2019高二数学人教A版选修4-5课件：4.1 数学归纳法

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典例精析
题型四、数学归纳法的概念
1－an＋2 例 4 用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ 1－a (a≠1，n∈N＋)，
在验证 n＝1 成立时，左边计算的结果是( )
A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 【精彩点拨】 注意左端特征，共有 n＋2 项，首项为 1，最后一项为 an＋1. 【自主解答】 实际是由 1(即 a0)起，每项指数增加 1，到最后一项为 an＋1，
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练一练 ＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， 所以 n＝k＋1 时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
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典例精析
题型二、用数学归纳法证明整除问题
例 2 用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1 能被 9 整除(n∈N＋)． 【精彩点拨】 先验证 n＝1 时命题成立，然后再利用归纳假设证明， 关键是找清 f(k＋1)与 f(k)的关系并设法配凑．
法称为数学归纳法．
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典例精析
题型一、用数学归纳法证明等式
例 1 用数学归纳法证明： 1－21＋31－41＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n. 【精彩点拨】 要证等式的左边共 2n 项，右边共 n 项，f(k)与 f(k＋1)相 比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n ＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．
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练一练
1．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)． 【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1)时，等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2
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本节目标
1．了解数学归纳法的原理及其使用范围． 2．会利用数学归纳法证明一些简单问题．
预习反馈
1－an＋2
1.用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝
(a≠1，n∈N*)，在验证 n＝1 时，
1－a
等式左边的项是( C )
A.1
B.1＋a
C.1＋a＋a2
D.1＋a＋a2＋a3
预习反馈
2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12 n(n－3)条时，第一步检验n等于( C )
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练一练
3．在本例中，探究这 n 条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明． 【解】 设分割成线段或射线的条数为 f(n)，则 f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16. 猜想 n 条直线分割成线段或射线的条数 f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明． (1)当 n＝2 时，显然成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，且 k∈N＋)时， 结论成立，f(k)＝k2. 则当 n＝k＋1 时，设有 l1，l2，…，lk，lk＋1，共 k＋1 条直线满足题设条件． 不妨取出直线 l1，余下的 k 条直线 l2，l3，…，lk，lk＋1 互相分割成 f(k)＝k2 条射1)·7k－1]和 9(2k＋3)·7k 都能被 9 整除， ∴[ (3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k 能被 9 整除， 即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1 能被 9 整除， 即当 n＝k＋1 时命题成立． 由(1)(2)可知，对任何 n∈N＋，命题都成立， 即(3n＋1)·7n－1 能被 9 整除(n∈N＋)．
A.1
B.2
C.3
D.0
解析 凸n边形边数最小时是三角形，
故第一步检验n＝3.
预习反馈
3.已知 f(n)＝n1＋n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n12，则( D )
A.f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13 B.f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝21＋31＋41 C.f(n)中共有 n2－n 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13 D.f(n)中共有 n2－n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14
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典例精析 【自主解答】 (1)当 n＝1 时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被 9 整除，命题成立． (2)假设当 n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1 能被 9 整除，则当 n＝k＋1 时， [ 3(k＋1)＋1]·7k＋1－1 ＝[21(k＋1)＋7]·7k－1＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k.
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典例精析
【自主解答】 当 n＝2 时，f(2)＝1 ；当 n＝3 时，f(3)＝3； 当 n＝4 时，f(4)＝6.因此猜想 f(n)＝nn－ 2 1(n≥2，n∈N＋)． 下面利用数学归纳法证明： (1)当 n＝2 时，两条相交直线有一个交点，又 f(2)＝12×2×(2－1)＝1. ∴n＝2 时，命题成立．
所以 n＝1 时，左边的最后一项应为 a2，因此左边计算的结果应为 1＋a＋a2. 【答案】 C
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归纳小结 1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为 1. 2．递推是关键：正确分析由 n＝k 到 n＝k＋1 时式子项数的变化是应用数学归纳 法成功证明问题的保障．
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练一练
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练一练
直线 l1 与这 k 条直线恰有 k 个交点，则直线 l1 被这 k 个交点分成 k＋1 条 射线或线段．k 条直线 l2，l3，…，lk－1 中的每一条都与 l1 恰有一个交点，因此 每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有 k 条．
故 f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2， ∴当 n＝k＋1 时，结论正确． 由(1)(2)可知，上述结论对一切 n≥2 且 n∈N＋均成立．
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典例精析
1．证明本题时关键是用归纳假设式子(3k＋1)·7k－1 表示 n＝k＋1 时的式子． 2．用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分 解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．一般地， 证明一个与 n 有关的式子 f(n)能被一个数 a(或一个代数式 g(n)) 整除，主要是找到 f(k＋1)与 f(k)的关系，设法找到式子 f1(k)，f2(k)，使得 f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋f2(k)．
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练一练
2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3 能被 9 整除.
