饱和地基地震反应分析清华大学于玉贞模板

二、广义塑性模型 （Zienkiewicz et. al. ）
主要优点：? 不需定义塑性势面和屈服面； ? 不需应用一致性法则
主要特点：? ? ?
直接定义加载方向{n}、塑性应变增量方向{ng}、塑性模量； 在加卸载方向均存在塑性变形； 可较好地描述复杂试验的结果
动力分析模型应具备的特点： ? 为模拟孔压响应、循环荷载作用下密砂强化及松砂液化，模 型应能合理描述剪胀性； ? 模型参数应能通过较简单试验求取并具有明确的物理意义； ? 模型应能反映复杂应力路径下的力学特性。
Π 第一Pioka-Kirchhoff 应力张量
S 第二Pioka-Kirchhoff 应力张量
Ω 刚体自旋张量 U 右伸长张量 V 左伸长张量
R 正交转动张量
6
2-6 饱和地基地震反应分析
一、有限变形理论
1. 变形分析 2. 应变及应变速率 3. 应力及应力速率
7
2-6 饱和地基地震反应分析
1. 变形分析
参考时刻t0
u
dX*
dx ?dx * ? dX ?dX * ? (FdX ) ?(FdX *) ? dX ?dX * ? (dXF T ) ?(FdX *) ? dX ?dX *
dX x X
? dX (C ? I )dX *
当前时刻t
dx* dx
dx ?dx * ? dX ?dX * ? dx(I ? B ?1)dx *
? ?
??
塑性势面：
g
?
q
?M g
p?????1
?
?
?
g
g
????????1 ?
? ?? ?
?
ppc?????
g
? ? ??
二、广义塑性模型
数值计算时，在一般应力空间中加载方向和塑性流动方向为：
{n} ? [? ,? ]{n},
{ng} ? [? ,? ]{ng}
其中： [? ,? ] ? [?p ?? ?q ?? ?? ?? ]
有时取αg=αf
β0、β1、H 0、H u 0、γ、γu
24
2-6 饱和地基地震反应分析
2. 粘土广义塑性模型的基本公式
二、广义塑性模型
（1）弹性关系：与砂土相同
（2）加载和塑性流动方向
塑性部分采用相适应的流动法则：
{n} ? {ng } ?
1 [d
1? d2
1 ? 1 qM cos3? ]T
2
d ? (1 ? ? )(M ? ? )
??
)
Mg
?
6?
6M gc
M gc (1 ? sin 3? )
塑性体应变/塑性剪应变 αg、Mgc是模型参数
20
2-6 饱和地基地震反应分析
1. 砂土广义塑性模型的基本公式 （2）加载和塑性流动方向
屈服面：
f
?
q ?M f
p????1 ?
?
?
?
f
f
????????1 ?
????
?
ppc?????
f
O
X: 参考坐标
x: 当前坐标
u=x-X
以t0时刻的构形为基准：Total Lagrange 法
以t时刻的构形为基准：Updated Lagrange 法
8
2-6 饱和地基地震反应分析
1. 变形分析
dx ? FdX F： 变形梯度张量
变形梯度极分解 右极分解 F ? RU
U： 右伸长张量 R： 正交转动张量
d f ? (1 ? ? f )(M f ? ? )
Mf
?
6?
6M fc
M fc (1? sin 3? )
α f 、M fc 是模型参数
[ [ 塑性流动方向 {ng } ? ngp ngq ng? ]T ?
1
1?
d
2 g
dg
1
?
1 2
qM
g
cos3 ?
]T
dg
?
d?
p v
/
d?
p s
?
(1 ?
?
