量子力学— —算符

这方程的一般解为， 其中， 是常数。 假设 的定义域是一个有限空间，从x =-L 到 x=L ，那么，我们可以将 归一化：
的值是 假设
。动量算符的本征函数归一化为 不是一个平方可积函数：
的定义域是无穷大空间，则
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2.2 （动量算符）本征值与本征函数 (2)
动量算符的本征函数不存在于希尔伯特空间内。我们不能直接地积分 间，来使 归一化。 。那么， 于无穷大空
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2.1动量算符 导引 (3)
将上述两个方程代入方程 (1)，可以得到
使用分部积分法，
(2) (3)
方程 (2) 与 (3) 的减差是
所以， 对于任意波函数 ，这方程都成立。 为
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因此，我们可以认定动量算符
。
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2.2 （动量算符）本征值与本征函数 (1)
假设，动量算符 的本征值为 的本征函数是 ：
其中， 是动量算符， 是约化普朗克常数， 给予一个粒子的波函数
是虚数单位， 是位置。
，我们可以计算这粒子的动量的期望值：
其中， 是动量
目录
2.1 2.2 2.3 2.4 动量算符导引 本征值与本征函数 厄米算符 正则对易关系
动量算符中也包含厄米算符、正则对易关系的内容，详见1.1、1.3
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，都是厄米算符。
对于任意量子态
，
。所以，动量算符确实是一个厄米算符。 动量算符确实是一个厄米算符
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1.2 （位置算符）本征值与本征函数
假设，位置算符 的本征值为 的本征函数是 。用方程表达， 这方程的一般解为，
其中， 虽然
是常数， 无法归一化：
是狄拉克δ函数。
设定
= 1，我们可以使
满足下述方程：
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3.1 角动量算符 简介
角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系 统里，如同能量和动量，角动量是守恒的。在量子力 学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计 算实现于描述量子系统的波函数，而不是经典地实现 于一点或一刚体。在量子尺寸世界，分析的对象都是 以波函数或量子幅来描述其几率性行为，而不是命定 性(deterministic)行为。

思考
与
的交换算符，
与
是对易的， 与
彼此是相容可观察量，两个算符有共同的本征态。根据不确 与 的本征值。
定性原理，我们可以同时地测量到

类似地，
与
之间、 与
之间，都分别拥有类似的物理特性。
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3.4.4 在经典力学里的对易关系

在经典力学里，角动量算符也遵守类似的对易关系：

其中，﹛,﹜ 是泊松括号， 号， ，代表直角坐标

思考
与
的交换算符，

由于两者的对易关系不等于 0 ， 与 同的基底量子态。一般而言，
彼此是不相容可观察量。 与 的本征态不同。 ，所有本征值为
绝对不会有共
的本征态与

给予一个量子系统，量子态为 态
。对于可观察量算符
的本征
， =1,2,3…. 形成了一组基底量子态。量子态 。 ，所有本征值为 的本征态
量子力学
算 符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋 7.3.4 自旋与统计
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数 2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系

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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (4)
球谐函数 表达为 其中， 是虚数单位， 是伴随勒让德多项式，用方程定义为
而
是 阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为：
球谐函数满足正交归一性：
这样，角动量算符的本征函数，形成一组单范正交基。任意波函数 这单范正交基的线性组合： 其中，
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3.2 数学定义
在经典力学里，角动量 定义为位置 与动量 的叉积： 在量子力学里，对应的角动量算符 定义为位置算符 与动量算符 的叉积：
由于动量算符的形式为
角动量算符的形式为
其中，
是梯度算符。
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3.3角动量是厄米算符
在量子力学里，每一个可观察量所对应的算符都是厄米算符。角动量是一个可观察量，所 以，角动量算符应该也是厄米算符。现在证明这一点，思考角动量算符的 x-分量 ： 其伴随算符 由于 由于 、 与 为 、 之间、 、 与 ，都是厄米算符， 之间分别相互对易，所以， 都是厄米算符。
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都可以表达为
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四、哈密顿算符
（1）
量子力学中，哈密顿算符(Hamiltonian) H 为一个可观测量，对应于系统 的总能量。一如其他所有算符，哈密顿算符的谱为测量系统总能时所有可 能结果的集合。如同其他自伴算符，哈密顿算符的谱可以透过谱测度 (spectral measure)被分解，成为纯点(pure point)、绝对连续(absolutely continuous)、奇点(singular)三种部分。纯点谱与本征矢量相应，而后者 又对应到系统的束缚态(bound states)。绝对连续谱则对应到自由态(free states)。奇点谱则很有趣地由物理学上不可能的结果所组成。举例来说， 考虑有限深方形阱的情形，其许可了具有离散负能量的束缚态，以及具有 连续正能量的自由态。
因此， 是一个厄米算符。类似地， 与 总结，角动量算符是厄米算符。 总结，角动量算符是厄米算符 再思考 算符， 为 算符、
其伴随算符 由于 所以， 算符、
算符都是厄米算符，
算符是厄米算符
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3.4 对易关系

两个算符
与
的交换算符
，表
示出它们之间的对易关系
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3.4.1角动量算符算符与自己的对易关系 （1）
换另一种方法，设定
其中，
是狄拉克δ函数。
这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，动量算符的 本征函数是完备的。也就是说，任意波函数 都可以表达为本征函数的线性组合：
其中，系数
是
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三、角动量算符
在量子力学里，角动量算符(angular momentum operator) 是一种算符，类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋 转对称性(rotational symmetry)的理论里，角动量算符占有 中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基 本特性
们立刻再测量可观察量