【证明】 (1)当 n＝1 时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36 能被 9 整除，命题成立．
(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3 能被 9 整除， 当 n＝k＋1 时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3
【答案】 C
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随堂检测
2．某个与正整数 n 有关的命题，如果当 n＝k(k∈N＋且 k≥1)时命题成立，则一定可推
得当 n＝k＋1 时，该命题也成立．现已知 n＝5 时，该命题不成立，那么应有( )
A．当 n＝4 时，该命题成立
C．当 n＝4 时，该命题不成立
B．当 n＝6 时，该命题成立
4．当 f(k)＝1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k，则 f(k＋1)＝f(k)＋________.
【解析】
f(k＋1)＝1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－
1 2(k
1)
，
∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＋1 1－
1 2(k
1)
.
【答案】 1 － 1 2k＋1 2k＋2
高二选修4-5
4.1 数学归纳法
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问题导入
数学归纳法证明中，在验证了 n＝1 时命题正确，假定 n＝k 时命题正确，
此时 k 的取值范围是( )
A．k∈N C．k≥1，k∈N＋
B．k＞1，k∈N＋ D.k＞2，k∈N＋
【解析】 数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法，
所以 k 是正整数，又第一步是递推的基础，所以 k 大于等于 1. 【答案】 C
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典例精析
(2)假设当 n＝k(k≥2 且 k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何 k 条 直线的交点个数为 f(k)＝21k(k－1)， 当 n＝k＋1 时，其中一条直线记为 l，剩下的 k 条直线为 l1，l2，…，lk.
k(k 1) 由归纳假设知，剩下的 k 条直线之间的交点个数为 f(k)＝ 2 . 由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点， 所以直线 l 与 l1，l2，l3，…，lk 的交点共有 k 个，
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典例精析 ＝k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1＋k＋1 1－2k＋1 2＝k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＝右边， 所以，n＝k＋1 时等式成立． 由①②知，等式对任意 n∈N＋成立．
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归纳小结
1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式 的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关．由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的 两边会增加多少项，增加怎样的项． 2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述 n＝n0 时命题的 形式，二是要准确把握由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题结构的变化特点．并且一定要记 住：在证明 n＝k＋1 成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．
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本课小结
— 概念和步骤
| 数学归纳法—
— 证明等式 — 证明整除问题
— 证明几何问题
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随堂检测
1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，
在验证 n＝1 成立时，左边所得的代数式为( )
A．1
B．1＋3
C．1＋2＋3
D.1＋2＋3＋4
【解析】 当 n＝1 时左边所得的代数式为 1＋2＋3.
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典例精析 【自主解答】 ①当 n＝1 时，左边＝1－21＝21＝1＋1 1＝右边，所以等式成立． ②假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即 1－21＋31－41＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k，则当 n＝k＋1 时， 左边＝1－21＋31－41＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2＝ k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2
课堂探究 教材整理 数学归纳法的概念 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：
(1)证明当 n＝n0 时命题成立；
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课堂探究
(2)假设当 n＝k(k∈N＋，且 k≥n0) 时命题成立，证明
n＝k＋1 时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立．这种证明方
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典例精析
k(k 1)
k2＋k
∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝ 2 ＋k＝ 2
k(k 1) (k 1)[(k 1) 1]
＝2＝
2
，
∴当 n＝k＋1 时，命题成立．
由(1)(2)可知，命题对一切 n∈N＋且 n≥2 时成立．
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典例精析 1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索 n 变化时，交点个数间的关系． 2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由 n＝k 到 n＝k＋1 时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因．
＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)，
由归纳假设知，上式中两项都能被 9 整除，故 n＝k＋1 时，命题也成立．
由(1)和(2)可知，对 n∈N＋命题成立.
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典例精析
题型三、证明几何命题
例 3 平面内有 n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过 同一点，那么这 n 条直线的交点个数 f(n)是多少？并证明你的结论． 【精彩点拨】 (1)从特殊入手，求 f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论 f(n)； (2)利用数学归纳法证明．