陕西专升本(高等数学)模拟试卷4(题后含答案及解析)

陕西专升本（高等数学）模拟试卷4(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题 6. 证明题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(1一lnx)的定义域为( )?
A．[1，-ln2]
B．[0，1]
C．[1，e]
D．
正确答案：D
解析：由1≤1一lnx≤2，得一2≤lnx一1≤一1即一1≤lnx≤0，故，应选择D。

2．=( )(a≠0)．
A．e
B．eab
C．eb
D．eab+c
正确答案：B
解析：当x→一∞时，此极限为(1∞)型未定式，且与第二个重要极限结构相似，故应利用第二个重要极限计算出结论后再作选择，因为
所以应选择B.
3．=( )．
A．1
B．一1
C．0
D．不存在
正确答案：A
解析：所以应选择A.
4．将二重积分化为二次积分，其中D为a≤x≤b,c≤y≤d，则下列式子正确的是( )．
A．∫aydy∫cdx2y2dy
B．∫abdy∫cxx2y2dy
C．∫cxdy∫ayx2y2dx
D．∫cdy2dy∫abx2dx
正确答案：D
解析：因为D：a≤x≤b，c≤y≤d为矩形域，所以
或∫∫Dx2y2dxdy=∫cdy2dy∫abx2dx故应选择D.
5．幂级数的收敛域是( )．
A．(一9，9)
B．(一3，3)
C．(一2，4)
D．(一2，4]
正确答案：C
解析：因为所以，原级数的收敛区间是｜x一1｜＜3，即一2＜x＜4，且当x=一2时级数
亦发散。

故原级数的收敛域是(一2，4)．
填空题
6．已知极限，则常数a等于______．
正确答案：ln3
解析：
7．设f’(x0)存在，则极限等于___________．正确答案：3f’(x0)
解析：
8．曲面ex+y+x2+y2一z2=0在(0，O，1)处的切平面方程是_________．
正确答案：x+y一2z=一2
解析：F(x)=ex+y+x2+y2一z2，Fx=ex+y+2x，Fy=ex+y+2y，Fz=一2z；Fx｜(0,0,1)=1，Fy｜(0,0,1)=1，Fz｜(0,0,1)=一2切面方程：1.(x一0)+1.(y一0)一2(z 一1)=0．即x+y一2z+2=0．
9．=_________.
正确答案：
解析：
10．设积分区域D={(x,y)｜0≤y≤x，x2+y2≤2x}，则二重积分等于__________.
正确答案：
解析：
综合题
11．设问k为何值时，函数k(x)在定义域内连续．
正确答案：
12．已知当x→∞时，f(x)与为等价无穷小，求．
正确答案：
13．求函数f(x，y，z)=x2yz3的梯度gradf(x，y，z)及其在点(2，一1，1)处方向导数的最大值．
正确答案：gradf(x，y，z)={2xyz3，x2z3，3x2yz2}gradf(2，一1，1)={一4，4，一12}．
14．设z=f(yex，xy2)，其中f具有二阶连续导数，求.
正确答案：令yex为第1变量，xy2为第2变量
15．求曲线的凹凸区间与拐点．
正确答案：
由上表
可见，在区间(一∞，一1)和(0，1)内，曲线上凹，在区间(一1，0)和(1，+∞)内，曲线下凹，点(0，0)为拐点．
16．求由方程所确定的隐函数z=z(x，y)的全微分．
正确答案：
17．计算，其中区域D={(x，y)｜1≤x2+y2≤4，x≥0，y ≥0)．
正确答案：
18．计算曲线积分其中f(s)在(一∞，+∞)内有连续的导数，l为从点到B(1，2)的直线段．
正确答案：
这是一个单调连通区域，故积分与路径无关，选择从A到B的任一条位于z轴上方的
曲线作为积分路径，选择积分路径为折线ACB，其中，注意到
19．将函数展开为x的幂级数，并写出收敛区间．
正确答案：
20．求微分方程y’’+2y’一3y=e2x的通解．
正确答案：该方程的特征方程为r2+2r一3=0，特征根为r=1，一3．因此该方程对应的齐次方程y’’+2y’一3y=0的通解为y=C1ex+C2e-3x．设所给方程的一个特解为y*=ae2x，将其代入原方程有4ae2x+4ae2x一3ae2x=e2x则
于是原方程的通解为：．
证明题
21．在抛物线y=x2(0≤x≤1)上求一点(a，a2)，过此点分别作平行于y轴和
x轴的直线x=a，y=a2，设抛物线y=x2与直线x=a和x轴所围成的平面图形的面积为S1，抛物线y=x2与直线y=a2和x=1所围成的平面图形的面积为S2(如图所
示)．试求a为何值时，S1+S2为最小．
正确答案：
22．证明：当x＞0时，
正确答案：。