反比例函数压轴题精选(含答案)

2021-2021年中考反比例函数
经典结论：
如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 1
2
AOB AOC S S k ∆∆==
； (II ) OBAC S k =矩形。

下面两个结论是上述结论的拓展.
(1) 如图①，
OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。

(2)如图②，
OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。

经典例题
例1.(1)(兰州)如图，双曲线(0)k
y x x
=
>经过矩形OABC
边AB 的中点
F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，那么k = 2 ；
(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行
线交双曲线1(0)y x x
=>于C D 、两点，假设2BD AC =，那么24OC -6
例2．(2021陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x
y 6
=
),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 .
解析：因为A ，B 在反比例函数x
y 6
=
上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此
),(),,(2211y x B y x A 中有
1
212,y y x x -=-=，所以
24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x
例3．(2021山东威海) 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x
m
y =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．
(1) 求反比例函数x
m
y =
和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积． 解：(1)∵ 反比例函数x
m
y =
的图象经过点A ﹙－2，－5﹚， ∴ m =(－2)×( －5)＝10．
∴ 反比例函数的表达式为x
y 10
=． ∵ 点C ﹙5，n
∴ 25
10
==
n ． ∴ C 的坐标为﹙5，2﹚． ∵ 一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入b kx y +=，得 ⎩
⎨⎧+=+-=-.5225b k b k ，
解得⎩⎨⎧-==.31b k ，
∴ 所求一次函数的表达式为y ＝x －3．
(2) ∵ 一次函数y =x －3的图像交y 轴于点B ， ∴ B 点坐标为﹙0，－3﹚． ∴ OB ＝3． ∵ A 点的横坐标为－2，C 点的横坐标为5，
∴ S △AOC = S △AOB + S △BOC =()2
21
52215212-21=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅OB OB OB ．
例4．〔2007福建福州〕如图，直线12y x =与双曲线(0)k
y k x
=>交于A B ，两
点，且点A 的横坐标为4． 〔1〕求k 的值；
〔2〕假设双曲线(0)k
y k x
=
>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； 〔3〕过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k
y k x
=>于P Q ，两点〔P 点在第一象限〕，假设由点
A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
解：〔1〕
点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．
∴点A 的坐标为(42)，
． 点A 是直线12y x =与双曲线(0)k
y k x =>的交点，
428k ∴=⨯=．
〔2〕解法一：如图1，点C 在双曲线上，当8y =时，1x =
∴点C 的坐标为(18)
，． 过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ．
32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．
3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形．
解法二：如图2，
过点C A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，
点C 在双曲线8
y x
=上，当8y =时，1x =．
∴点C 的坐标为(18)
，．点C ，A 都在双曲线8
y x
=上， 4COE AOF S S ∴==△△ COE COA AOF CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形．
COA CEFA S S ∴=△梯形．
1
(28)3152
CEFA S =⨯+⨯=梯形，15COA S ∴=△．
〔3〕反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，
OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形． 11
24644
POA APBQ S S ∴=
=⨯=△平行四边形． 设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8
()P m m
，．
过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△． 假设04m <<，如图3，
POE POA AOF PEFA S S S S +=+△△△梯形，
6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫
+-= ⎪
⎝⎭∴·． 解得2m =，8m =-〔舍去〕．∴(24)P ，
． 假设4m >，如图4，
AOF AOP POE AFEP S S S S +=+△△△梯形，
6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫
∴+-= ⎪⎝⎭，
解得8m =，2m =-〔舍去〕．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，
或(81)P ，． 例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点E 〔3，4〕．
图2
O x A
y
B
F
E C
图3
O A
y
B
F
Q
E P x
图4
O x A
y
B
F E Q
P
〔1〕求反比例函数的解析式；
〔2〕反比例函数的图象与线段BC 交于点D ，直线1
y x b 2
过点D ，与线段AB 相交于点F ，求点F 的坐
标；
〔3〕连接OF ，OE ，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明．
【答案】解：〔1〕设反比例函数的解析式k y x
， ∵反比例函数的图象过点E 〔3，4〕，∴k
4
3
，即k=12。

