2020届陕西省咸阳市武功县一模数学（文）试题

2020届陕西省咸阳市武功县一模数学（文）试题
一、单选题
1．已知全集{1,2,3,4,5,6.7},{2,4,6},{1,3,5,7}U A B ===，则(A U C B ）等于
（ ） A.{2，4，6} B.{1，3，5}
C.{2，4，5}
D.{2，5}
【答案】A
【解析】先求{2,4,6}U C B =,再求(A U C B .
【详解】
因为{1,3,5,7}B =,所以{2,4,6}U C B =, 所以(){2,4,6}U A C B ⋂=. 故选A . 【点睛】
本题考查了集合的运算,属基础题.
2．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）
A ．3
B ．5
C D 【答案】D
【解析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】
() 125i z i -=（i 是虚数单位）
可得()125i z i -=
解得z = 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力. 3．已知(1,2)a =,(2,3)b x =-且a ∥b ,则x =（ ） A.－3
B.3
4
-
C.0
D.
34
【答案】B
【解析】【详解】试题分析：因为//a b ，所以1(3)22x ⨯-=⨯，解得
3
4
x =-，故选B.
【考点】向量平行的坐标运算
4．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为（）
A.0.25
B.0.3
C.0.4
D.0.45
【答案】B
【解析】频率分布直方图的纵轴表示的是频率
组距
，所以结合组距为300可得频率． 【详解】
解：由频率分布直方图可得：新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为：0.0013000.3⨯=． 故选：B ． 【点睛】
解决此类问题的关键是熟练掌握频率分布直方图以及其纵轴所表示的意义．
5．设变量,x y 满足约束条件20
{510080
x y x y x y -+≥-+≤+-≤，则目标函数34z x y =-的最大值和最
小值分别为 A.3,11- B.3,11--
C.11,3-
D.11,3
【答案】A
【解析】试题分析：线性约束条件20
{510080
x y x y x y -+≥-+≤+-≤表示三角形
,((0,2),(3,5),(5,3))ABC A B C 及其内部，当目标函数34z x y =-经过点(3,5)B 时，
Z 取最小值11-，经过点(5,3)C 时取最大值3.
【考点】线性规划求最值
6．在ABC ∆中，有2a b =，且30C =︒，则这个三角形一定是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.以上都有可能
【答案】B
【解析】由2c b a b +>=，可得c b >，有30C B =︒>，从而解得A 为钝角． 【详解】
在ABC ∆中，2a b =，30C =︒，则有2c b a b +>=， 即c b >，有30C B =︒>，
所以180150120A B C B =︒--=︒->︒， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了大边对大角及三角形内角和定理的应用，属于基础题． 7．已知函数
()()()f x x a x b =--（其中a b >），若()f x 的图像如右图所示，则函
数()x
g x a b =+的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】根据()f x 的图像，得到01a <<，1b <-，进而可得出结果. 【详解】
由()f x 的图像可知，01a <<，1b <-，观察图像可知，答案选A ． 【点睛】
本题主要考查二次函数图像，指数函数图像，熟记函数性质即可，属于常考题型. 8．函数f(x)=sin2x-cos2x 是 ( ) A.周期为2π的函数 B.周期为
的函数.
C.周期为的函数
D.周期为π的函数
【答案】D
【解析】可根据辅助角公式进行化简，再利用周期公式可得出结果. 【详解】
∵()sin 2cos 22)4
f x x x x π
=--
∴2T=
=2
π
π 故选：D.
9．“直线l 上有两点到平面α的距离相等”是“直线l 与平面α平行”的（） A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
【答案】C
【解析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得。

