CAPM模型的主要应用

关于CAPM模型的总结
资产定价理论是关于金融资产的价格决定理论，这些金融资产包括股票、债券、期货、期权等有价证券。

价格决定理论在金融理论中占有重要的地位，定价理论也比较多，以股票定价为例，主要有：1.内在价值决定理论。

这一理论认为，股票有其内在价值，也就是具有投资价值。

分析股票的内在价值，可以采用静态分析法，从某一时点上分析股票的内在价值。

一般可以用市盈率和净资产两个指标来衡量；也可以采取动态分析法。

常用的是贴现模型。

贴现模型认为股票的投资价值或者价格是股票在未来所产生的所有收益的现值的总和。

2.证券组合理论。

现代证券组合理论最先由美国经济学者Markowitz教授创立，他于1954年在美国的《金融》杂志上发表了一篇文章《投资组合选择》，提出了分散投资的思想，并用数学方法进行了论证，从而决定了现代投资理论的基础。

3.资本资产定价理论（Capital Assets Pricing Model，CAPM模型）。

证券组合理论虽然从理论上解决了如何构造投资组合的问题，但是这一过程相当繁杂，需要大量的计算，和一系列严格的假设条件。

这样就使得这一理论在实际操作上具有一定的困难。

投资者需要一种更为简单的方式来进行处理投资事宜。

于是资本资产定价模型就产生了。

1964年是由美国学者Sharpe提出的。

这个模型仍然以证券组合理论为基础，在分析风险和收益的关系时，提出资产定价的方法和理论。

目前已经为投资者广泛应用。

4.套利定价模型（Arbitrage Pricing Theory，APT）。

1976年由Ross提出，与CAPM模型类似，APT也讨论了证券的期望收益与风险之间的关系，但所用的假设与方法与CAPM 不同。

CAPM可看作是APT在某些更严格假设下的特例。

APT在形式上是把CAPM的单因子模型变为一个多因子模型。

本文主要就CAPM理论进行一些探讨，从几个方面对这个重要的资产定价模型进行剖析。

一．CAPM模型介绍
Sharpe在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以自变量为收益和风险的效用函数来决策，导出全市场的证券组合的收益率是有效的以及资本资产定价模型（CAPM）。

CAPM的基本假定：
①投资者根据与其收益和收益的方差来选择投资组合；
②投资者为风险回避者；
③投资期为单期；
④证券市场存在着均衡状态；
⑤投资是无限可分的，投资规模不管多少都是可行的；
⑥存在着无风险资产，投资者可以按无风险利率借入或借出无风险资产；
⑦没有交易成本和交易税；
⑧所有投资者对证券收益和风险的预期都相同；
⑨市场组合包括全部证券种类。

在上述假设条件下，可以推导出CAPM 模型的具体形式：
()(())i f i m f E r r E r r β-=-，2(,)/()/i i m m im m
Cov r r Var r βσσ==。

其中()i E r 表示证券i 的期望收益，()m E r 为市场组合的期望收益，f r 为无风险资产的收益，
(,)im i m Cov r r σ=为证券i 收益率和市场组合收益率的协方差，2()m m Var r σ=为市场组合收益率的
方差。

CAPM 模型认为，在均衡条件下，投资者所期望的收益和他所面临的风险的关系可以通过资本市场线（Capital Market Line ，CML ）、证券市场线（Security Market Line ，SML ）和证券特征线（characteristic line ）等公式来说明。

1、 资本市场线（Capital Market Line ，CML ）:
()/(())p f p m m f E r r E r r σσ=+-
证券有效组合p 的风险p σ与该组合的预期收益率()p E r 关系的表达式。

虽然资本市场线表示的是风险和收益之间的关系，但是这种关系也决定了证券的价格。

因为资本市场线是证券有效组合条件下的风险与收益的均衡，如果脱离了这一均衡，则就会在资本市场线之外，形成另一种风险与收益的对应关系。

这时，要么风险的报酬偏高，这类证券就会成为市场上的抢手货，造成该证券的价格上涨，投资于该证券的报酬最终会降低下来。

要么会造成风险的报酬偏低，这类证券在市场上就会成为市场上投资者大量抛售的目标，造成该证券的价格下跌，投资于该证券的报酬最终会提高。

经过一段时间后，所有证券的风险和收益最终会落到资本市场线上来，达到均衡状态。

资本市场线是把有效组合作为一个整体来加以研究的。

那么单个证券的风险和收益水平是怎样的？证券市场线对此做出了说明。

2、 证券市场线（Security Market Line ，SML ）：
()(())i f i m f E r r E r r β=+-
证券i 与市场组合m 的协方差风险i β与该证券的预期收益率()m E r 关系的表达式。

证券市场线也可以用另一种方式来说明。

对证券市场线的公式进行变换后，就会用一个指标β来表示证券的风险。

实际上，这个系数是表示了某只证券相对于市场组合的风险度量。

对这个β特别作如下的说明：
（1）由于无风险资产与有效组合的协方差一定为零，则任何无风险资产的β值也一定为零。

同时任何β值为零的资产的期望回报率也一定为零。

（2）如果某种风险证券的协方差与有效组合的方差相等，β值为1，则该资产的期望回报率一定等于市场有效组合的期望回报率，即这种风险资产可以获得有效组合的平均回报率。

（3）β值高时，投资于该证券所获得的预期收益率就越高；β值低时，投资于该证券所获得的预期收益率就越低。

实际上，证券市场线表明了这样一个事实，即投资者的回报与投资者面临的风险成正比关系。

正说明了：世上没有免费的午餐。

3、 证券特征线（characteristic line ）
()(())i f i m f E r r E r r β-=-
证券的超额预期收益率与市场超额预期收益率之间关系的表达式。