∴反比例函数的解析式12y x。

〔2〕∵正方形AOCB 的边长为4，∴点D 的横坐标为4，点F 的纵坐标为4。

∵点D 在反比例函数的图象上，∴点D 的纵坐标为3，即D 〔4,3〕。

∵点D 在直线1
y x b 2上，∴134b 2
，解得b=5。

∴直线DF 为1y
x 52。

将y
4代入1y
x 52
，得14
x 52
，解得x 2。

∴点F 的坐标为〔2，4〕。

〔3〕∠AOF ＝
1
2
∠EOC 。

证明如下： 在CD 上取CG =CF =2，连接OG ，连接EG 并延长交ｘ轴于点H 。

∵AO =CO =4，∠OAF =∠OCG =900，AF =CG =2， ∴△OAF ≌△OCG 〔SAS 〕。

∴∠AOF =∠COG 。

∵∠EGB =∠HGC ，∠B =∠GCH =900，BG =CG =2， ∴△EGB ≌△HGC 〔AAS 〕。

∴EG =HG 。

设直线EG ：y
mx
n ，
∵E 〔3，4〕，G 〔4，2〕，∴43m n 24m n =+⎧⎨=+⎩，解得，m 2n=10=⎧⎨⎩
－。

∴直线EG ：y 2x
10。

令y
2x
10=0，得x
5。

∴H 〔5，0〕，OH =5。

在R ｔ△AOF 中，AO =4，AE =3，根据勾股定理，得OE =5。

∴OH =OE 。

∴OG 是等腰三角形底边EH 上的中线。

∴OG 是等腰三角形顶角的平分线。

∴∠EOG =∠GOH 。

∴∠EOG =∠GOC =∠AOF ，即∠AOF ＝
1
2
∠EOC 。

例6.(2021山东威海) 一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k
y x
=
的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y
⊥
轴，垂足分别为F D ，，
AC 与BD 交于点K ，连接CD ． 〔1〕假设点A B ，在反比例函数k
y x
=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．
〔2〕假设点A B ，分别在反比例函数k
y x
=的图象的不同分支上，如图2，那么AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．
解：〔1〕①
AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，∴四边形AEOC 为矩形．
BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴四边形BDOF 为矩形．
AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴四边形AEDK DOCK CFBK ，，均为矩形．
1111OC x AC y x y k ===，，， ∴11AEOC S OC AC x y k ===矩形
2222OF x FB y x y k ===，，，∴22BDOF S OF FB x y k ===矩形．
∴AEOC BDOF S S =矩形矩形．
AEDK AEOC DOCK S S S =-矩形矩形矩形，
CFBK BDOF DOCK S S S =-矩形矩形矩形， ∴AEDK CFBK S S =矩形矩形 ②由〔1〕知AEDK CFBK S S =矩形矩形．∴AK DK BK CK =．∴
AK BK
CK DK
=
90AKB CKD ∠=∠=°，∴AKB CKD △∽△．∴CDK ABK ∠=∠．
∴AB CD
∥AC y ∥轴，∴四边形ACDN 是平行四边形．
∴AN CD =．同理BM CD =．AN BM ∴=．
〔2〕AN 与BM 仍然相等．
AEDK AEOC ODKC S S S =+矩形矩形矩形，
BKCF BDOF ODKC S S S =+矩形矩形矩形，又
AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，
∴AEDK BKCF S S =矩形矩形 ∴AK DK BK CK =．
∴
CK DK
AK BK
=．
K K ∠=∠，
)
y
A
B
1S
2S
y
x
O P 1 P 2
P 3 P
4 P 5
A 1 A 2 A 3 A 4 A 5
2
y x
=
∴CDK ABK △∽△．∴CDK ABK ∠=∠． ∴AB CD ∥．
AC y ∥轴， ∴四边形ANDC 是平行四边形． ∴AN CD =．
同理BM CD =． ∴AN BM =．
第一局部练习
一、选择题
1.(2021年鄂州)如图，直线y =mx 与双曲线y =x
k
交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ,假设ABM S ∆=2，那么k 的值是 A .2
B .m －2
C .m
D .4
2.(2021兰州) 如图，假设正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在
函
数
1
y x
=
〔0x >〕的图象上，那么点E 的坐标是〔 ， 〕. 3.(2021泰安〕如图，双曲线)0(＞k x
k
y =
经过矩形OABC 的边BC 的中点E ， 交AB 于点D 。

假设梯形ODBC 的面积为3，那么双曲线的解析式为
A ．
x y 1=
B ．x y 2=
C ． x y 3=
D ．x
y 6
=
4.〔2021仙桃〕如图，双曲线)0k (x
k
y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，
与直角边AB 相交于点C ．假设△OBC 的面积为3，那么k ＝____________． 5.(2021年牡丹江市)如图，点A 、B 是双曲线3
y x
=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，假设1S =阴影，
那么12S S += ． 6.〔2021年莆田〕如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点
12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()2
0y x x
=
≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，
得直角三角形1112233344455OPA A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，那么5S 的值为 ．．
y
B A A
B C
D E y
x
O
M
第4题图 第5题图 第6题图 7.〔2021年包头〕一次函数1y x =+与反比例函数k
y x
=
的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，那么AC 的长为
8.〔2021 嵊州市〕如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线x
y 2
-
=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,那么122183y x y x -的值为 A .－5 B .－10 C .5 D .10 【答案】B
9.〔2021江苏无锡〕如图，梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k y x
=
交OB 于D ，且OD ：DB=1:2，假设△OBC 的面积等于3，那么k 的值
A ．等于2
B ．等于
34
C ．等于5
D ．无法确定 【答案】B
第7题图 第8题图 第9题图
10.〔2021江苏盐城〕如图，A 、B 是双曲线 y = k
x
(k >0) 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，假设S △AOC =6．那么k= ．【答案】4 11.〔2021安徽蚌埠二中〕点〔1，3〕在函数)0(>=
x x
k
y 的图像上。

正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数)0(>=x x
k
y 的图像又经过A 、E 两点，那么点E 的横坐标为__________。

6
12.〔2021四川内江〕如图，反比例函数y ＝k x
(x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相
交于点D 、E ．假设四边形ODBE 的面积为6，那么k 的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
y O x
A
C B y
B
A o
O A
B
C
D
x
y
图5—2
图5—1
输出y 取相反数
4
2
取倒数
取倒数
输入非零数x
P
Q
M
第10题图 第11题图 第12题图 13.〔2021山东东营〕如图,直线l 和双曲线(0)k
y k x
=
>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点〔不与A 、B 重合〕,过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E ,连接OA 、OB 、OP ,设△AOC 面积是S 1、△BOD 面积是S 2、△POE 面积是S 3、那么
A . S 1＜S 2＜S 3
B . S 1>S 2>S 3
C . S 1=S 2>S 3
D . S 1=S 2<S 3
【答案】D
14.〔2021河北〕根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ,Q ，连接OP ,OQ .那么以下结论 ①x ＜0时，x
2
y =
， ②△OPQ 的面积为定值， ③x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ④MQ =2PM ⑤∠POQ 可以等于90°
其中正确的结论是
A ．①②④
B ②④⑤
C ．③④⑤
D ．②③⑤
【答案】B
15.〔2021甘肃兰州，15，4分〕如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原
点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数
221
k k y x
++=的图象上。

