3.2 圆的对称性 九年级数学下册同步精品课堂(北师大版)
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关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对应的圆心角相等，所 对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等, 那么它们所对应的圆心角相等，所对 的优弧和劣弧分别相等．
谢谢~
2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们 所对应的圆心角__相__等__，所对的优弧和劣弧分别 _相__等__．
讲授新课
要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
C
B
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
D
O
A
讲授新课
题设
如果圆心角相等
当堂检测
5.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD=BC，
则AB与CD的大小关系为（ B ） A.AB＞CD B.AB=CD C.AB＜CD D.不能确定
当堂检测
6.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，
）） ））
∠1=∠2，则下列结论中正确的有（ D ） ①AB=CD；
②BD=AC；
③AC=BD；
④∠BOD=∠AOC.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
当堂检测
7.如图，已知⊙O的半径OA=5 cm， 弦CD=5 cm，则弦CD所对的圆心 角的度数为___6_0_°____.
8.如图，D，E分别是⊙O的半径OA，
OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB， CD=CE，则AC与BC的大小关系是 _A_C__=_B_C__.
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 °.
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与C⌒D
的关系是（ A ）
A. A⌒B=2⌒CD
⌒⌒ B. AB>CD
C. A⌒B<C⌒D
D. 不能确定
当堂检测
4.关于圆的对称性有以下结论,其中正确的是( C ) A.圆是中心对称图形,但不是轴对称图形 B.圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,但只有一个 对称中心和一条对称轴 C.圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,对称中心仅 有一个,而对称轴有无数条 D.圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,对称中心有 无数多个,但对称轴仅有一条
数学（北师大版）
九年级 下册
第三章 圆
3.2 圆的对称性
学习目标
1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋 转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其 解决相关问题.
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在 同圆或等圆”条件的意义.
导入新课
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块， 你会分吗？
在
同
圆 或
如果弧相等
等
圆
中
如果弦相等
那么 那么 那么
结论
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等
弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等
讲授新课
要点归纳 弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各 组量都分别相等．
导入新课
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它 们的规律。
讲授新课
一 圆的对称性
问题1： 圆是轴对称图形吗？如果是，它 的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形
圆的对称轴是经过圆心的直线
O
圆的对称轴有无数条
讲授新课
问题2：剪下一个圆形纸片，把它绕圆心旋 转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你 得到什么结论？
圆是中心对称图形，圆心就
A
B
是它的对称中心.
讲授新课
问题3 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来 的圆重合吗？
α
·
O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
讲授新课
二 圆心角、弧、弦之间的关系
问题1：如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB= ∠A'OB'时，它们所对的弧AB与A'B'，弦AB与弦
A'B'相等吗？为什么？
A' B
由圆的旋转不变性，我们发现： 在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，
B'
那么弧AB与A'B'___相__等__，
O A
弦AB与弦A'B'__相__等___.
讲授新课
我们把∠AOB连同AB绕圆心O 旋转，使射线OA与OA'重合.
A' B
∵∠AOB= ∠A'OB'
B'
∴射线OB与OB'重合 ∵OA=OA',OB=OB' ∴点A与A'重合，点B与B'重合
当堂检测
9.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD BC
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO. AD BC，
AOD BOC.
C B
O.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.
即AOB COD，
AB=CD.
）
）
当堂检测
10.如图，AB为⊙O的弦，点C，D为弦AB上的两点， 且OC=OD，延长OC，OD分别交⊙O于点E，F.
A
证明：∵A⌒B=C⌒D，
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
O·
又∠Байду номын сангаасCB=60°，
B
C
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵 活转化是解题的关键.
当堂检测
1．如果两个圆心角相等，那么
（D ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
证明： 连接OC. ∵BD=CD， ∴∠BOD=∠COD. ∵OA=OC， ∴∠A=∠C. ∵∠COB=∠A+∠C=∠COD+∠BOD， ∴∠A=∠C=∠COD=∠BOD，
∴AC∥OD.
课堂小结
圆的对称性
圆是轴对称图形，也是中心对称图形.
圆心角
顶点在圆心的角,叫圆心角.
圆的对称 性
弧、弦、圆 心角之间的
讲授新课
三 关系定理及推论的运用
例1 如图，AB，DE是⊙O 的直径，C是⊙O 上 的一点，且A⌒D=C⌒E.BE和CE的大小有什么关系？
为什么？
解:BE=CE.理由是：
∵∠AOD=∠BOE， ∴A⌒D=B⌒E. 又∵A⌒D=C⌒E， ∴B⌒E=C⌒E.
∴BE=CE.
B
E
·
C
O
A D
讲授新课
例2 如图，在⊙O中， A⌒B=A⌒C ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
O A
因此点AB与A'B'重合，AB与A'B'重合
） ））
）
∴AB=A'B'. AB=A'B'
讲授新课
O r
O r
归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
讲授新课
弧、弦、圆心角之间的关系： 1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们 所对应的圆心角_相__等___，所对的弦_相__等___．
求证：AE=BF.
证明 ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC. 又∵OA=OB， ∴∠OAC=∠OBD， ∴∠OCD-∠OAC=∠ODC-∠OBD， ∴∠AOC=∠BOD， 即∠AOE=∠BOF， ∴AE=BF.
） ）
） ）
） ）
当堂检测
11.如图，AB是⊙O的直径，若BD=CD.求证：AC∥OD.
