材料力学莫尔定理
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加单位力偶,有
x2
1B
x1
A
C
AB段
BC段
M(x1)= 0
得
M(x2)= 1
q B= - —Pa—l
EI2
例13.13
PA a
B
2
1
3
a
• 桁架各杆EA相同,求
4
AC间的相对位移
F
5
C
7 6
a
8
E
9
D
Aa
B
2
11 3
a
欲求AC间的相对
4
位移,可在AC间施
F
5
加一对单位力,求
C
出这时的内力,再
7
a
§2-4 莫尔定理
——计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具
一．定理：
l M(x)EMI(x)dx
——计算挠度的莫尔定理
其中：
f —— 线位移
Mx ——在原始载荷P1、P2、P3作用下，X截面弯矩。
M ( x ) ——在预加单位载荷P0=1 作用下，X截面的弯矩。
P1 P2 P3
x
l
C EI 2
f 图七
Ms
——载荷作用下，曲杆横截面上的弯矩
M0s
——单位力或力偶作用，曲杆横截面上的弯矩
（计算桁架中某一点位移的莫尔定理的推导做为课外作业，请大家 课后将它推导出来）
目录
例13.12
• 不计轴力及剪力影 响,计算A点垂直位 移及B截面的转角
l x2
a
B
x1
A
EI1
P
EI2
C
例13.12 解
AB段 M(x1)= -Px1
❖ 此时应强调P1、P2、P3…对梁的作用效果并不因预先在C点作用了单
位载荷而有所改变，因此得出：由于P1、P2、P3…的作用，C点产生的位
移
f ' 应等于f；
产生的变形能也应等于图七情
况下梁内的变形能。即<c>式。
U1 LM0x2EM ZI x2dx
M02xdx
M2x
dx
MxM0xdx
L 2EZI
BC段 M(x2)= -Pa
l x2
a
B
x1
A
EI1
P
EI2
C
M(x2)= -a
AB段 M(x1)= -x1
BC段
x2
B
x1
A
1
C
= —— + ——
Pa3 Pa3l
3EI1 3EI2
d y= 0a————— + 0l—————
M(x1) M(x1)dx
M(x2) M(x2)dx
EI1
EI2
为求B截面的转 角,在B截面施
就行了。
2．
fc
5ql 4 384EIZ
B
ql3
24EIZ
中的正负号所表示的含义：
“+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。
“-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。
为了表示出这两种含义，最后在求出的数值后面应用符号…标明实际位 移方向。
注意：
上述内容为一节课（50分钟）内容。整个板面应控制在两个板面左右， 以提高“讲”的效果。
应用莫尔积分求
6
8
解
E
9
D
例13.14
求活塞环在P力作用下切口的张开量
01
f
M(f )= -PR(1-cosf )
03 P
P
02 A
B
施加单位力如下
M(f )= -R(1-cosf )
最后用莫尔 积分可得
d
AB=
—3p—PR—3—
EI
f A1 B1
图八
P0
C
0E1I 2 单击此处添加标题
x
l
02 单击此处添加标题
❖ 对于图六的情况：由于该梁是一横力弯曲梁，即在
横截面上不仅有弯矩，而且还有剪力，因此在梁的变形中
，弯矩不仅要产生影响，剪力也L要H产 4生影时响，，剪力但的当影响相对
于弯矩的影响来说是很小的，
故可略而不计，而近似地认为梁的
变形都是由于 Mx 的影响而产生的。
4. 采用将P0、（P1、P2、P3……）同时作用于梁上的加 载方式时X截面弯矩:
M 0xM x ——根据叠加原理
❖ 在求U之前，应将图六和图七进行比较，即可发现图七实质 上是图六的计算简图，因此，此时梁内的变形能仍应为：