假设点A 的坐标为〔－2，－2〕，那么k
的值为
A ．1
B ．－3
C ．4
D ．1或－3
【答案】D
16.〔2021四川乐山〕如图，直线 6y x =- 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是
反比例函数4
(0)y x x
=
>图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足
为点N ，交
x
y
O A
B
C
D
AB 于点F 。

那么AF BE ⋅=
A ．8
B ．6
C ．4
D ．62 【答案】A
17.〔2021•德州〕如图，两个反比例函数
和
的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足为
C ，交l 2于点A ，P
D ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，那么三角形PAB 的面积为
A ． 3
B ． 4
C ．
D ．
5 解
解：∵点P 在y =上， ∴设P 的坐标是〔a ，〕， ∵PA ⊥x 轴， ∴A 的横坐标是a ， ∵A 在y =﹣上， ∴A 的坐标是〔a ，﹣〕， ∵PB ⊥y 轴， ∴B 的纵坐标是， ∵B 在y =﹣上， ∴代入得：﹣， 解得：x =﹣2a ，∴B 的坐标是〔﹣2a ，〕， ∴PA =﹣〔﹣〕=，PB =a ﹣〔﹣2a 〕=3a ，
∵PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，x 轴⊥y 轴， ∴PA ⊥PB ，
∴△PAB 的面积是：PA ×PB =××3a =． 应选C ．
18.〔2021福州〕如图，过点C (1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、
B 两点，假设反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，那么k 的取
值范围是
A ．2≤k ≤9
B ．2≤k ≤8
C ．2≤k ≤5
D ．5≤k ≤8
解答：解：∵ 点C (1，2)，BC ∥y 轴，AC ∥x 轴，
∴ 当x ＝1时，y ＝－1＋6＝5，
当y ＝2时，－x ＋6＝2，解得x ＝4， ∴ 点A 、B 的坐标分别为A (4，2)，B (1，5)，
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C 相交时，k ＝1×2＝2最小，设与线段AB 相交于点(x ，－x ＋6)时k 值最大，那么k ＝x (－x ＋6)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9，
A
B
C
O
x
y
∵ 1≤x ≤4，∴ 当x ＝3时，k 值最大，此时交点坐标为(3，3)， 因此，k 的取值范围是2≤k ≤9．应选A ．
19.〔2021临沂〕如图，假设点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数1(0)k y x x =
>和2(0)k
y x x
=>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．那么以下结论正确的选项是
A ．∠POQ 不可能等于90°
B ．
1
2
k PM QM k = C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称； D ．△POQ 的面积是
()121
2
k k + 应选：D ．
20.〔2021湖北黄石〕如下图，11
(,)2
A y ，2(2,)
B y 为反比
例函数1
y x
=图像上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段
AP 与线段BP 之差到达最大时，点P 的坐标是 D
A . 1(,0)2
B . (1,0)
C . 3(,0)2
D . 5(,0)2
【解答】解：∵把A 〔1/2 ，y 1〕，B 〔2，y 2〕代入反比例函数y =1/ x 得：y 1=2，y 2=1/2 ，
∴A 〔1/2 ，2〕，B 〔2，1/2 〕，
∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP －BP |＜AB ， ∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA －PB =AB ， 即此时线段AP 与线段BP 之差到达最大， 设直线AB 的解析式是y =kx +b ，
把A 、B 的坐标代入得： 2=1/2k +b ,1/2 =2k +b ， 解得：k =－1，b =5/2 ，
∴直线AB 的解析式是y =－x +5/2 ，
当y =0时，x =5/2 ， 即P 〔5/2 ，0〕， 应选D ．
21.(2021湖北随州) 如图，直线l 与反比例函数
x y 2
=
的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于C
点,假设AB ：BC =(m 一l )：1(m >l )那么△OAB 的面积(用m 表示)为
A .m m 212-
B .m
m 1
2- C . m m )1(32- D .m m 2)1(32-
B A
o
x
y
l
y
x
O
A
B
P
O
x
y
B A
C 答案：B
22.〔2021江苏苏州〕如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3，4)，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象经过顶点B ，那么k 的值为
A ．12
B ．20
C ．24
D ．32
【答案】D ．
解：过C 点作CD ⊥x 轴，垂足为D ．
∵点C 的坐标为〔3，4〕，∴OD =3，CD =4．
∴OC = OD 2+CD 2=32+42=5．∴OC =BC =5．∴点B 坐标为〔8，4〕， ∵反比例函数y =
k
x
〔x ＞0〕的图象经过顶点B ，∴k =32． 23.〔2021山东临沂〕如图，等边三角形OAB 的一边OA 在x 轴上，双曲线y ＝
3
x
在第一象限内的
图象经过OB 边的中点C ，那么点B 的坐标是
A ．〔1，3〕
B ．〔3，1〕
C ．〔2，23〕
D ．〔23，2〕
【答案】：C ．
24.(2021湖北孝感〕如图，函数y =﹣x 与函数
的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，
垂足分别为点C ，D ．那么四边形ACBD 的面积为 A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8
解答： 解：∵过函数
的图象上A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，
∴S △AOC =S △ODB =|k |=2， 又∵OC =OD ，AC =BD ， ∴S △AOC =S △ODA =S △ODB =S △OBC =2， ∴四边形ABCD 的面积为：
S △AOC +S △ODA +S △ODB +S △OBC =4×2=8．
应选D ．
25.〔2021四川内江〕如图，反比例函数
〔x ＞0〕的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC
交于点D 、E ，假设四边形ODBE 的面积为9，那么k 的值为
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
解答：解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，那么S
△OCE
=，S△OAD=，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，那么S□ONMG=|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，那么++9=4k，
解得：k=3．应选C．
26.(2021四川乐山)如图，第一象限内的点A在反比例函数y = 2
x
的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y
= k
x
的图象上，且OA⊥0B，cotA=
3
3
，那么k的值为A．－3 B.－6 C.－ 3 D.－2 3
27.〔2021贵州省黔东南州〕如图，直线y=2x与双曲线y=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，那么点A′的坐标为
