2021年上海高考数学试题文科

2021年上海高考数学试题（文科）
一、填空题（本大题共有14题，总分值56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每一个空格填对得4分，不然一概得零分．
1．不等式
021
x
x <-的解为 ．
（0,1/2） 2．在等差数列{}n a 中，假设123430a a a a +++=，那么23a a += ．15 3．设m ∈R ，()
2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，那么m = ．
【解答】22
20
210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩
．
4．假设
2011
x =，
111
x y
=，那么x y += ．3 5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边别离是a ，b ，c ．假设2
2
2
0a ab b c ++-=，那么角C 的大小是 （结果用反三角函数值表示）．
23
π
6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数别离为7五、80，那么这次考试该年级学生平均分数为 ．78
7．设常数a ∈R ．假设5
2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中7
x 项的系数为-10，那么a = ．
【解答】2515()
(),2(5)71r r
r r a
T C x r r r x
-+=--=⇒=， 故1
5102C a a =-⇒=-．
8．方程
9
1331
x x
+=-的实数解为 ．3x=log 4 9．假设1cos cos sin sin 3x y x y +=，那么()cos 22x y -= ．7
9
-
10．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上地面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是
母线，如图．假设直线OA 与BC 所成角的大小为π6，那么1
r
= ．
11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意掏出两个，那么这两个球的编号之积为偶数的概率是
（结果用最简分数表示）．
【解答】7个数4个奇数，4个偶数，依照题意所求概率为2
4275
17
C C -=．
12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π
4
CBA ∠=．假设4AB =
，BC =Γ的两个核心之间的距离为 ．
【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22
214x y b
+=，于是可算得(1,1)C ，
得24,233b c ==．
13．设常数0a >，假设2
91a x a x
+≥+对一切正实数x 成立，那么a 的取值范围为 ． 14．已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余极点为终点的向量别离为1a 、2a 、
3a ；以C 为起点，其余极点为终点的向量别离为1c 、2c 、3c ．假设{},,,1,2,3i j k l ∈且
,i j k l ≠≠，那么()()
i j k l a a c c +⋅+的最小值是 ．-2
二、选择题（本大题共有4题，总分值20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，不然一概得零分． 15．函数()()2
11f x x x =-≥的反函数为()1
f
x -，那么()12f -的值是（ ）
（A
（B
） （C
）1
（D
）116．设常数a ∈R ，集合()(){}
|10A x x x a =--≥，{}|1B x x a =≥-．假设A B =R ，
那么a 的取值范围为（ ） （A ）(),2-∞
（B ）(],2-∞
（C ）()2,+∞
（D ）[)2,+∞
【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或1
1a a a ≤⎧⎨-≤⎩
，解答选项为B ．
17．钱大姐常说“好货不廉价”，她这句话的意思是：“好货”是“不廉价”的（ A ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件
18．记椭圆
22
1441x ny n +=+围成的区域（含边界）为()1,2,n n Ω=，当点(),x y 别离在
12,,
ΩΩ上时，x y +的最大值别离是12,,
M M ，那么lim n n M →∞
=（ D ）
暂无AB 选项！ C 、2 D
、
三．解答题（本大题共有5题，总分值74分）解答以下各题必需在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．
19．（此题总分值12分）
第19题图
B
如图，正三棱锥O ABC -底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积． 【解答】
V S =
= 20．（此题总分值14分）此题共有2个小题．第1小题总分值6分，第2小题总分值8分．
甲厂以x 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可取得的利润是3
100(51)x x
+-元．
（1）求证：生产a 千克该产品所取得的利润为213100(5)a x x
+
-； （2）要使生产900千克该产品取得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．
【解答】（1）每小时生产x 克产品，获利310051x x ⎛
⎫+-
⎪⎝⎭
， 生产a 千克该产品历时刻为
a x ，所获利润为2313100511005a x a x x x x ⎛⎫⎛
⎫+-⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
（2）生产900千克该产品，所获利润为213900005x x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭1161900003612x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
因此6x =，最大利润为61
9000045750012
⨯
=元。

21．（此题总分值14分）此题共有2个小题．第1小题总分值6分，第2小题总分值8分．
已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．
（1）令1ω=，判定函数()()()2
F x f x f x π
=++
的奇偶性并说明理由；
（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移
6
π
个单位，再往上平移1个单位，取得函数()y g x =的图像．
对任意的a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．
【解答】（1）()2sin 2sin()2sin 2cos )24
F x x x x x x π
π
=++
=+=+
()F x 是非奇函数非偶函数。

∵()0,()44F F π
π-
==∴()(),()()4444
F F F F ππππ
-≠-≠-
∴函数()()()2
F x f x f x π
=
++是既不是奇函数也不是偶函数。

（2）2ω=时，()2sin 2f x x =，()2sin 2()12sin(2)163
g x x x π
π
=+
+=++，
其最小正周期T π=
由2sin(2)103x π
+
+=，得1
sin(2)32x π+=-， ∴2(1),36k x k k Z πππ+=--⋅∈，即(1),2126
k k x k Z πππ=--⋅-∈
区间[],10a a π+的长度为10个周期，
假设零点不在区间的端点，那么每一个周期有2个零点；
假设零点在区间的端点，那么仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点； 故当(1),2126
k k a k Z πππ
=
--⋅-∈时，21个，不然20个。

22．（此题总分值16分）此题共有3个小题．第1小题总分值3分，第2小题总分值5分，第3小题总分值8分．
已知函数()2||f x x =-．无穷数列{}n a 知足1(),*n n a f a n N +=∈．
（1）假设10a =，求2a ，3a ，4a ；
（2）假设10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 的值；
（3）是不是存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？假设存在，求出所有如此的1a ；假设不存在，说明理由． 23．（此题总分值18分）此题共有3个小题．第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，第3小题总分值9分．
如图，已知双曲线1C ：2
212
x y -=，曲线2C ：||||1y x =+．P 是平面内一点，假设存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，那么称P 为“1C -2C 型点”．
（1）在正确证明1C 的左核心是“1C -2C 型点”时，要利用一条过该核心的直线，试写出一条如此的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“1C -2C 型点； （3）求证：圆2
2
1
2
x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”．。