【详解】
直线l 上有两点到平面α的距离相等不一定得到直线与平面平行， 有一种位置关系即直线与平面相交时，也存在两个点到平面的距离相等， 当直线l 与平面α平行时，可以得到直线上的点到平面的距离相等，
∴前者不能推出后者，后者可以推出前者， ∴前者是后者的必要不充分条件，
【点睛】
本题看出直线与平面的位置关系和条件问题的判定，本题解题的关键是正确理解线与面的位置关系，本题是一个基础题．
10．直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为
l
的方程是（ ） A.4
23
y x =
+ B.1
23
y x =-
+ C.2y = D.y=
4
23
x +或y=2 【答案】D
【解析】根据垂径定理得圆心到直线距离,再设直线方程点斜式,利用点到直线距离公式求斜率,即得结果. 【详解】
因为直线l 被圆C ：2
2
4690x y x y +--+=，2
2
(2)(3)4x y -+-=
截得的弦长为
1=，设直线l 的方程为2y kx =+，（斜率
10k =∴=或4
3
k =
，即直线l 的方程是4
23
y x =
+或2y =,选D. 【点睛】
本题考查垂径定理，考查基本转化求解能力，属基础题.
11．椭圆长轴上的两端点()13,0A -，()23,0A ，两焦点恰好把长轴三等分，则该椭圆的标准方程为（）
A.22198
x y
B.2219
x y += C.22
13632x y +
= D.22136
x y += 【答案】A
【解析】根据题意，3a =，且1
2223
c a =
=，可得3a =且1c =，再根据椭圆中a 、b 、c 的平方关系得到2b 的值，结合椭圆焦点在x 轴，得到此椭圆的标准方程．
由题意可设所求的椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，且3a =
由两焦点恰好把长轴三等分可得26a c =即33a c ==
1c =
，
b ==
故所求的椭圆方程为：
2
2
198
x y
故选：A ． 【点睛】
对于椭圆方程的求解一般需要先判断椭圆的焦点位置，进而设出椭圆的方程，求解出a ，
b 的值．
12．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤
【答案】C
【解析】因为2
()31f x ax '=+，所以2
21
()31030f x ax a x
=+=⇒=-
<'，即0a <，应选答案C 。

二、填空题
13．设()()R f x x ∈是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()11f =-，则()11f 的值是______． 【答案】1
【解析】根据已知中函数的周期性和奇偶性，结合()11f =-，可得(11)f 的值． 【详解】
()()y f x x R =∈是定义在R 上的以3为周期的奇函数，
且()11f =-，
()()()()()(11)852111f f f f f f ∴====-=-= 【点睛】
本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，难度不大，属于基础题． 14．若曲线()4
4f x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为
______．
【答案】()1,0
【解析】设(,)P m n ，求出()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解m 的方程可得m ，进而得到切点P 的坐标． 【详解】
4()f x x x =-的导数为3()41f x x '=-，
设(,)P m n ，可得曲线在点P 处的切线斜率为341k m =-， 由切线平行于直线30x y -=，可得3413m -=， 解得1m =，4110n m m =-=-=． 即有(1,0)P 【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．
15．有一个奇数列1,3,5,7,9……，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组合含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{}13,15,17,19……；则观察每组内各数之和()()f n n N ∈与组的编号数n 的关系式为__________．
【答案】3
()f n n =
【解析】分析：由题意先计算第一、二、三组内各数之和与其组的编号数的关系，再猜想． 详解： 由题意，1=13， 3+5=23， 7+9+11=33， …
故可得每组内各数之和与其组的编号数n 的关系为3n ， 故答案为：()3
f n n =.
点睛：本题主要考查了学生的归纳的能力，属于简单题.
16．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数
是___________. 【答案】36
【解析】根据题中定义“正交线面对”的含义，找出正方体中“正交线面对”的组数，即可得出结果. 【详解】
如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对. 如下图所示：
①对于正方体的每一条棱，都有2个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有
12224⨯=个；
②对于正方体的每一条面对角线（如11A C ，则11A C ⊥平面11BB D D ），均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12112⨯=个. 综上所述，正方体中的“正交线面对”共有36个. 故答案为：36.
17．一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球．
（1）共有多少个基本事件？
（2）摸出的两个都是白球的概率是多少？ 【答案】（1）共有10个基本事件（2）
3
10
【解析】（1）根据题意，分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，用列举法，一一列举出所有的基本事件；
（2）由（1）所列出的基本事件，找出符合两个都是白球的基本事件，由等可能事件的概率公式计算可得答案． 【详解】
解：（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2个球，有如下基本
事件〔摸到1，2号球用()1,2表示〕：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，
()2,5，()3,4，()3,5，()4,5．
因此，共有10个基本事件．
（2）上述10个基本事件发生的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球（记为事件A ），即()1,2，()1,3，()2,3，故()3
P A 10
=
． ∴共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为
310
． 【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，解题注意正确计算即可．
三、解答题
18．已知数列{}n a 是等差数列，且满足：1236a a a ++=，55a = （1）求n a ； （2）记数列()12
2
N n n n c n a a *++=
∈，若{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ． 【答案】（1）n a n =（2）
2
n
n + 【解析】（1）根据等差数列的定义构成方程组，即可求{}n a 的通项公式； （2）求出求数列{}n c 的通项公式，利用裂项相消法即可求前n 项和n T ． 【详解】 解：（1）
数列{}n a 是等差数列，且1236a a a ++=，55a =，
111336145
1a d a a d d +==⎧⎧∴⇒⎨⎨+==⎩⎩，n a n ∴=，
（2）
()()12221121212n n n c a a n n n n ++⎛⎫=
==⋅- ⎪+⋅+++⎝⎭
，
111111111
122222233434112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
12212222n n n n ⎛⎫=-=-= ⎪
+++⎝⎭
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及利用裂项相消法进行求和，考查学生的
计算能力．
19．如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．
（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：EF ⊥CD ；
【答案】(1）证明：(1)取PD 的中点M ，连结FM ，AM ,则FM
1
2
CD ，
又AE
1
2
CD ，AE ∴FM
四边形EFMA 为平行四边形，则EF ∥AM 又
,EF PAD AM PAD ⊄⊂面面
∴EF ∥平面PAD ………………………6分
(2)
PA ABCD ⊥面PA AD ∴⊥又由矩形ABCD 知CD AD ⊥
PAD CD ∴⊥面AM CD ∴⊥
由（1）问证明知EF ∥AM CD EF ∴⊥…………………………12分 注：用向量方法参照上述解答给分 【解析】略
20．已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，一条渐近线方程为y x =，且过点(4,10。