A .()1,0
B . ()1,0或()1,0-
C . ()2,0或()0,2-
D . ()2,1-或()2,1-
解答：
解：联立直线与反比例解析式得：
，
消去y 得到：x 2=1， 解得：x =1或﹣1， ∴y =2或﹣2，
∴A 〔1，2〕，即AB =2，OB =1， 根据题意画出相
应的图形，如下图，
可得A ′B ′=A ′′B ′′=AB =2，OB ′=OB ′′=OB =1， 根据图形得：点A ′的坐标为〔﹣2，1〕或〔2，﹣1〕． 应选D ．
28. 〔2021•威海〕如图，在平面直角坐标系中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，反比例函数
的图象经过点
A ，反比例函数
的图象经过点B ，那么以下关于m ，n 的关系正确的选项是〔 〕
A ． m =﹣3n
B ． m =﹣n
C ． m =﹣
n
D ． m =
n
解答： 解：过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，
设点B 坐标为〔a ，〕，点A 的坐标为〔b ，〕，∵∠OAB =30°， ∴OA =
OB ， 设点B 坐标为〔a ，〕，点A 的坐标为〔b ，〕，
那么OE =﹣a ，BE =，OF =b ，AF =， ∵∠BOE +∠OBE =90°，∠AOF +∠BOE =90°， ∴∠OBE =∠AOF ， 又∵∠BEO =∠OFA =90°， ∴△BOE ∽△OAF ， ∴
=
=
，即
==，解得：m =﹣ab ，n =，
O x
y
A B C 故可得：m =﹣3n ．应选A ． 二、填空题
1.〔2021湖北武汉〕如图，直线y ＝3
x b +与y 轴交于点A ，与双曲线y ＝
k
x
在第一象限交于点B ，C 两点，且AB ⋅AC ＝4，那么k ＝ ．
答案：
32.〔2021 福建德化〕如图，直线43
y x =
与双曲线k
y x =〔0x >〕交于点A ．将
直
线43y x =向下平移个6单位后，与双曲线k y x =〔0x >〕交于点B ，与
x
轴交于点C ，那么C 点的坐标为___________；假设2AO BC =，那么k = ．
【答案】
〔)0,2
9
，12 3.〔2021湖南衡阳〕如图，双曲线)0k (x
k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．假设△OBC 的面积为3， 那么k ＝____________． 【答案】2
4.〔2021宁波市〕如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝2
x
〔x ＞0〕的图像上，顶点A 1、B 1分别
在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝2
x
〔x ＞0〕的图象上，顶点
A 3在x 轴的正半轴上，那么点P 3的坐标为
【答案】〔3＋1，3－1〕
5.〔2021安徽芜湖〕如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，
反比例函数k
y x
=
经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为〔422〕的圆内切于△ABC ，
那么k 的值为 ． 【答案】4
6.〔2021湖北武汉市〕如图，
ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A 〔－1，
0〕，B
〔0，－2〕，顶点C ，D 在双曲线y =x
k
上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE
的面积是△ABE 面积的5倍，那么k =___ __．
x
y
第16题图
B
C E
D
o
Q P
A x
y
第16题图
H
F B
C
E
D
o
Q P
A 【答案】12
7.〔2021湖北孝感〕 如图，点A 在双曲线1
y
x
上，点B 在双曲线3
y
x
上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，假设四边形ABCD 的面积为矩形，那么它的
面积为 . 【答案】2
8.〔2021湖北荆州，16，4分〕如图，双曲线2
(0)y
x x
经过四边形OABC
的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将
△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，那么四边形OABC 的
面积是 . 【答案】2
9.〔2021浙江温州〕如图，动点A 在函数4
=
y x
(x >o )的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD =AB ，延长BA 至点Ｅ，
使AE =AC .
直线DE 分别交x 轴，y 轴于点P ,Q .当QE ：DP =4:9时，图中的阴影局部的
面积等于____________.
如图，作EF ⊥y 轴，DH ⊥x 轴，由题意得：
△QEF ∽△DHP ，∵QE ：DP =4:9设AC = a ,那么AB =4
a
，
4
9
EF HP ,HP =94a ，∵△AED ∽△DHP ，
∴424
648==,==49934EA AD a a a a a DH HP a 得到：得：得：
S 阴影=2218+2a a =4
13+3=3
3〕
10.〔2021•聊城〕如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P 〔3a ，
a 〕是反比例函数y =〔k ＞0〕的图象上与正方形的一个交点．假设图中阴影局部的面积等于9，那么这个反比例
函数的解析式为 ．
解答： 解答：
解：∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴阴影局部的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为b ，那么b 2=9，解得b =6， ∵正方形的中心在原点O ， ∴直线AB 的解析式为：x =3， ∵点P 〔3a ，a 〕在直线AB 上， ∴3a =3，解得a =1， ∴P 〔3，1〕， ∵点P 在反比例函数y =〔k ＞0〕的图象上， ∴k =3， ∴此反比例函数的解析式为：y =． 故答案为：y =
11.〔2021•衢州〕如图，函数y =2x 和函数的图象交于A 、B 两点，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，假设△AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的
点，且以点B 、O 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，那么满足条件的P 点坐
标是 P 1〔0，
﹣4〕P 2〔﹣4，﹣4〕P 3〔4，4〕
解答： 解：如图∵△AOE 的面积为4，函数
的图象过一、三象限，
∴k =8，
∵函数y =2x 和函数
的图象交于A 、B 两点，
∴A 、B 两点的坐标是：〔2，4〕〔﹣2，﹣4〕， ∵以点B 、O 、E 、P 为顶点的平行四边形共有3个， ∴满足条件的P 点有3个，分别为：
P 1〔0，﹣4〕，P 2〔﹣4，﹣4〕，P 3〔4，4〕．
故答案为：P 1〔0，﹣4〕，P 2〔﹣4，﹣4〕，P 3〔4，4〕． 12.(2021甘肃兰州)如图，M 为双曲线y ＝
3
x
上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y ＝－x ＋m 于
点D 、C 两点，假设直线y ＝－x ＋m 与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，那么AD •BC 的值为 ． 解答： 解：作CE ⊥x 轴于E ，DF ⊥y 轴于F ，如图，
对于y ＝－x ＋m ，
令x ＝0，那么y ＝m ；令y ＝0，－x ＋m ＝0，解得x ＝m ， ∴A (0，m )，B (m ，0)， ∴△OAB 等腰直角三角形，
∴△ADF 和△CEB 都是等腰直角三角形，
设M 的坐标为(a ，b )，那么ab ＝，
CE ＝b ，DF ＝a ，
∴AD ＝
DF ＝
a ，BC ＝CE ＝
b ，
∴AD •BC ＝a •
b ＝2ab ＝2
． 故答案为2
．
13.〔2021.深圳〕如图，双曲线k
y (k 0)x
=
>与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，点P 坐标为(1，3)，那么图中阴影局部的面积为 ． 【答案】4。

