高一下学期第一次月考数学(理)试题

高一年级第二学期第一次检测
数学（理科）试题
考试时间：120分钟 分值：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列命题正确的是（ ）
A ．OA O
B AB -=u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA +=u u u r u u u r
C ．00AB =r u u u r r g
D ．AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r
2．已知O 为坐标原点，(1,2)OA =u u u r ，(1,3)AC =-u u u r
，则点C 的坐标是（ ）
A ．(2,1)-
B ．(0,5)
C ．(1,6)-
D ．(0,1)-
3．已知,a b r r 满足1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为120o
则a b =r r g
( )
A ．
12 B ．1
2
- C D ．1
4．已知点(1,3),(2,A B x -），向量(1,2)a =r
若//AB a u u u r r 则实数x 的值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．6
5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若2a =，3b =，6
A π
=，则ABC ∆解的个
数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定
6．已知向量()0,5a =r ，向量()3,1b =-r ，若a b μ-r r 与a b +r r
垂直，则μ=（ ）
A ．1-
B ．1
C ．
12
D ．
14
7．在ABC ∆中，若cos cos a c
A C b
++=
，则ABC ∆的形状是( ) A ．C 为直角的直角三角形 B ． C 为钝角的钝角三角形 C ．B 为直角的直角三角形 D ． A 为锐角的三角形
8．已知非零向量a r ，b r 满足||4||b a =r r ，且(2)a a b ⊥+r r r ，则a r
与b r 的夹角为( )
A ．
3
π B ．
2
π C ．
23
π D ．
56
π 9．在ABC ∆中，若222cos cos cos 1A B C +->，则ABC ∆的形状是( ) A ．锐角三角形 B ． 钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 10．已知O 是平面上一点,，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，点O 满足
0AB AC BA BC OA OB AB AC BA BC ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r ，则O 点一定是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心
11．已知|a v
|=|b v
|=1，且a v
⊥b v
，则2a v +b v 在a v +b v
方向上的投影为( )
A ．
2 B ．
2
C ．
2 D ．
2 12．在△ABC 中，(cos18,cos 72)AB =o o u u u r ，(2sin 27,2sin 63)BC =o o
u u u r ，则△ABC 的面积为
（ ） A
B
C
D
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13．已知向量(2,1)a =r
，10a b ⋅=r r
，a b +=r r b r ＝____.
14．在平行四边形ABCD 中，F 是CD 边的中点，AF 与BD 相交于E ，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，用,a b r r
表示 _________.AE =u u u r
15．在锐角ABC ∆中，三个内角,,A B C 对应的三边分别为,,a b c ，给出下列结论：①B A cos sin >；
②tan tan 1A B <；③0>•；④222
a b c +>.其中正确结论的序号有_________.
16．在△ABC 中，3
B π
=，BC
边上的高等于
3
BC ，则sin _______.A =
三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.） 17．（本题满分10分）
已知向量(3,),a x =r (4,8),b =-r (2,)c y =r
且//a b r r ，a c ⊥r r 。

(1)求,x y ；（2）求a c -r r
．
18．（本题满分12分）
已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(2cos 2sin ,2cos 2sin ).b αααα=-+r
（1）求向量a r 与b r
的夹角;
（2）若()b a a λ-⊥r r r
，求实数λ的值．
19．（本题满分12分）
如图，在ABC ∆中，D 为BC
中点，2AC AD ==135BAC ∠=o。

（1）求AB 的长度；（2）求BAD ∠．
20．（本题满分12分）
某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile /h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即向方位角为45θ+o
方向，以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇与
C
A
B
D
渔轮相遇时所需的最短时间和sin θ．
21．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边的长分别为,,,c b a ，且1
cos 2
a C c
b +=. （1）求角A 的大小;
（2）若1a =，求ABC △的周长l 的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知，在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边的长分别为,,,c b a 且2()a b b c =+. （1）求
B
A
的值； （2）若ABC △为锐角三角形，求b
a
的取值范围．
大庆四中2019～2020学年度第二学期第一次检测高一年级
数学（理科）试题答案
一．选择题 DBBCC DCCBB AB 二、填空题
13．5 14．1233
AE a b =
+u u u r
r
r 15．①④ 16
．14 三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）
17．（本题满分10分）
解：1,660,1
a b c a b a c y y ∴⨯⊥∴-==r r r
Q r r
P r r
Q （）向量=(3,x),=(4,-8),=(2,y),
又,3(-8)-4x=0,解得x=-6解得 -- - - -5分
21(3,6),(2,1)
(1,7)a c a c a c =-=∴-=-∴-==r r
r r r r （）由（）得分 18．（本题满分12分）
解：（1）(cos ,sin ),(2cos 2sin ,2cos 2sin )a b αααααα==-+r r
Q
1 a b ∴==r r (
)
cos ,a b a b a b ∴==
r r
r r g r r 所以向量a r 与b r 的夹角为4
π。

---------6分
2
2()()210.
1 122
b a a b a a a b a λλλλλ-⊥∴-=-=-==
-------r r r r r r r r r Q g g （）解得分
19．（本题满分12分）
解：（1）设AB x =，因为2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，所以22242AD AB AB AC AC =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
由题知，135AD AC BAC ==∠=o u u u r u u u r
于是有2
4282(x x ⨯=++⨯ 解得 4x = 所以，4AB = ---6分 （2）由D 为BC 中点得，2BAD ABC S S ∆∆=
根据正弦定理的得，11
2sin sin13522
AB AD BAD AB AC ⨯⨯⨯⨯∠=
⨯⨯o 解得，2sin 2
BAD ∠=
，所以，45BAD ∠=o。

-------------12 分 20．（本题满分12分）
解：如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所
以舰
艇与渔轮相遇时所需的最短时间为2
3
h. ---------6分
此时AB ＝14，BC ＝6.
在△ABC 中，根据正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝AB
sin 120°，
所以sin ∠CAB ＝6×
3214＝3314， 即33
sin 14
θ=
所以舰艇所需最短时间为2
3 h ，33sin 14
θ=．---------------12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）bc a c b b c ab c b a a =-+⇒=+-+⋅
2222222
1
2 3
0,21cos π
π=⇒<<=
⇒A A A （2）方法一：123cos 222
22-+=⇒-+=
c b bc bc
a c
b π
2
2
)2
(
1)(c b c b +≤-+⇒，当且仅当c b =时等号成立 2≤+⇒c b ，又1>+c b ⇒周长的取值范围为：(]3,2
（2）方法二：)sin 23cos 2
3(32)sin (sin 32C C C B c b +=+=
+
=)6
sin(2π
+
C
6
56
6
ππ
π
<
+
<C
⇒21≤+<c b ⇒周长的取值范围为：(]3,2
22．（本小题满分12分）
解：（1）B
A
b a ab a ab
c b b a c b ac bc c ac b c a B sin 2sin 222)(222cos 22222===+=+=+=-+=
,cos sin 2sin B B A =所以2,
2,2sin sin ===B
A
B A B A （1）法二：)(cos 22
2
2
c b b A bc c b a +=-+= 化简可得)1cos 2(+=A b c
由正弦定理可得)1cos 2(sin sin +=A B C )1cos 2(sin )sin(+=+A B B A 化简整理得B B A sin )sin(=- 2,==-B
A
B B A ———7分 (2)由题意知道,2
30,2
20,π
ππ
π<
-=<<=<=++B C B A C B A
可得
B B
A
b a
B cos 2sin sin ,
46
==
<
<ππ
, 32,23cos 22<<<<b
a B ———————12分。