U M2xdx L 2EIZ
❖ 在进行第二步计算之前应明确：弹性体内所储存的变形 能只与外力和位移的最终数值有关，而与加载方式无关；基 于这个道理，在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下 ，变形能的情况。
C EI 2
P0
C
EI 2
f
l
图七
x l
图八
2．在P0=1单独作用下，梁内变形能U0
U0
M02xdx
L 2EIZ
—— <b>
P1 P2 P3 P 0
C
EI 2
f
l
3. 采用先加P0 =1，然后再加P1、P2、P3…..的加载方 式时，梁内的变形能
U P0作用下： 1
——<b>
2
M x P1、P2、P3……作用0下：
U dx ——0<c> L 2EIZ
图七
U M2xdx L 2EIZ
P1 P2 P3
C EI 2
f
l
图七
P0
C
EI 2
U 1 EI 2
f
l
图八
l
图九
在产生 f变形过程中，P0做功：
P0 f ——转变成变形能储存于弹性体中，从而可求出梁
内最终所储存的总变形能
U1
U 1 U 0 U P 0 f L M 2 E 2 0 Z x d I x L M 2 2 E x Z d I1 x f ——<d>
❖ 对于对称结构，在求其某一具体物理量的数值时，只需取其
一个对称部分来进行计算，其结果再乘以对称部分的个数即可。
如图十，可沿梁中截面将梁分为两个对称部分，因此
fc 及 B
可写成左边的形式。
❖ 为了区别
f c 及 B 中的 M0 x ，在 B 中的 M0x 改写
成
M
0
x
的形式。
例题总结：
1.从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出莫尔定理实质上就 是单位载荷法。若要求某一点的线位移，只需在该点上沿着线位移的方向作用一 单位集中力就行了。若要求解一截面的转角，也只需在该截面上作用一单位力偶
〈二〉求
fc 及 B
M xRAxq22xq2xlq22x
0 x l 2
M0
x
1 2
x
M' x x
0
l
fc
L
MxM0xdx
E IZ
2 l2 MxM0xdx 5ql4
0
E IZ
384E IZ
MxM' x
B L
0 dx E IZ
l MxM' x
2 2
0 dx
ql3
0
E IZ
24EIZ
❖ 在材料力学中，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构的具体图形， 因此，在接到问题，了解了已知条件和要求解的问题之后，紧接着应该来分析 图形的结构性质。很显然，图十为一对称结构。
五.莫尔定理在平面曲杆的应用：
〈对于横截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆，其弯曲正应力分布规 律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将计算直梁变形的莫尔定理推 广应用于这类曲杆〉挠度和转角的近似计算公式：
f MsM0sds MsM0sds （10-12）
S EZI
S EI
式中：S
——代表曲杆轴线的弧长
❖ 在研究莫尔定理之前，首先应明确：在这一章中， 我们将学习两种能量方法：1，莫尔定理。2，卡氏定理 。其中莫尔定理是今天这节课的内容。并且，在变形能 概念的基础上来研究莫尔定理。
二.定理证明：
1．在原始载荷P1、P2、P3……单独作用下，梁内变形能U
U M2xdx L 2EIZ
—— <a>
P1 P2 P3
C
xl
1.莫尔定理——单位力法
图九
2.适用范围——线弹性结构
四.应用举例：
例1：如图所示：简支梁AB，跨长为L，抗弯刚度为
EI Z
。其上受均布载荷作用，载荷集度为q，试求出梁跨中点C的
挠度 f c 及端面B的转角
B
EI z
RA
q
C
x l
fc ?、B?