【分析】∵⊙O 在第一象限关于y =x 对称，k
y (k 0)x
=
>也关于y =x 对称，P 点坐
标是〔1，3〕， ∴Q 点的坐标是〔3，1〕， ∴S 阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。

14.(2021•扬州)如图，双曲线y ＝经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交
于点B ，OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，那么k 的值是 12 ． 解答： 过A 点作AC ⊥x 轴于点C ，如图，
那么AC ∥NM ， ∴△OAC ∽△ONM ，∴OC ：OM ＝AC ：NM ＝OA ：ON ，
而OA ＝2AN ，即OA ：ON ＝2：3，设A 点坐标为(a ，b )，那么OC ＝a ，AC ＝b ， ∴OM ＝a ，NM ＝b ， ∴N 点坐标为(a ，b )， ∴点B 的横坐标为a ，设B 点的纵坐标为y ， ∵点A 与点B 都在y ＝图象上， ∴k ＝ab ＝a •y ， ∴y ＝b ，即B 点坐标为(a ，b )，
∵OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，∴△NAB 的面积为， ∴△ONB 的面积＝5＋＝
， ∴NB •OM ＝
，即×(b －b )×a ＝
，
∴ab ＝12， ∴k ＝12． 故答案为12．
15.〔2021武汉〕如图，点A 在双曲线y =的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC =2AB ，点E 在线段AC 上，且AE =3EC ，点D 为OB 的中点，假设△ADE 的面积为3，那么k 的值为 ．
C
解答：解：连DC ，如图，
∵AE =3EC ，△ADE 的面积为3，∴△CDE 的面积为1， ∴△ADC 的面积为4，
设A 点坐标为〔a ，b 〕，那么AB =a ，OC =2AB =2a ，而点D 为OB 的中点， ∴BD =OD =b ，
∵S 梯形OBAC =S △ABO +S △ADC +S △ODC ，
∴〔a +2a 〕×b =a ×b +4+×2a ×b ， ∴ab =，
把A 〔a ，b 〕代入双曲线y =， ∴k =ab =
．
16.(2021成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，
与反比例函数k
y x
=
(k 为常数，且0k >)在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥ y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．假设
BE 1
BF m
=(m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为1S ，△OEF 的面积为2S ，那么1
2
S S =________． (用含m 的代数式表示) 答案：
1
1
m m 〔k 的几何意义，线段比的转化，面积的几种求法〕 17.〔2021湖北黄冈〕反比例函数y ＝
6
x
在第一象限的图象如下图，点A 在其图象上，点B 为x 轴正半轴上一点，连接AO 、AB ，且AO
＝AB ，那么
S △AOB ＝ ．
【答案】6．
【解析】如以下图，过点A 作
AC ⊥OB 于点C ，∵AO ＝AB ，∴OC ＝BC ．而AC ＝AC ，
AO ＝AB ，
∴△AOC ≌△ABC ．∴S △AOC ＝S △ABC ．设点A 的坐标为(x ，
AC ＝y ，OC ＝x ，∴S △AOB ＝2S △AOC ＝2×
1
2
×OC ·AC ＝xy y )(x ＞0，y ＞0)，那么xy ＝6，
＝6．
18.〔2021四川宜宾〕如图，直线x y 34=
与双曲线)0(>=x x k y 交于点A ，将直线x y 34=向右平移2
9
个单位
后，与双曲线)0(>=x x
k
y 交于点B ，与x 轴交于点C ，假设2=BC AO ，那么k = ． 【答案】12．
【解析】首先求出平移后直线的解析式，然后直线x y 34=
与双曲线)0(>=x x
k
y 两解析式联立方程组求出点A 的纵坐标，平移后的直线解析式x y 34=－6与双曲线)0(>=x x
k
y 两解析式联立方程组，求出点B 的纵坐
标，根据相似三角形对应边成比例的性质可得A 、B 的纵坐标的比等于AO ：BC ，然后列出方程求解即可． 19.〔2021四川泸州〕如图，()111P ,x y ，()222P ,x y ，……()P ,n n n x y 在函数()1
0y x x
=
>的图像上，11P OA ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，……1P A A n n n -∆都是等腰直角三角形，斜边1OA 、12A A 、23A A ，……1A A n n -都在x 轴
上〔n 是大于或等于2的正整数〕，那么点3P 的坐标是 ；点n P 的坐标是 〔用含n 的式子表示〕．
y
x
P 1
P 2
P 3A 3
A 2A 1
O
【答案】
(
)32,32+-；
(
)
1,1n n n n +---