g )(M g
75s历时9s最大值2m孔压沿深度分布随时间发展42四实例分析26饱和地基地震反应分析水平成层饱和砂土地基的液化分析单元的水平剪应力的演化过程43四实例分析26饱和地基地震反应分析水平成层饱和砂土地基的液化分析结点的水平位移的演化过程结点的垂直位移的演化过程44四实例分析26饱和地基地震反应分析水平成层饱和砂土地基的液化分析结点的孔压的演化过程45四实例分析26饱和地基地震反应分析砂土45588688291000117724583388829120011772101281模型参数多层砂土边坡的液化分析多层砂土边坡示意图46四实例分析26饱和地基地震反应分析多层砂土边坡的液化分析输入地震波局部放大及典型结点47四实例分析26饱和地基地震反应分析多层砂土边坡的液化分析典型结点水平反应加速度48四实例分析26饱和地基地震反应分析多层砂土边坡的液化分析典型结点水平位移49四实例分析26饱和地基地震反应分析多层砂土边坡的液化分析典型结点竖直位移50四实例分析26饱和地基地震反应分析多层砂土边坡的液化分析典型结点孔压演化51四实例分析26饱和地基地震反应分析多层砂土边坡的液化分析残余变形
O
E ? 1 (C ? I ) 2
A ? 1 (I ? B?1) 2
E ? F T AF
Green-Lagrange 应变张量 Almansi 应变张量
C ?U2 B ? V2 B ? RCRT
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2-6 饱和地基地震反应分析
2. 应变及应变速率
应变具体表达式 Green-Lagrange 应变张量
0
? ?
?
symmetric
G 0?
? ?
G
? ?
19
2-6 饱和地基地震反应分析
二、广义塑性模型
1. 砂土广义塑性模型的基本公式 （2）加载和塑性流动方向
采用不相适应的流动法则（在 p、q、θ空间中表示）：
加载方向
{n} ?
[ 1
1?
d
2 f
df
1
?
1 2
qM
f
cos3?
]T
θ：Lode角 η=q/p' ：应力比
1. 砂土广义塑性模型的基本公式 （5）卸载塑性模量
H
?
H uo
??? ?
Mg
?u
??u ?? ?
for M g
?u
?1
H
?
H uo
for
Mg ?u
?1
（6）模型参数：13个
二、广义塑性模型
类型 弹性关系（3） 塑性势面（2） 屈服面（2） 塑性模量（6）
参数
Kev0、Ges0、p0
αg、Mgc αf 、M fc
F? I?Z du ? Ydx F ?1 ? I ? Y
一、有限变形理论
u+du
当前时刻t
参考时刻t0
du dx dX
u
dX
x X
O
Z的物理意义
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2-6 饱和地基地震反应分析
2. 应变及应变速率
一、有限变形理论
C ? F T F 右Cauchy-Green 变形张量
B ? FF T 左Cauchy-Green 变形张量
v+dv
dv
v
v
dx
L ? F&F ?1
x
O
速度梯度分解
应变速率
L? D?W
Green-Lagrange 应变速率：E&? F T DF
D： 变形速率(L对称部分) W： 自旋张量(L反对称部分)
Almansi 应变张量的Cotter-Rivlin 速率：
o
A(C )
?
A&?
LT A ?
AL
?
D
Almansi 应变张量的Jaumann 速率：
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2-6 饱和地基地震反应分析
1. 砂土广义塑性模型的基本公式 （4）塑性应变增量
二、广义塑性模型
d?
?
d
?
p s
?
2 3
? ? ?
?q
??
T
? ? ?
{d?
p}
{d? p} ? d? {ng } ?
d?
1?
d
2 g
(ngp {?p / ??
}?
ngq {?q / ??
}?
ng? {??
/ ??
弹性体积模量： 弹性剪切模量：
Kev
?
K evo
p? po
p? Ges ? Geso po
记 K ? Kev
G
?
1 3
Ges
则弹性矩阵为
??K ?
?
4G 3
?
?
K ? 2G 3
K? 4G 3
K? 2G 3
0
0
0
? ?
?
K? e
]
?
? ?
?
4 K? G
0
0
? 0?
3
?
? ?
G
0
一、有限变形理论
E
?
1 2
? ? ?
?U ?X
I J
?
?U J ?X I
?
?U K ?XI
?UK ?X J
? ? eI ?
?
eJ
Almansi 应变张量
A?
1 2
? ???
? ui ?x j
?
?u j ?xi
?
?uk ? xi
?uk ?x j
? ??ei ? ?
ej
微小应变张量
E?
A?
1 2
? ? ?
（3）塑性模量
?q
??
T
? ? ?
? ? ?
?q
??
? ? ?
?
3, 2
?
?q
T
?
?
??
? ?
??
? ?
? ?
??
? ?
?
?
0
d?
p s
?
d?
1
1?
d
2 g
d?
p v
?
