2011年全国新课标普通高等学校招生统一考试文科数学

2021年全国新课标普通高等学校招生统一考试文科数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合
,,则集合P 的子集有 A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个 2．复数512i i
-=（ ） A ．2i - B ．12i -
C ．2i -+
D ．12i -+ 3．下列函数中，既是偶函数又是区间
上的增函数的是（ ） A ．3y x = B ．1y x =+ C ．21y x =-+ D ．2x y -= 4．椭圆的离心率为（ ）
A ．13
B ．12
C
D ．2
5．有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（ ）
A ．35
B ．45-
C ．23
D ．34
7．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
A ．
B ．
C ．
D ． 8．
A ．18
B ．24
C ．36
D ．48 9．在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）
A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．10,4⎛
⎫ ⎪
⎝⎭ C ．1
1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
10．设函数
，则（ ） A ．函数()f x 在(0,
)2π上单调递增，其图像关于直线对称； B ．函数()f x 在(0,
)2π上单调递增，其图像关于直线对称； C ．函数()f x 在(0,
)2π上单调递减, 其图像关于直线对称； D ．函数()f x 在(0,)2
π
上单调递减,其图像关于直线对称； 11．已知函数()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，那么函数()f x 的图像与lg y x =函数的图像的交点共有（ ）
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．1个
二、填空题
12．已知向量为不共线的单位向量，
，如果垂直，那么 13．设x ，y 满足约束条件54602506220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩
，则z y x =-的最小值为_____
14．在
中,,则的面积为________
15．
三、解答题
16．已知等比数列中，，
（1）为数列前项的和，证明：
（2）设
，求数列的通项公式；
17．
18．
某种产品以其质量指标值衡量，质量指标越大越好，且质量指标值大于102的产品为优质产品，现在用两种新配方（A 配方、B 配方）做试验，各生产了100件，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：
A 配方的频数分布表 指标值分组
频数
8
20 42 22 8
B 配方的频数分布表
指标值分组
频数
4
12 42 32 8
(1)分别估计使用A 配方，B 配方生产的产品的优质品的概率；
(2)已知用B 配方生产一件产品的利润与其质量指标的关系为： 估计用B 配方生产上述产品平均每件的利润．
19．
（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，曲线与162
+-=x x y 坐标轴的交点都在圆C 上，
（1）求圆C 的方程；
（2）如果圆C 与直线0=+-a y x 交于A,B 两点，且OB OA ⊥，求a 的值。

20．（本小题满分12分）
已知函数
，曲线在点处的切线方程为，
（1）求的值
（2）证明：当时， 21．（本小题满分10分）如图，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且不与顶点重合，已知,,AE m AC n ==AD AB 、为方程2-14+=0x x mn 的两根
（1）证明C B D E 、、、四点共圆
（2）若=90,=4,=6,o
A m n ∠求C
B D E 、、、四点所在圆的半径 22．在直角坐标系中，曲线1
C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα
=⎧⎨=+⎩为参数)M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2OP OM =.
（1）求点P 的轨迹方程2C ；
（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=
与曲线12,C C 交
于不同于原点的点,A B 求AB .
23．设函数f （x ）＝|x ﹣a|+3x ，其中a ＞0．
（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞3x+2的解集；
（2）若不等式f （x ）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a 的值．
参考答案
1．B
【解析】
本题为考察集合的基本性质
，＝{1,3}，集合P 的子集有{}{}{},1,3,1,3∅
一个有限集A 有n 个元素，则A 有2n 个子集
2．C
【解析】
考查复数运算性质，除法运算主要掌握分子分母均乘以分母的共轭复数.
3．B
【解析】
试题分析：因为A 项是奇函数，故错，C ，D 两项项是偶函数，但在(0,)+∞上是减函数，故错，只有B 项既满足是偶函数，又满足在区间(0,)+∞上是增函数，故选B ．
考点：函数的奇偶性，单调性．
4．D
【解析】
由方程可知，，，则，所以. 此题考查椭圆离心率基本运算.
5．A
【解析】
试题分析：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是3×
3=9种结果， 满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，
由于共有三个小组，则有3种结果，
根据古典概型概率公式得到3193
P == 考点：古典概型及其概率计算公式
6．B
【分析】
找θ角终边上一点(1,2)，利用三角函数的定义求出sin ,cos θθ的值，再利用二倍角的余弦公式可得结果.
【详解】
找θ角终边上一点(1,2)，
则sin θ=，cos θ= 所以223cos 2cos
sin 5
θθθ=-=- 故选A.
【点睛】 本题主要考查三角函数的定义，属于基础题.
7．D
【分析】
由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．
【详解】
由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，
是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，
∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，
故选：D ．
【点睛】
本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．
8．C
【解析】
考点：直线与圆锥曲线的关系．
分析：首先设抛物线的解析式y 2=2px （p ＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p ，求出p ，△ABP 的面积是|AB|与DP 乘积一半．
解：设抛物线的解析式为y 2=2px （p ＞0），
则焦点为F （P 2，0），对称轴为x 轴，准线为x=-P 2
∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点，
又∵AB ⊥x 轴
∴|AB|=2p=12
∴p=6
又∵点P 在准线上
∴DP=（P 2+|-P 2
|）=p=6 ∴S △ABP =12（DP?AB ）=12
×6×12=36 故选C ．
9．C
【分析】 先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩
,利用零点存在定理可得结果. 【详解】
因为函数()43x
f x e x =+-在R 上连续单调递增， 且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭
⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
内，故选C. 【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
10．D
【解析】
试题分析：(
)sin 2cos 222442f x x x x x πππ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 0,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，所以在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减． 令()2,x k k Z π=∈，(),2k x k Z π=
∈．所以图像关于直线2x π=对称．故D 正
确． 考点：1三角函数的化简；2余弦函数的单调性，对称轴．
11．A
【分析】
根据函数的周期性以及函数表达式，画出函数的图象，然后根据图象进行判断即可.
【详解】
由题可知，如图所示：
当10x =时，1y =，根据图像可知，交点个数为10
故选：A
【点睛】
本题考查两函数图象的交点个数，利用数型结合，形象直观，属基础题.
12．1
【解析】略
视频
13．-3
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出54602506220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩
表示的可行域，如图，
由5460250x y x y +-=⎧⎪⎨⎪--=⎩可得21x y =⎧⎪⎨⎪=-⎩
， 将z y x =-变形为y =x+z ，
平移直线y =x+z ，
由图可知当直y =x+z 经过点()2,1-时，
直线在y 轴上的截距最小，
z 取得最小值123z =--=-，故选B.
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2
）
找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
14．
【解析】略
视频
【答案】
【解析】略
16．（1）带解析
（2）
(1)
2
n
n n
b
+
=-
【解析】
分析：（1）直接用等比数列通项公式与求和公式；（2）代人化简得到等差数列在求其和．解：（1）
点评：本题考查等比、等差数列的通项公式与求和公式．注意正确用公式计算．
17．略
【解析】略
18．
【解析】
略
19．分析：用待定系数求圆的方程；由根与系数的关系和向量垂直求字母的值。