【解析】过点P 1作P 1E ⊥x 轴于点E ，过点P 2作P 2F ⊥x 轴于点F ，过点P 3作P 3G ⊥x 轴于点G ，根据△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3都是等腰直角三角形，可求出P 1，P 2，P 3的坐标，从而总结出一般规律得出点P n 的坐标． 21.〔2021山东日照〕如右图，直线AB 交双曲线x
k
y =
于Ａ、B ，交x 轴于点C ,B 为线段AC 的中点，过点B 作BM ⊥x 轴于M ，连结OA .假设OM =2MC ,S ⊿OAC =12.那么k 的值为___________.
【答案】8
【解析】过点A 作AD ⊥x 轴于点D ,那么△ADO 的面积为
2
1k , ∵BM ⊥x 轴,∴AD ∥BM , ∵B 为线段AC 的中点，∴BM 为△ADC 的中位线，∴DM =MC , ∵OM =2MC ,
∴OD =DM =MC . ∴S ⊿OAC =3S ⊿OAD ,=12=
k 2
3
，∴k =8. 22.〔2021•宁波〕如图，等腰直角三角形ABC 顶点A 在x 轴上，∠BCA =90°，AC =BC =2，反比例函数y =
〔x ＞0〕的图象分别与AB ，BC 交于点D ，E ．连结DE ，当△BDE ∽△BCA 时，点E
的坐标为 ． 【答案】．〔
，
〕．
【解析】如图，∵∠BCA =90°，AC =BC =2，反比例函数y =〔x ＞0〕
的图象分
别与AB ，BC 交于点D ，E ，
∴∠BAC =∠ABC =45°，且可设E 〔a ，〕，D 〔b ，〕， ∴C 〔a ，0〕，B 〔a ，2
〕，A 〔2
﹣a ，0〕， ∴易求直线AB 的解析式是：y =x +2﹣a ．
又∵△BDE ∽△BCA ， ∴∠BDE =∠BCA =90°， ∴直线y =x 与直线DE 垂直，
∴点D 、E 关于直线y =x 对称，那么=，即ab =3．
又∵点D 在直线AB 上， ∴=b +2﹣a ，即2a 2﹣2a ﹣3=0，
解得，a =
，
∴点E 的坐标是〔
，
〕．
23.〔2021•自贡〕如图，在函数的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n +1，点P 1的横坐标为2，且后
面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n +1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成假设干个矩形，如下图，将图中阴影局部的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，那么S 1= 4 ，
S n = ．〔用含n 的代数式表示〕
解答：
解：当x =2时，P 1的纵坐标为4， 当x =4时，P 2的纵坐标为2， 当x =6时，P 3的纵坐标为， 当x =8时，P 4的纵坐标为1，
当x =10时，P 5的纵坐标为：， 那么S 1=2×〔4﹣2〕=4=2[
﹣]； S 2=2×〔2﹣〕=2×=2[﹣]； S 3=2×〔﹣1〕=2×=2[﹣
]；
Sn =2[
﹣
]=
； 故答案为：4，
．
24.〔2021•遵义〕如图，直线y =x 与双曲线y =〔k ＞0〕交于A 、B 两点，点B 的坐标为〔﹣4，﹣2〕，C 为双曲线y =〔k ＞0〕上一点，且在第一象限内，假设△AOC 的面积为6，那么点C 的坐标为 〔2，4〕 ． 解答
：
解：∵点B 〔﹣4，﹣2〕在双曲线y =上，∴
=﹣2，∴k =8，
根据中心对称性，点A 、B 关于原点对称，所以，A 〔4，2〕， 如图，过点A 作AE ⊥x 轴于E ，过点C 作CF ⊥x 轴于F ，设点C 的坐标为〔a ，〕，
那么S △AOC =S △COF +S 梯形ACFE ﹣S △AOE =×8+×〔2+〕〔4﹣a 〕﹣×8，
=4+﹣4，=，
∵△AOC 的面积为6， ∴=6，整理得，a 2+6a ﹣16=0，解
得a 1=2，a 2=﹣8〔舍去〕， ∴==4，∴点C 的坐标为〔2，4〕．故答案为：〔2，4〕．
25.(2021年武汉)如图，四边形ABCD 是平行四边形，BC ＝2AB ，A ，B 两点的坐标分别是〔－1，0〕，〔0，2〕，
C ，
D 两点在反比例函数)0(<=
x x
k
y 的图象上，那么k 的值等于 ． 答案：－12 解析：如图，过C 、D 两点作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，CG 交AD 于M 点，过D 点
作DH ⊥CG ，垂足为H ，
∵CD ∥AB ，CD =AB ，∴△CDH ≌△ABO 〔AAS 〕，
∴DH =AO =1，CH =OB =2，设C 〔m ，n 〕，D 〔m －1，n －2〕， 那么mn ＝〔m －1〕〔n －2〕=k ，解得n =2－2m ，
y
x
第15题图
D
C B
A
O
设直线BC 解析式为y =ax +b ，将B 、C 两点坐标代入得
2
b n am b
=⎧⎨
=+⎩，又n =2－2m ， BC ＝22(2)m n +-＝25m ，AB ＝5，因为BC ＝2AB ，
解得：m ＝－2，n ＝6，所以，k ＝mn ＝－12
26.(咸宁)如图，一次函数y ax b =+的图像与x 轴、y 轴交于A B 、两点，与反
比例函数k
y x
=
的图象相交于C D 、两点，分别过C D 、两点作y 轴、x 轴
的垂线，垂足为E F 、，连接CF DE 、。