{? }T {d?
p}
?
d? {? }T {ng }
?
d?
d g {? }T {?p / ?? } ? d?
1?
d
2 g
dg
1?
d
2 g
23
2-6 饱和地基地震反应分析
21
2-6 饱和地基地震反应分析
二、广义塑性模型
1. 砂土广义塑性模型的基本公式
（3）加载塑性模量
H
?
H 0 p?H f
(Hv
?
H
s
)??? ?
?
MAX
?
?? ?? ?
H0是模型参数
H f ? (1 ? ? /? f )4 描述偏差映射准则，其中
Hv
?
1?
?
Mg
? f ? (1 ? 1/ ? f )M f
o
A( J )
?
A&? WA ?
AW
?
D?
DA ?
AD
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2-6 饱和地基地震反应分析
3. 应力及应力速率
一、有限变形理论
质量守恒原理： ?&? ? div? ? 0 动量守恒原理：
a: 加速度 g: 单位质量上的作用力 t: 面力
Euler 第一运动定律： ?? ? (a ? g )d? ? ?s tds
17
2-6 饱和地基地震反应分析
二、广义塑性模型
1. 砂土广义塑性模型的基本公式 2. 粘土广义塑性模型的基本公式
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2-6 饱和地基地震反应分析
1. 砂土广义塑性模型的基本公式
二、广义塑性模型
（1）弹性关系
弹性体应变： 弹性剪应变：
? ?ve
?
1 Kev
? p?
? ?se
?
1 Ges
?q
Kev0, Ges0和p0为模型参数
1
土动力学与 土工抗震工程
于玉贞 清华大学水利水电工程系
岩土工程研究所
2
有效方法之一：有限元法 土坝
地基
基岩
地震波
方 总应力法
法 分 类
有效应力法
按经验性公式计算超静孔隙水压力（不排水有效应力法） 按两相介质理论计算超静孔隙水压力（排水有效应力法）
本讲
3
2-6 饱和地基地震反应分析
4
2-6 饱和地基地震反应分析
任意量A 空间表示法（Euler 表示法）
X ? X (x,t) A ? A(x, t)
流体力学常用
物质表示法（Lagrange 表示法）
x ? x( X ,t) A ? A( X ,t)
固体力学常用
基本分析方法 t时刻的构形 t+Δt时刻的构形
一、有限变形理论
当前时刻t
参考时刻t0 u
x X
u: 位移
? ??
Euler 第二运动定律： ?? x ? ?? d? ? ?? x ? ? gd? ? ?s x ? tds
平衡条件： T： Cauchy 应力（真应力）
Cauchy 第一运动定律（平衡方程）： ? a ? div T ? ? g
Cauchy 第二运动定律（对称性）： T ? T T
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2-6 饱和地基地震反应分析
常用应力速率：
Cauchy 应力的Jaumann 应力速率
?
T
?
T&? WT
?
TW
Cauchy 应力的Green-Naghdi 应力速率 T? ? T&? ? T ? T ?
15
2-6 饱和地基地震反应分析
一、有限变形理论 二、广义塑性模型 三、两相介质理论 四、实例分析
16
2-6 饱和地基地震反应分析
? ?
UI XJ
?
?UJ ?XI
? ? eI ?
?
eJ
12
2-6 饱和地基地震反应分析
2. 应变及应变速率 速度梯度
dv ? Ldx
L: 速度梯度
v ? x&? ?x ?t
dx ? FdX
dv ? dx& dX&? 0
dv ? F&dX dv ? Ldx ? LFdX
F&? LF
一、有限变形理论
当前时刻t
一、有限变形理论 二、广义塑性模型 三、两相介质理论 四、实例分析
5
2-6 饱和地基地震反应分析
符号一览表
符号
意义
t0 参考时刻 t 当前时刻
L 速度梯度
D 变形速率
(L 对称部分)
W 自旋张量
(L 反对称部分)
De D的弹性部分
Dp D的塑性部分
Q(t) 表示基准配置转动 的正交张量
F 变形梯度张量
左极分解 F ? VR
V： 左伸长张量
dx ? RUdX
dX U
R
UdX
刚体自旋张量 ? ? R&RT
一、有限变形理论
变换F 当前时刻t
参考时刻t0
dx