RB
解：〈一〉求支反力RA，RB
由对称性：
ql RA RB 2
L 2EZI
L EZI
4.根据变形能与加载方式无关的道理得：
U1 U1
f LMxEM IZ0xdx
——计算挠度的莫尔定理
5.推论：同样的道理，如果我们要求截面的转角，也只需在C截面上施 加一个单位力偶，用上述同样的方法可求出：
c LMxEM IZ0xdx
U1
——计算转角的莫尔定理
EI 2
M0
三.总结：
x2
1B
x1
A
C
AB段
BC段
M(x1)= 0
得
M(x2)= 1
q B= - —Pa—l
EI2
例13.13
PA a
B
2
1
3
a
• 桁架各杆EA相同,求
4
AC间的相对位移
F
5
C
7 6
a
8
E
9
D
Aa
B
2
11 3
a
欲求AC间的相对
4
位移,可在AC间施
F
5
加一对单位力,求
C
出这时的内力,再
7
a
§2-4 莫尔定理
——计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具
一．定理：
l M(x)EMI(x)dx
——计算挠度的莫尔定理
其中：
f —— 线位移
Mx ——在原始载荷P1、P2、P3作用下，X截面弯矩。
M ( x ) ——在预加单位载荷P0=1 作用下，X截面的弯矩。
P1 P2 P3
x
l
C EI 2
f 图七
Ms
——载荷作用下，曲杆横截面上的弯矩
M0s
——单位力或力偶作用，曲杆横截面上的弯矩
（计算桁架中某一点位移的莫尔定理的推导做为课外作业，请大家 课后将它推导出来）
目录
例13.12
• 不计轴力及剪力影 响,计算A点垂直位 移及B截面的转角
l x2
a
B
x1
A
EI1
P
EI2
C
例13.12 解
AB段 M(x1)= -Px1
❖ 此时应强调P1、P2、P3…对梁的作用效果并不因预先在C点作用了单
位载荷而有所改变，因此得出：由于P1、P2、P3…的作用，C点产生的位
移
f ' 应等于f；
产生的变形能也应等于图七情
况下梁内的变形能。即<c>式。
U1 LM0x2EM ZI x2dx
M02xdx
M2x
dx
MxM0xdx
L 2EZI
BC段 M(x2)= -Pa
l x2
a
B
x1
A
EI1
P
EI2
C
M(x2)= -a
AB段 M(x1)= -x1
BC段
x2
B
x1
A
1
C
= —— + ——
Pa3 Pa3l
3EI1 3EI2
d y= 0a————— + 0l—————
M(x1) M(x1)dx
M(x2) M(x2)dx
EI1
EI2
为求B截面的转 角,在B截面施
就行了。
2．
fc
5ql 4 384EIZ
B
ql3
24EIZ
中的正负号所表示的含义：
“+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。
“-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。
为了表示出这两种含义，最后在求出的数值后面应用符号…标明实际位 移方向。
注意：
上述内容为一节课（50分钟）内容。整个板面应控制在两个板面左右， 以提高“讲”的效果。
应用莫尔积分求
6
8
解
E
9
D
例13.14
求活塞环在P力作用下切口的张开量
01
f
M(f )= -PR(1-cosf )
03 P
P
02 A
B
施加单位力如下
M(f )= -R(1-cosf )
最后用莫尔 积分可得
d
AB=
—3p—PR—3—
EI
f A1 B1
图八
P0
C
0E1I 2 单击此处添加标题
x
l
02 单击此处添加标题
❖ 对于图六的情况：由于该梁是一横力弯曲梁，即在
横截面上不仅有弯矩，而且还有剪力，因此在梁的变形中
，弯矩不仅要产生影响，剪力也L要H产 4生影时响，，剪力但的当影响相对
于弯矩的影响来说是很小的，
故可略而不计，而近似地认为梁的
变形都是由于 Mx 的影响而产生的。
4. 采用将P0、（P1、P2、P3……）同时作用于梁上的加 载方式时X截面弯矩:
M 0xM x ——根据叠加原理
❖ 在求U之前，应将图六和图七进行比较，即可发现图七实质 上是图六的计算简图，因此，此时梁内的变形能仍应为：
U M2xdx L 2EIZ