有以下四个结论：①CEF DEF S S ∆∆=；②AOB FOE ∆∆∽；③DCE CDF ∆∆≌；④AC BD =.其中正确的结论是 .
三、解答题
1.(2021兰州) 如图，P 1是反比例函数)0(＞k x k
y =
在第一象限图
像上的一点，
点A 1 的坐标为(2，0)．
〔1〕当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1O A 1的面积 将如何变化？
〔2〕假设△P 1O A 1与△P 2 A 1 A 2均为等边三角形，求 此反比例函数的解析式及A 2点的坐标．
2.〔2021内蒙呼和浩特〕在平面直角坐标系中，函数y ＝
m
x
〔x ＞0，m 是常数〕的图像经 过点A 〔1，4〕、点B 〔a ，b 〕，其中a ＞1.过点A 作x 中的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，
AC 与BD 相交于点M ，连结AD 、DC 、CB 与AB .
〔1〕求m 的值； 〔2〕求证：DC ∥AB ；
F
E
D C
B
A o x
y
〔3〕当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数解析式. 【答案】解：〔1〕∵点A 〔1，4〕在函数y ＝
m
x
的图像上， ∴4＝
1
m
，得m ＝4.……………………………2分 〔2〕∵点B 〔a ，b 〕在函数y ＝
m
x
的图像上，∴ab ＝4. 又∵AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥y 轴于D 交AC 于M ，∴AC ⊥BD 于M ∴M 〔1，b 〕，D 〔0，b 〕，C 〔1，0〕 ∴tan ∠BAC ＝
BM AM
＝14a b --＝1a ab b --＝1b ，tan ∠DCM ＝DM MC ＝1b ……………4分
∴tan ∠BAC ＝tan ∠DCM ，
所以锐角∠BAC ＝∠DCM ，DC ∥AB………………………………………………6分 〔3〕设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b
∵AB ∥CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形或等腰梯形. ① 四边形ABCD 是平行四边形时，AC 与BD 互相平分， 又∵AC ⊥BD ，∴B 〔2，2〕 ∴4
22
k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩
∴直线AB 的解析式为：y ＝－2x ＋6.………………8分 ②当四边形ABCD 是等腰梯形时，
BD 与AC 相等且垂直，∵AC ＝BD ＝4，
∴B 〔4，1〕
∴同理可求直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5.…………………10分
3.〔2021年福建省泉州〕我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你
可以利用这一结论解决问题.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x 轴所在的直线绕着原点O 逆时针旋转α度角后的图形.假设它与反比例函数x
y 3
=的图象分别交于第一、三象限的点B 、D ，点)0,(m A -、)0,(m C .
〔1〕直接判断并填写：不管α取何值，四边形ABCD 的形状一定是 ; 〔2〕①当点B 为)1,(p 时，四边形ABCD 是矩形，试求p 、α、和m 有值；
②观察猜测：对①中的m 值，能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有几个？(不必说理)
〔3〕试探究：四边形ABCD 能不能是菱形？假设能, 直接写出B 点的坐标, 假设不能, 说明理由.
【答案】解：〔1〕平行四边形 …………〔3分〕
〔2〕①∵点)1,(p B 在x y 3=
的图象上，∴p
3
1= ∴3=p ………………………………〔4分〕 过B 作E x BE 轴于⊥，那么13==，BE OE
在BOE Rt ∆中，33
3
1tan =
==
OE BE α α=30°
∴2=OB
又∵点B 、D 是正比例函数与反比例函数图象的交点， ∴点B 、D 关于原点O 成中心对称
∴OB =OD =2
∵四边形ABCD 为矩形，且)0,(m A - )0,(m C
∴2====OD OC OB OA ∴2=m ；
②能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有2个；
〔3〕四边形ABCD 不能是菱形.
法一：∵点A 、C 的坐标分别为)0,(m -、)0,(m ∴四边形ABCD 的对角线AC 在x 轴上.
又∵点B 、D 分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点. ∴对角线AC 与BD 不可能垂直. ∴四边形ABCD 不能是菱形
法二：假设四边形ABCD 为菱形，那么对角线AC ⊥BD ，且AC 与BD 互相平分， 因为点A 、C 的坐标分别为〔－m ，0〕、〔m ，0〕
所以点A 、C 关于原点O 对称，且AC 在x 轴上. 所以BD 应在y 轴上，这与“点B 、D 分别在第一、三象限〞矛盾， 所以四边形ABCD 不可能为菱形.
4.〔2021广西柳州〕如图，过点P (－4，3)作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线x
k
y =〔k ≥2〕于E 、F 两点．
〔1〕点E 的坐标是________，点F 的坐标是________；〔均用含k 的式子表示〕 〔2〕判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；
〔3〕记OEF PEF S S S ∆∆-=，S 是否有最小值？假设有，求出其最小值；假设没有，请说明理由．
解：〔1〕E 〔－4，－
4k 〕，F 〔3
k ，3〕 ……3分 〔2〕〔证法一〕结论：EF ∥AB
证明：∵ P 〔－4，3〕 ∴ E 〔－4，－4k 〕，F 〔3
k ，3〕， 即得：PE =3+4k ，PF =3
k