（Ⅰ）求双曲线方程；
（Ⅱ）若点()3,M m 在此双曲线上，求12MF MF ⋅。

【答案】（Ⅰ）22
6x y -=（Ⅱ）0
【解析】【详解】试题分析：（1）设双曲线方程为22
(0)x y λλ-=≠，由双曲线过点(
4,
，能求出双曲线方程；（2）由点()3,M m 在此双曲线上，得m =此能求出12MF MF ⋅的值
试题解析：（Ⅰ）由题意，设双曲线方程为22
(0)x y λλ-=≠
将点(4,代入双曲线方程，得(2
2
4λ-=，
即6λ=
所以，所求的双曲线方程为2
2
6x y -=
（Ⅱ）由（1）知(
)()
12,F F -
因为()3,M m ，所以()()
1
2
233,,2
33,MF m MF m =---=-
又()3,M m 在双曲线2
2
6x y -=上，则23m =
()()
2123312930MF MF m ⋅=-+=-++=
【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系 21．已知函数43
22411()(0)43
f x x ax a x a a =
+-+> （1）求函数()y f x =的单调区间；
（2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与 ()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，
（2）a >
01a ≤<. 【解析】试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，关键明确定义域，正确求出导函数.
因为322
()2(2)()f x x ax a x x x a x a =+-'=+-,令()0f x '=得
1232,0,x a x x a =-==由0a >时，列表分析()f x '在()0f x '=根的左右的符号，得
()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与，()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，，（2）
由（1）得到4
5()(2)3f x f a a =-=-极小值，4
7()()12
f x f a a ==
极小值 4()(0)f x f a ==极大值，要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要
44571312a a -<<或4
1a <
，即a >01a <<. 解：（1）因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a =+-'=+-2分
令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==
由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示
所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与6分 ()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，8分
（2）由（1）得到4
5
()(2)3
f x f a a =-=-极小值，4
7()()12
f x f a a ==
极小值 4()(0)f x f a ==极大值要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要
4457
1312
a a -<<或41a <， 14分 即a >
01a <<. 16分 【考点】利用导数研究函数性质
22．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3
R π
θρ=
∈，以极点为原点，极轴为x 轴
的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2sin 1cos 2x y α
α=⎧⎨=-⎩
（α为参数），求
直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标． 【答案】P 点的直角坐标为()0,0
【解析】将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程求交点坐标。

【详解】
解：直线l 的普通方程为y =，① 曲线C 的直角坐标方程为[]()2
12,22
y x x =
∈-，②
联立①②解方程组得0,0x y =⎧⎨=⎩或6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩根据x 的范围应舍去6x y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩
故P 点的直角坐标为()0,0． 【点睛】
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化成普通方程，属基础题． 23．选修4-5：不等式选讲
设不等式2x a -<（*a N ∈）的解集为A ，且32A ∈，1
2
A ∉.
（1）求a 的值；
（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值. 【答案】（1）1a = （2）()f x 的最小值为3 【解析】试题分析：利用
31
,22
A A ∈∉，推出关于a 的绝对值不等式，结合a 为整数直接求a 的值；（2）利用a 的值化简函数()f x ，利用绝对值基本不等式求出12x x +++的最小值.
试题解析：（1）因为
32A ∈，且1
2
A ∉， 所以
322a -<，且1
22
a -≥ 解得
1322
a <≤， 又因为*a N ∈， 所以1a =.
（2）因为12x x ++-≥
()()123x x +--=
当且仅当()()120x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号， 所以()f x 的最小值为3.。