，得到的答案必定是
可是，假若，我们改为测量可观察量 为
，则量子态不会停留于本征态
的本征态。假若，得到的测量值为其本征值
，则量子态几率地坍缩为本征态

根据不确定性原理， 的不确定性与 与 之间， 与 的不确定性的乘积 之间，也有类似的特性。 ，必定大于或等于 。
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2.1动量算符 导引 (1)
对于一个非相对论性的自由粒子，位势 ，不含时薛定谔方程表达为 其中， 是约化普朗克常数， 是粒子的质量， 的能量。 这薛定谔方程的解答 其中， 是波数， 是一个平面波： 。 是粒子的波函数， 是粒子的位置， 是粒子
根据德布罗意假说，自由粒子所表现的物质波，其波数与自由粒子动量的关系是 自由粒子具有明确的动量 ，给予一个系综许多相同的自由粒子系统。每一个自由粒子系统的 量子态都一样。标记粒子的动量算符为 。假若，对于这系综内，每一个自由粒子系统的动量 所作的测量，都得到同样的测量值 ，那么，不确定性 ，这自由粒子的量子态是确定 态，是 的本征态，在位置空间(position space)里，本征函数为 ，本征值为 ： 换句话说，在位置空间里，动量算符的本征函数必须是自由粒子的波函数 为了要达到此目标，势必要令 所以，可以认定动量算符的形式为
3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系

思考
与
的交换算符，
与
是对易的， 与
彼此是相容可观察量，两个算符有共同的本征态。根据不确 与 的本征值。
定性原理，我们可以同时地测量到

类似地，
与
之间、 与
之间，都分别拥有类似的物理特性。
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3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系
的本征态不同。
根据不确定性原理，
由于 所以，
与
是两个不相容可观察量，
。
的不确定性与 的不确定性的乘积 ，必定大于或等于
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二、动量算符
在量子力学里，动量算符(momentum operator)是一种算符，可以用来计算一个或多个粒 子的动量。对于一个不带电荷、没有自旋的粒子，作用于波函数 为 的动量算符可以写
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1.1厄米算符
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O 的期望值是 实值的： 对于任意量子态 ，这关系都成立： 是 的伴随算符，则
根据伴随算符的定义，假设 因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 位置是一个可观察量，位置算符 选择位置空间，量子态 应该也是厄米算符： ， 的波函数为
7.4 自旋的方向
7.4.1 自旋投影量子数与自旋多重态 7.4.2 自旋矢量
三、角动量算符
3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系 3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量）本征值与本征函数
可以表达为这基底量子态的线
性组合：

对于可观察量算符 底量子态。量子态
， =1,2,3….形成了另外一组基
可以表达为这基底量子态的线性组合：
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3.4.1角动量算符算符与自己的对易关系（2）

根据哥本哈根诠释，量子测量可以用量子态坍缩机制来诠释。假若，我们测量可观察 量 ，得到的测量值为其本征值 ，则量子态几率地坍缩为本征态 ，量子态仍旧处于 。假若，我 。 ，而会坍缩
3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (2)
角动量平方算符是 其中，
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (3)

经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
满足算符
的本征函数是球谐函数 是正整数。
：
其中，本征值

球谐函数也是满足算符 其中，本征值
微分方程的本征函数： 。
是整数，

因为这两个算符的正则对易关系是 0 ，它们可以有共同的本征函数。 球谐函数 表达为
目录 3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系 3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量)本征值与本征函数
四、哈密顿算符 五、阶梯算符 六、创生及湮灭算符
7.7 应用
八、时间演化算符
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一、位置算符

在量子力学里，位置算符(position operator)是一种算符，当作 用于粒子的波函数，可以得到粒子的位置。给予一个粒子的波 函数 ，这粒子的位置的期望值为
目录 1.1 厄米算符 1.2 本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
是列维-奇维塔符
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (1)
采用球坐标。展开角动量算符的方程：
其中， 转换回直角坐标，
，分别为径向单位矢量、天顶角单位矢量、与方位角单位矢量。
其中， 所以，
，分别为 x-单位矢量、y-单位矢量、与 z-单旋与磁矩 7.6 量子力学中关于自旋的数学表示
7.6.1 自旋算符 7.6.2 自旋与泡利不相容原理 7.6.3 自旋与旋转 7.6.4 自旋与洛伦兹变换 7.6.5 泡利矩阵和自旋算符 7.6.6 沿x, y和 z 轴的自旋测量 7.6.7 沿任意方向的自旋测量 7.6.8 自旋测量的相容性 7.6.9 自旋1/2
这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，位置算 符的本征函数是完备的。也就是说，任意波函数 合：
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都可以表达为本征函数的线性
1.3正则对易关系
位置算符与动量算符的交换算符，当作用于一个波函数时，有一个简单的结果： 所以， 。
这关系称为位置算符与动量算符的正则对易关系。由于两者的正则对易关系不等 于 0 ，位置与动量彼此是不相容可观察量。 态。一般而言， 的本征态与 与 绝对不会有共同的基底量子
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[1]。
2.1动量算符 导引 (2)
在经典力学里，动量是质量乘以位置随时间的全导数： 在量子力学里，由于粒子的位置不是明确的，而是几率性的。所以，我们猜想这句话 是以期望值的方式来实现[2]： 那么，用积分方程来表达， 其中， 是波函数。 取微分于积分号下， 由于 只是一个位置的统计参数，不相依于时间， (1) 含时薛定谔方程为 其中， 是位势。 其共轭复数为