8CG ∴=，
,AGB C CBG ∠=∠+∠
2,ABC ABG CBG AGB CBG C CBG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠
3,ABC C ∠=∠
32,C C CBG ∴∠=∠+∠
,C CBG ∴∠=∠
8BG CG ∴==，
1 4.2
BE BG ∴== 故答案为：4.
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
19．120°【分析】设∠ABC=根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论【详解】设∠ABC=∴∵∴∴∴∴∴∴故答案为：120°【点睛】本题考查了三角形内角和定理等腰三角形的性质等知识解题的
解析：120°
【分析】
设∠ABC=x ，根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
设∠ABC=x ，
∴180A C x ∠+∠=︒-．
∵AFE AEF ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，
∴2180A AFE ∠+∠=︒，2180C CFD ∠+∠=︒，
∴()()22360A C AFE CFD ∠+∠+∠+∠=︒，
∴22180AFE CFD x ∠+∠=︒+， ∴1902AFE CFD x ∠+∠=︒+
， ∴118090302EFD x ⎛⎫∠=︒-︒+
=︒ ⎪⎝⎭
， ∴120x =︒，
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．50°或80°或65°【分析】由已知条件根据题意分三种情况讨论：①∠A 是顶角；②∠A 是底角∠B ＝∠A 时③∠A 是底角∠B ＝∠A 时利用三角形的内角和进行求解【详解】①∠A 是顶角∠B ＝（180°−∠A ）÷
解析：50°或80°或65°
【分析】
由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A 是顶角；②∠A 是底角，∠B ＝∠A 时，③∠A 是底角，∠B ＝∠A 时，利用三角形的内角和进行求解．
【详解】
①∠A 是顶角，∠B ＝（180°−∠A ）÷2＝65°；
②∠A 是底角，∠B ＝∠A ＝50°．
③∠A 是底角，∠A ＝∠C ＝50°，则∠B ＝180°−50°×2＝80°，
∴当∠B 的度数为50°或65°或80°时，△ABC 是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明； （2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB ＝∠DEC ，再根据等腰三角形的性质得出结论．
证明：（1）∵BE ＝CF ，
∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ，
∵∠A ＝∠D ＝90°，
∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形，
在Rt △ABF 和Rt △DCE 中
∵BF CE AB CD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）；
（2）∵Rt △ABF ≌Rt △DCE （已证），
∴∠AFB ＝∠DEC ，
∴OE ＝OF ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL 判断两个直角三角形全等，是解题的关键．
22．（1）80°；（2）①见解析；②见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质求解即可；
（2）①根据题意画图即可；②过点A 作AH BC ⊥于点H ，根据等边三角形的性质得到PAB QAC ∠=∠，再根据点Q ，M 关于直线AC 对称，得到AP=AM ，得到APM ∆为等边三角形，即可得到答案；
【详解】
（1）ABC ∆为等边三角形，
60B ∴∠=︒，
80APC BAP B ∴∠=∠+∠=︒，
AP AQ =，
80AQB APC ∴∠=∠=︒；
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A 作AH BC ⊥于点H ，如图．
ABC ∆为等边三角形，AP AQ =，
BAH CAH ∴∠=∠，PAH QAH ∠=∠，
PAB QAC ∴∠=∠，
点Q ，M 关于直线AC 对称，
QAC MAC ∴∠=∠，AQ AM =，
60MAC PAC PAB PAC ∴∠+∠=∠+∠=︒，
AP AM =，
APM ∴∆为等边三角形，
PA PM ∴=．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，准确分析判断是解题的关键．
23．（1）作图见详解，（−2，1）；（2）8.5；（3）（5，3）或（−1，−3）
【分析】
（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．
（2）利用分割法求解即可．
（3）先根据P ，Q 关于x 轴对称，得到Q 的坐标，再构建方程求解即可．
【详解】
（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求．点C 1的坐标（−2，1）．
故答案为：（−2，1）；
（2）S △ABC ＝5×5−12×1×3−12×4×5−12
×2×5＝8.5． （3）∵点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，
∴Q (),2a a -，
∵6PQ =，
∴|(a-2)-(2-a)|=6，解得：a=5或a=-1，
∴P （5，3）或（−1，−3）．
故答案为：（5，3）或（−1，−3）．
【点睛】
本题考查了作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握关于坐标轴对称的两点的坐标特征，属于中考常考题型．
24．（1）补图见解析；（2）①90EDG α∠=︒-；②以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，理由见解析．
【分析】
(1)根据题意画出图形解答即可；
(2) ①根据轴对称的性质解答即可；②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE GE =，进而解答即可．
【详解】
解：（1）补全图形，如图所示，
（2）①∵ADF α∠=，∴180BDF α∠=︒-，
由轴对称性质可知，180GDF BDF α∠=∠=︒-，
∵DF DE ⊥，∴90EDF ∠=︒，
∴1809090EDG GDF EDF αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-，
②以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形，
如图,连接,GF GE ，
由轴对称性质可知，,GF BF DGF B =∠=∠，
∵D 是AB 的中点，∴AD BD =，
∵GD BD =，∴AD GD =，
∵90,GDE EDA DE DE α∠=∠=︒-=，
∴
GDE ADE ≌，∴,EGD EAD AE GE ∠=∠=，
∵90EAD B ∠=︒+∠，∴90EGD B ∠=︒+∠，
∴9090EGF EGD DGF B B ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒， ∴以线段,,GE GF EF 为边的三角形是直角三角形，
∴以线段,,AE BF EF 为边的三角形是直角三角形．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质
解答．
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
(1)根据已知条件证明Rt △ABF ≌Rt △DCE(HL)即可得出结论；
(2)根据Rt △ABF ≌Rt △DCE 可得出∠E=∠F ，即△PEF 为等腰三角形，又因为PO 平分∠EPF ，根据三线合一可知PO 垂直平分EF ，从而得出PO 垂直平分BC ．
【详解】
（1）证明:∵BE=CF ，BC=CB
∴BF=CE ，
在Rt △ABF 与Rt △DCE 中，
BF CE AB DC =⎧⎨=⎩
∴Rt △ABF ≌Rt △DCE(HL)，∴AF=DE ；
（2）∵Rt △ABF ≌Rt △DCE ，
∴∠E=∠F
∴△PEF 为等腰三角形,
又∵PO 平分∠EPF
∴PO ⊥BC(三线合一)，EO=FO(三线合一)
又∵EB=FC
∴BO=CO ，∴PO 垂直平分线段BC.
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定及性质、垂直平分线的判定、等腰三角形的性质，角平分线的性质，难度不大，但综合性较强，考验了学生综合分析问题的能力. 26．（1）图见解析；（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，面积是16
【分析】
（1）作点A 、B 、C 关于MN 的对称点1A 、1B 、1C ，即可得到111A B C △；
（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位可以得到222A B C △，画出平移的图象，求出扫过的面积．
【详解】
解：（1）如图所示，
（2）如图所示，
111A B C △先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到222A B C △， 111A B C △在平移过程中所扫过的面积是图中阴影部分，
16242124162
S =⨯+⨯⨯=+=． 【点睛】
本题考查轴对称和平移，解题的关键是掌握轴对称图形的画法和图形平移的方法．。