2017年全国高考文科数学试题及答案-全国1卷

、选择题: 1
.
已知集合
A. A l
2.
3
.
4.
5
.
2017年普通高等学校招生全国统一考试1卷
文科数学
本大题共12小题,
A= x|x 2 , B=
B= x|x -
2
每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x|3 2x 0，则
B. A l
C . A U B x|x |
D. A U B=R
为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田•这n块地的亩产量（单位：kg）分别为X1, X2,…, x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A . X1, X2,…，X n的平均数
C . X1, X2,…，x n的最大值
F列各式的运算结果为纯虚数的是
A . i(1+i)2
B . i2(1-i) C. X1, X2,…，X n的标准差
X1, X2,…，X n的中位数
(1+i)2D. i(1+i)
如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称•在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）
已知F是双曲线
n
B . 一
8
2
C：x2- — =1的右焦
点,
3
C
P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1,3）.则△APF
的面积为（）
6.如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面平行的是
7•设x, y满足约束条件x 3y 3,
x y 1,则z=x+y的最大值为
y 0,
3
C. 2
sin2 x
8 .函数y 的部分图像大致为（
1 cosx
9.已知函数f(x) Inx ln(2 x)，则
A . f (x)在(0,2 )单调递增
B . f (x)在(0,2)单调递减
C. y= f(x)的图像关于直线x=1对称
D. y= f(x)的图像关于点(1,0)对称
10.如图是为了求出满足3n 2n1000的最小偶数n,那么在O和匚二|两个空白框中,
可以分别填入
A . A>1000 和n=n+1
B . A>1000 和n=n+2
C. A w 100(和n=n+1 D . A< 100(和n=n+2
11. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。

已知sin B sin A(sin C cosC) 0 , a=2, c= 2，则C=
n
A .
12
n n n
B. C. D .—
6 4 3
2
x
12 .设A、B是椭圆C :
3
1长轴的两个端点，若C上存在点M满足/ AMB=120 °贝U m的取值范围是
A. (0，1]U[9, )B . (0,、3]U[9, ) C . (0，1]U[4, )D . (0, 一3]U[4,)
、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13 .已知向量a= ( -1, 2), b= (m, 1)若向量a+b与a垂直，则m= ______________________ .
21
14 .曲线y x —在点(1, 2 )处的切线方程为 ____________________________________ .
x
15 .已知a (0,」)，tan 久,=则
2 4
16 .已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。

若平面SCA丄平面SCB, SA=AC,
SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为____________ 。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：60分。

17 . ( 12 分)
记S n为等比数列a n的前n项和，已知S2=2, S3=-6.
(1 )求a n的通项公式;
(2)求S n,并判断S n+1 , S n, S n+2是否成等差数列
2
x
20.
( 12分)设A , B 为曲线C : y= 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.
4
(1) 求直线AB 的斜率；
(2) 设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线 AB 平行，且AM BM ，求直线AB 的方程.
抽取次序 1 2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92
9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14
15
16
零件尺寸
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
16个零件的尺寸: 18. (12 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD ，且 BAP CDP 90°
(1) 证明：平面 PAB 丄平面
PAD ； 8 (2) 若PA=PD=AB=DC, APD 90°,且四棱锥P-ABCD 的体积为—，求该四棱
3 锥的侧面积•
19. (12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零
件, 并测量其尺寸(单位：
cm ).下面是检验员在一天内依次抽取的 经计算得X — 16 X i
16 i 1
9.97 , s
1 16
16* X)2
f 16x 2) 0.212, 16 i 1
16
(i 8.5)2
i 1
18.439,
16
(X i X)(i 8.5) 2.78，其中X i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i 1,2, ,16.
i 1
(1 )求(x ，i )(i 1,2, ,16)的相关系数 r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的
进行而系统地变大或变小 (若| r | 0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大
或变小).
(2) —天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(X 3s,x 3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的
生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
(i)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查?
(ii)在(X 3s,x 3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件
尺寸的均值与标准差.(精确到
0.01)
附：样本(x,yj (i 1,2,
,「0.008 0.09 .
n
21. ( 12 分)已知函数f (x) =e x(e x- a) - a2x.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f(x) 0，求a的取值范围.
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. ［选修4—4坐标系与参数方程］(10分)
x 3cos
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为'(0为参数)，直线I的参数方程为
y sin ,
x a 4
(t为参数)
y 1 t,
(1 )若a=-1 ,求C与I的交点坐标；
(2)若C上的点到I的距离的最大值为.17，求a.
23. ［选修4—5:不等式选讲］(10分)
已知函数 f ( x) = ―2+ ax+4, g (x) = | x+1 | + k - 1 | .
(1 )当a=1时，求不等式f (x)为(x)的解集；
(2)若不等式f (x)为(x)的解集包含［-1, 1］,求a的取值范围.
(2 )由(1)可得
S
91(1 q n
) n
1 q
2 2n 1
2
( 1)n2 3 3
由于S n 2 S
n 1 n 3
n 2
n 1
3 ( 1)n
— 2[ 3 ( 1)n 23 ] 2S n 3
3 3
3
故S n 1,S n ,S n 2成等差数列
18. 解：
(1)由已知 BAP CDP 90°，得 AB AP,CD PD
由于AB//CD ，故AB PD ，从而AB 平面PAD 又AB 平面PAB ，所以平面PAB 平面PAD
(2)在平面PAD 内作PE AD ，垂足为E
由(1)知，AB 平面PAD ，故AB PE ，可得PE 平面ABCD 设AB x ，则由已知可得 AD J2X ,PE —x
巴
2
Jr ■
比
故四棱锥P ABCD 的体积
1
1 3 V p ABCD -AB?AD ?PE -X 3
3
3
、选择题: 参考答案
1. A
2. B
3. C
4. D
5. A
6. A
7. D
8. C
9. C
10. D
11. B
12. A
、填空题: 13. 7
14. y x 1
15.
3_1
° 10
16. 36
三、解答题： 17. 解：
(1 )设｛a n ｝的公比为q ，由题设可得
2(1 q) 2, 92(1 q q 2)
6.
解得q
2,a 1
2
故｛%｝的通项公式为a n
(2)
1 3 8
由题设得1 x 3 8
，故x 2
3 3
从而 PA PD 2, AD BC 2 2, PB PC 2、、2 可得四棱锥P ABCD 的侧面积为
PAgPD PAgAB PDgDC BC 2sin 60°
6 2 3
2 2 2 2
19. 解：
(1)由样本数据得(X j ,i)(i
1,2,…,16)的相关系数为
由于| r | 0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。