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对应的圆心角相等，所 对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等, 那么它们所对应的圆心角相等，所对 的优弧和劣弧分别相等．
谢谢~
2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们 所对应的圆心角__相__等__，所对的优弧和劣弧分别 _相__等__．
讲授新课
要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
C
B
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
D
O
A
讲授新课
题设
如果圆心角相等
当堂检测
5.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD=BC，
则AB与CD的大小关系为（ B ） A.AB＞CD B.AB=CD C.AB＜CD D.不能确定
当堂检测
6.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，
）） ））
∠1=∠2，则下列结论中正确的有（ D ） ①AB=CD；
②BD=AC；
③AC=BD；
④∠BOD=∠AOC.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
当堂检测
7.如图，已知⊙O的半径OA=5 cm， 弦CD=5 cm，则弦CD所对的圆心 角的度数为___6_0_°____.
8.如图，D，E分别是⊙O的半径OA，
OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB， CD=CE，则AC与BC的大小关系是 _A_C__=_B_C__.
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 °.
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与C⌒D
的关系是（ A ）
A. A⌒B=2⌒CD
⌒⌒ B. AB>CD
C. A⌒B<C⌒D
D. 不能确定
当堂检测
4.关于圆的对称性有以下结论,其中正确的是( C ) A.圆是中心对称图形,但不是轴对称图形 B.圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,但只有一个 对称中心和一条对称轴 C.圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,对称中心仅 有一个,而对称轴有无数条 D.圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,对称中心有 无数多个,但对称轴仅有一条
数学（北师大版）
九年级 下册
第三章 圆
3.2 圆的对称性
学习目标
1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋 转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其 解决相关问题.
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在 同圆或等圆”条件的意义.
导入新课
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块， 你会分吗？
在
同
圆 或
如果弧相等
等
圆
中
如果弦相等
那么 那么 那么
结论
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等
弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等
讲授新课
要点归纳 弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各 组量都分别相等．
导入新课
看一看：观察下图中图形的变化，试着发现它 们的规律。
讲授新课
一 圆的对称性
问题1： 圆是轴对称图形吗？如果是，它 的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形
圆的对称轴是经过圆心的直线
O
圆的对称轴有无数条
讲授新课
问题2：剪下一个圆形纸片，把它绕圆心旋 转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你 得到什么结论？
圆是中心对称图形，圆心就
A
B
是它的对称中心.
讲授新课
问题3 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来 的圆重合吗？
α
·
O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
讲授新课
二 圆心角、弧、弦之间的关系
问题1：如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB= ∠A'OB'时，它们所对的弧AB与A'B'，弦AB与弦
A'B'相等吗？为什么？
A' B
由圆的旋转不变性，我们发现： 在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'，
B'
那么弧AB与A'B'___相__等__，
O A
弦AB与弦A'B'__相__等___.
讲授新课
我们把∠AOB连同AB绕圆心O 旋转，使射线OA与OA'重合.
A' B
∵∠AOB= ∠A'OB'
B'
∴射线OB与OB'重合 ∵OA=OA',OB=OB' ∴点A与A'重合，点B与B'重合
当堂检测
9.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD BC
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO. AD BC，
AOD BOC.
C B
O.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.
即AOB COD，
AB=CD.
）
）
当堂检测
10.如图，AB为⊙O的弦，点C，D为弦AB上的两点， 且OC=OD，延长OC，OD分别交⊙O于点E，F.
A
证明：∵A⌒B=C⌒D，
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
O·
又∠Байду номын сангаасCB=60°，
B
C
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵 活转化是解题的关键.
当堂检测
1．如果两个圆心角相等，那么
（D ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
证明： 连接OC. ∵BD=CD， ∴∠BOD=∠COD. ∵OA=OC， ∴∠A=∠C. ∵∠COB=∠A+∠C=∠COD+∠BOD， ∴∠A=∠C=∠COD=∠BOD，
∴AC∥OD.
课堂小结
圆的对称性
圆是轴对称图形，也是中心对称图形.
圆心角
顶点在圆心的角,叫圆心角.
圆的对称 性
弧、弦、圆 心角之间的
讲授新课
三 关系定理及推论的运用
例1 如图，AB，DE是⊙O 的直径，C是⊙O 上 的一点，且A⌒D=C⌒E.BE和CE的大小有什么关系？
为什么？
解:BE=CE.理由是：
∵∠AOD=∠BOE， ∴A⌒D=B⌒E. 又∵A⌒D=C⌒E， ∴B⌒E=C⌒E.
∴BE=CE.
B
E
·
C
O
A D
讲授新课
例2 如图，在⊙O中， A⌒B=A⌒C ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
O A
因此点AB与A'B'重合，AB与A'B'重合
） ））
）
∴AB=A'B'. AB=A'B'
讲授新课
O r
O r
归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
讲授新课
弧、弦、圆心角之间的关系： 1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们 所对应的圆心角_相__等___，所对的弦_相__等___．
求证：AE=BF.
证明 ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC. 又∵OA=OB， ∴∠OAC=∠OBD， ∴∠OCD-∠OAC=∠ODC-∠OBD， ∴∠AOC=∠BOD， 即∠AOE=∠BOF， ∴AE=BF.
） ）
） ）
） ）
当堂检测
11.如图，AB是⊙O的直径，若BD=CD.求证：AC∥OD.