+4 … ∵
1212433+=
+
=k k PE
PA ，
12
12
344+=
+
=k k
PF
PB
∠APB =∠EPF ∴ △PAB ∽△PEF ∴ ∠PAB =∠PEF ∴ EF ∥AB 〔证法二〕结论：EF ∥AB
证明：∵ P 〔－4，3〕 ∴ E 〔－4，－4k 〕，F 〔3
k
，3〕， 即得：PE =3+
4k ，PF =3
k
+4 … 在Rt △PAB 中，tan ∠PAB =
3
4
=PA PB 在Rt △PEF 中，tan ∠PEF =34
4
34
3=+
+=k k PE
PF ∴ tan ∠PAB = tan ∠PEF
∴ ∠PAB =∠PEF ∴ EF ∥AB 〔3〕〔方法一〕S 有最小值
∵ k S S S S FBO EAO PAOB PEDF +=++=∆∆12矩形四边形 ∴ k S S S S PEF PEF PEDF EOF +-=-=∆∆∆12四边形 由〔2〕知，)43
)(43(2121++=⋅⋅=
∆k
k PF PE S PEF ∴ S =k S S S PEF OEF PEF --=-∆∆∆122
=3)6(12
1
1222-+=+k k k 又∵ k ≥2，此时S 的值随k 值增大而增大，
∴ 当k =2时，3
7
=最小S ∴S 的最小值是37
〔方法二〕 S 有最小值．
分别过点E 、F 作PF 、PE 的平行线，交点为P ′．由〔2〕知，P ′⎪⎭⎫ ⎝⎛-43
k k
， ∵ 四边形PEP ′为矩形，∴ S △P ′EF = S △PEF
∴ S =S △PEF － S △OEF = S △P ′EF － S △OEF = S △OME +S 矩形OMP ′N + S △ONF
=21222k k k ++=
2
2
k +k =3)6(1212-+k 又∵ k ≥2，此时S 的值随k 值增大而增大， ∴ 当k =2时，S 最小=
37∴ S 的最小值是3
7
． 5.〔2021 四川绵阳〕如图，正比例函数y = ax 〔a ≠0〕的图象与反比例函致x
k
y =
〔k ≠0〕的图象的一个交点为A 〔－1，2－k 2〕，另—个交点为B ，且A 、B 关于原点O 对称，D 为OB 的中点，过点D 的线段OB 的垂直平
分线与x 轴、y 轴分别交于C 、E ．
〔1〕写出反比例函数和正比例函数的解析式； 〔2〕试计算△COE 的面积是△ODE 面积的多少倍． 【答案】〔1〕由图知k ＞0，a ＞0．∵ 点A 〔－1，2－k 2〕在x
k
y =
图象上， ∴ 2－k 2 =－k ，即 k 2－k －2 = 0，解得 k = 2〔k =－1舍去〕，得反比例函数为x
y 2
=． 此时A 〔－1，－2〕，代人y = ax ，解得a = 2，∴ 正比例函数为y = 2x ． 〔2〕过点B 作BF ⊥x 轴于F ．∵ A 〔－1，－2〕与B 关于原点对称， ∴ B 〔1，2〕，即OF = 1，BF = 2，得 OB =5．
由图，易知 Rt △OBF ∽Rt △OCD ，∴ OB : OC = OF : OD ，而OD = OB ∕2 =5∕2，
∴ OC = OB · OD ∕OF = 2.5．由 Rt △COE ∽Rt △ODE 得 5)5
2
25()(22=⨯==∆∆OD OC S S ODE COE ， 所以△COE 的面积是△ODE 面积的5倍．
7.〔2021湖北荆州〕：关于x 的一元二次方程()01222=+-+k x k x 的两根
21,x x 满足02
221=-x x ，双曲线x
k
y 4=
(x ＞0)经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于C 〔如图〕，求OBC △S ． 【答案】解：()0122
2
=+-+k x k x 有两根
∴ ()041222
≥--=∆k k
即 4
1
≤
k 由02
22
1=-x x 得：()()02121=+-x x x x 当021=+x x 时，()012=--k 解得 2
1
=
k ，不合题意，舍去 当021=-x x 时，21x x =，()041222
=--=∆k k
解得：4
1
=
k 符合题意 ∴双曲线的解析式为：x
y 1
=
过D 作DE ⊥OA 于E ， 那么2
1121S S OCA ODE =⨯==∆∆ ∵DE ⊥OA ，BA ⊥OA
∴DE ∥AB ∴△ODE ∽△OBA
∴42
=⎪⎭
⎫
⎝⎛=∆∆OD OB S S ODE OBA ∴2214=⨯=∆OBA
S ∴23
212=-
=-=∆∆∆OCA OBA OBC S S S 8．〔2021北京〕反比例函数y = k
x
的图像经过点A 〔—3，1〕
〔1〕试确定此反比例函数的解析式．
〔2〕点O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 顺时针旋转30°得到线段OB ，判断点B 是否在反比例函数的
图像上，并说明理由．
〔3〕点P 〔m +6〕也在此反比例函数的图像上〔其中m ＜0〕，过p 点作x 轴的的垂线，交x 轴于
点M ，假设线段PM 上存在一点Q ，使得△OQM 的面积是1
2
，设Q 点的纵坐标为n ，求n 2－+q 的值．
【答案】解：〔1〕由题意德
解得 k =
∴ 反比例函数的解析式为y =
〔2〕过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ， 在Rt △AOC 中，OC AC =1
可得OA ，∠AOC =30°
由题意，∠AOC =30°，OB =OA =2， ∴∠BOC =60°
过点B 做x 轴的垂线交x 轴于点D ， 在Rt △BOD 中，可得， BD OD =1
∴ 点B 坐标〔－1 将x =－1代入y = x
-
中，得y
∴点B 〔－1y =
〔3〕由y = 得xy =
∵ 点P 〔m +6〕在反比例函数的y = m ＜0
∴ m +6 〕= ∴2
10m ++= ∵PQ ⊥x 轴 ∴Q 点的坐标〔m ，n 〕 ∵ △OQM 的面积为
12 ∴12OM .QM =12
∵ m ＜0 ∴ m .n =－1 ∴
22220m n n ++=
∴2
1n -=- ∴2
98n ++=．
9.〔2021广东广州市〕Rt △ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C 〔1，3〕在反比例函数y = k
x
的图。