❖ 在进行第二步计算之前应明确：弹性体内所储存的变形 能只与外力和位移的最终数值有关，而与加载方式无关；基 于这个道理，在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下 ，变形能的情况。
C EI 2
P0
C
EI 2
f
l
图七
x l
图八
2．在P0=1单独作用下，梁内变形能U0
U0
M02xdx
L 2EIZ
—— <b>
P1 P2 P3 P 0
C
EI 2
f
l
3. 采用先加P0 =1，然后再加P1、P2、P3…..的加载方 式时，梁内的变形能
U P0作用下： 1
——<b>
2
M x P1、P2、P3……作用0下：
U dx ——0<c> L 2EIZ
图七
U M2xdx L 2EIZ
P1 P2 P3
C EI 2
f
l
图七
P0
C
EI 2
U 1 EI 2
f
l
图八
l
图九
在产生 f变形过程中，P0做功：
P0 f ——转变成变形能储存于弹性体中，从而可求出梁
内最终所储存的总变形能
U1
U 1 U 0 U P 0 f L M 2 E 2 0 Z x d I x L M 2 2 E x Z d I1 x f ——<d>
❖ 对于对称结构，在求其某一具体物理量的数值时，只需取其
一个对称部分来进行计算，其结果再乘以对称部分的个数即可。
如图十，可沿梁中截面将梁分为两个对称部分，因此
fc 及 B
可写成左边的形式。
❖ 为了区别
f c 及 B 中的 M0 x ，在 B 中的 M0x 改写
成
M
0
x
的形式。
例题总结：
1.从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出莫尔定理实质上就 是单位载荷法。若要求某一点的线位移，只需在该点上沿着线位移的方向作用一 单位集中力就行了。若要求解一截面的转角，也只需在该截面上作用一单位力偶
〈二〉求
fc 及 B
M xRAxq22xq2xlq22x
0 x l 2
M0
x
1 2
x
M' x x
0
l
fc
L
MxM0xdx
E IZ
2 l2 MxM0xdx 5ql4
0
E IZ
384E IZ
MxM' x
B L
0 dx E IZ
l MxM' x
2 2
0 dx
ql3
0
E IZ
24EIZ
❖ 在材料力学中，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构的具体图形， 因此，在接到问题，了解了已知条件和要求解的问题之后，紧接着应该来分析 图形的结构性质。很显然，图十为一对称结构。
五.莫尔定理在平面曲杆的应用：
〈对于横截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆，其弯曲正应力分布规 律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将计算直梁变形的莫尔定理推 广应用于这类曲杆〉挠度和转角的近似计算公式：
f MsM0sds MsM0sds （10-12）
S EZI
S EI
式中：S
——代表曲杆轴线的弧长
❖ 在研究莫尔定理之前，首先应明确：在这一章中， 我们将学习两种能量方法：1，莫尔定理。2，卡氏定理 。其中莫尔定理是今天这节课的内容。并且，在变形能 概念的基础上来研究莫尔定理。
二.定理证明：
1．在原始载荷P1、P2、P3……单独作用下，梁内变形能U
U M2xdx L 2EIZ
—— <a>
P1 P2 P3
C
xl
1.莫尔定理——单位力法
图九
2.适用范围——线弹性结构
四.应用举例：
例1：如图所示：简支梁AB，跨长为L，抗弯刚度为
EI Z
。其上受均布载荷作用，载荷集度为q，试求出梁跨中点C的
挠度 f c 及端面B的转角
B
EI z
RA
q
C
x l
fc ?、B?
RB
解：〈一〉求支反力RA，RB
由对称性：
ql RA RB 2
L 2EZI
L EZI
4.根据变形能与加载方式无关的道理得：
U1 U1
f LMxEM IZ0xdx
——计算挠度的莫尔定理
5.推论：同样的道理，如果我们要求截面的转角，也只需在C截面上施 加一个单位力偶，用上述同样的方法可求出：
c LMxEM IZ0xdx
U1
——计算转角的莫尔定理
EI 2
M0
三.总结：