解：（Ⅰ）曲线)0,223(),0,223(),1,0(,162-++-=轴交点为与轴交点为与x y x x y
因而圆心坐标为),,3(t C 则有1)22()1(32222=∴+=-+t t t 半径为3)1(322=-+t ，所以圆方程是9)1()3(22=-+-y x
（Ⅱ）设点),(),,(2211y x B y x A 满足⎩⎨⎧=-+-=+-9)1()3(0
22y x a y x
解得：012)82(22
2=+-+-+a a x a x 0416562>--=∆∴a a
4
41656)28(22,1a a a x --±-= 2
12,422121+-=•-=+∴a a x x a x x a x y a x y y y x x OB OA +=+==+∴⊥22112121,,0,
1,0)(222121-=∴=+++∴a a x x a x x
点评：本题考查曲线的交点、直线与圆的方程、直线与圆以及向量的垂直关系的综合应用，要对每一点熟练把握。

【解析】略
20．分析：（1）利用导数的几何意义列式求待定系数的值；（2）构造新函数求其导数，利利用单调性和极值证明。

解：（Ⅰ），由题意知：即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，
设则，
当时，
，而 故，当
得：
从而，当时，
即 【解析】略
视频
21．（1）见解析；（2
）【解析】解：（Ⅰ）如图，连接DE ，依题意在ACB ADE ∆∆,中，
AC AE mn AB AD •==•,AB
AE AC AD =∴由因为CAB DAE ∠=∠所以， ADE ∆∽ACE ∆,∴=∠∴,ACB ADE 四点C 、B 、D 、E 共圆。

（Ⅱ）当6,4==n m 时，方程0142=+-mn x x 的根,12,221==x x
因而，,12,2==AB AD 取CE 中点G ，BD 中点F,分别过G,F 做AC,AB 的垂线，两垂线交于点H ，连接DH, 因为四点C 、B 、D 、E 共圆，所以，H 为圆心，半径为DH.
︒=∠90A ,AC HF AB GH //,//,所以， 5)212(2
1,5=-⨯===DF AG HF ,25=DH 点评：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。

注意把握判定与性质的作用。

22．（1）4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩
()α为参数；（2
）【分析】
(1)先设出点P 的坐标,然后根据点P 满足的条件代入曲线1C 的方程即可求出曲线2C 的方程;（2）根据(1)将求出曲线1C 的极坐标方程,分别求出射线3πθ=
与1C 的交点A 的极径为1ρ,以及射线3πθ=
与2C 的交点B 的极径为2ρ,最后根据21||AB ρρ=-求出所求. 【详解】
（1）设(),P x y ,则由条件知,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.由于M 点在1C 上, 所以2cos 2()22sin 2
x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩()α为参数 从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩
()α为参数. (2)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=. 射线3πθ=
与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=, 射线3π
θ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3
πρ=.
所以21||AB ρρ=
-=【点睛】 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解，关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系，是基础题．
23．（1）{|13}x x x <->或；（2）2a =
【分析】
（1）将f （x ）＞3x+2化简，解绝对值不等式；
（2）解不等式f （x ）≤0用a 表示，同一个不等式的解集相等，得到a ．
【详解】
（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|+3x ＞3x+2，可化为|x ﹣1|＞2．由此可得 x ＞3或x ＜﹣1． 故不等式f （x ）＞3x+2的解集为{x|x ＞3或x ＜﹣1}．
（2） 由f （x ）≤0得：|x ﹣a|+3x≤0
此不等式化为不等式组：30x a x a x ⎧⎨-+≤⎩或 30
x a a x x <⎧⎨-+⎩．即 a≤x≤4a ，或x≤﹣2a ， 因为a ＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣
2a }，由题意可得﹣2a ＝﹣1，故a ＝2 【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法以及参数的求解，属于基础题．。