(2)
(i )由于x 9.97, s 0.212，由样本数据可以看出抽取的第
13个零件的尺寸在(x 3s,x 3s)以外，因此
需对当天的生产过程进行检查。

(ii )剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为
1
— (16 9.97 9.92) 10.02 15
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为
10.02
16
X i 2 16 0.2122 16 9.972 1591.134，
i 1
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为
1 2 2
— (1591.134 9.22 15 10.02 ) 0.008
15
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为
J0.008 0.09
20. 解：
2 2
(
1
)设 A(X 1, yj, B(X 2, y 2)，则为 乂2,力 竺，y ? 紅" x ? 4，
4 4
于是直线AB 的斜率k y1 y2
X1 X2
1
x ( x 2
4
2
、丄 x X (2 )由 y —，得 y
4
2
16
(X X)(i 8.5)
r .
12
X)2
16
(i 8.5)2
i 1
2.78
0.212 .16 18.439
0.18
设M (x 3, y 3)，由题设知X3 1，解得x 3 2 , 于是 M(2,1)
2
x 2 2
设直线AB 的方程为y x m 代入y 一得x 4x 4m 0
4
当 16(m 1) 0,即 m 1 时，x i,2 2 2jm 1
从而 | AB |
2 lx , x 2 | 4 2(m 1)
由题设知 | AB | 2|MN |，即 4 2(m 1) 2(m 1)，解得 m
所以直线AB 的方程为y x 7
21. 解：
(1
) 函数 f (x)的定义域为(，),f (x) 2e 2x
ae x
a 2
(2e x
① 若a 0，则f(x) e 2x ，在(，)单调递增 ② 若a 0,则由f (x)
0得x Ina
当 x ( ,ln a)时，f (x) 0 ； 当 x (In a,)时，f (x) 0 ；
故f (x)在(，ln a)单调递减，在(ln a,)单调递增 ③ 若a 0，则由f (x)
得x ln(—)
2
a
当 x ( ,ln(-))时，f (X) 0 ；
2 a
当 x (ln( —)，)时，f (x) 0 ；
2
a a
故f (x)在(，ln(-))单调递减，在(ln(-),)单调递增
2 2
(2) ①若 a 0，则 f(x) e 2x ，所以 f(x) 0
② 若a 0,则由(1 )得，当x Ina 时，f (x)取得最小值，
最小值为f (ln a)
a 21na ，
从而当且仅当 a 21na 0，即a 1时，f(x) 0
a
③ 若a 0，则由(1 )得，当x ln(-)时，f (x)取得最小值,
2
最小值为f (ln(自)a]? ln(》)]，
a)(e x a)
3
a
3
从而当且仅当a 2[
ln( )] 0，即a 2e 4时，f(x) 0
4 2
3
综上，a 的取值范围是[2e 4,1] 22. 解:
2
(1)曲线C 的普通方程为 — y 2 1
9
(2)直线I 的普通方程为x 4y a 4 0,故C 上的点(3cos ,sin )到I 的距离为
13cos 4sin a 41
芳£，由题设得 务芒 ，所以a 8 ；
17 J7
—.—，由题设得 一,— J 17，所以a 16 ；
17 17
23. 解:
(1 )当a 1时，不等式f(x) g(x)等价于
x 2 x |x 1| |x 1| 4
3x 4
0,无解;
1时，①式化为
(2)当 x [ 1,1]时，g(x) 2
1时，①式化为x
当a 1时，直线I 的普通方程为
4y 3 0
x 4y 3 0,
由
x 2
2
解得
—y 1 9
21
3
,或 0
25’ 24 25
从而C 与I 的交点坐标为
24 1 -. (3,0),(
25’25)
1
时,
①式化为x 2
从而1 x
1 17
2
所以 f(x)
g(x )的解集为 {x| 1
4时，d 的最大值为 4时，d 的最大值为 综上
8 或 a 16
0，从而
所以f(x) g(x)的解集包含［1,1］，等价于当x ［ 1,1］时f(x) 2 又f (x)在［1,1］的最小值必为f( 1)与f (1)之一,
所以f( 1) 2 且f (1) 2，
得1 a 1
所以a的取值范围为［1,1］。