CAPM 模型给出了单个资产的价格与其总风险各个组成部分之间的关系，单个资产的总风险可以分为两部分，一部分是因为市场组合m 收益变动而使资产i 收益发生的变动，即i β值，这是系统风险；另一部分，即剩余风险被称为非系统风险。

单个资产的价格只与该资产的系统风险大小有关，而与其非系统风险的大小无关。

以上简单介绍了CAPM 模型，下面将从几个方面详细的推导CAPM 模型，并且探讨模型背后的含义，最后给出一些CAPM 模型的检验及实证结果。

二． CAPM 模型的推导
CAPM 模型的导出有多种方法，下面简要的介绍几种常见的推导方法：
1． 由Markowitz 证券组合选择理论推出CAPM 模型：
Markowitz 证券组合选择理论研究的是这样一个问题：一个投资者同时在许多种证券上投资，如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。

在这个问题上，Markowitz 的巨大贡献在于他将收益和风险这两个模糊的经济学概念明确的表示为具体的数学概念。

将证券的收益率看做一个随机变量，收益就定义为这个随机变量的数学期望，风险定义为这个随机变量的标准差。

那么证券组合选择问题就归结为一个数学问题：选择什么样的证券投资比例使得随机变量的期望最大，标准差最小。

这样，Markowitz 的问题（均值-方差证券组合选择问题）就表示为：
2
,1121122min .1n T
p ij i j
i j T n T p n n w Vw V w w s t w e w w w w w w w σμμμμμμ
====+++===+++=∑
这里，,1,2,
,1,2,()((,))ij i j n i j i j n V V Cov r r ====，V 表示i r 与j r 之间的协方差矩阵，V 是正定的，即对任何0w ≠，有0T w Vw >，这就排除了这n 种证券中存在无风险证券的情况。

Markowitz 证券组合选择理论的基本结论就是：在证券允许卖空的情况下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的情况下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。

组合前沿的上半部称为有效前沿，对于有效前沿来说，不存在收益和风险两方面都由于它的证券组合。

若证券组合中包含无风险证券，那么，假设除上述n 种证券外，另外还有第0种证券为无风险证券，并且它的无风险利率为常随机变量f r 。

于是组合将定义为满足：0121n w w w w ++++=的0w ，1w ，2w n w ，记01122p f n n w r w w w μμμμ=++++，从而：
1122()()()()T p f f f n n f f r w r w r w r w r μμμμμ-=-+-+
+-=- 组合的方差显然仍为2T p w Vw σ=。

那么，在含有无风险证券的情况下的Markowitz 问题变为
2
,1min n
T
p ij i j i j w Vw V w w σ===∑ 1122.()()()()T p f f f f n n f s t r w r w r w r w r μμμμμ-=-=-+-++-
形式上比不含有无风险证券的Markowitz 问题少了一个约束条件，这是个二次规划问题，用Lagrange 乘子法求得其解：
(,)(()())T T f p f L w w Vw w r r λλμμ=---- 其解w w = 满足的充要条件为：
(,)2()f L w V w r w
λλμ∂=--∂ (,)()()T p f f L w r w r λμμλ∂=---∂ 由此可解得：11()()()()
p f
f T f f r w V r r V r μμμμ---=---； 2
21()()()T p f T f f r w V w r V r μσμμ--==--
这就是说，σ与()p f r μ-之间在(,)σμ平面上的双曲线关系在这种情形下退化为两条直线：
11/2()
(()())p f p T f f r r V r μσμμ-±-=--
由于σ必须为正，所以这两条直线只有右边的半条射线，相交于p μ轴上的f r 点。

上半条射线是有效前沿，下半条射线是无效前沿。

并且，从经济意义上看，无风险利率f r 与总体最小风险组合的期望收益率相比应该要小，否则投资者不会投资于风险证券而只投资于无风险证券。

如上所述，含有无风险证券的投资组合的有效前沿是一条射线，称为资本市场线：11/2(()())T p f f f p
r r V r μμμσ-=+--，这意味着如下关系：
11/2()(()())p f T f f p r r V r μμμσ--=--。

左端的比值称为Sharpe 比，用来衡量风险效益，即因承担
风险而可能带来的收益。

含有无风险证券的投资组合的有效前沿的特点就在于其上的Sharpe 比是常数11/2(()())T f f r V r μμ---，它完全由各风险证券的期望收益率μ和它们之间的协方差矩阵V 决定。

同时，有效前沿射线与余下的风险证券组合的有效前沿相切于一点(,)m m σμ。

因此，在这条射线上的每一点所对应的期望收益有：11/2()
()(()())p f m f T f f p m r r r V r μμμμσσ---=--=整理可
得： ()p f p m f r r μβμ-=-，其中，/p p m βσσ=。

这说明对应各种有正β的证券组合总存在有同样收益的有效前沿上的组合，上式也可以理解为p μ与p β之间的关系，它的图像也是一条直线，称为证券市场线。

这个等式具有CAPM 的形式，但并不是CAPM ，下面我们通过二基金分离定理来推导出CAPM 模型。

因为Markowitz 问题的解是对于线性方程组的求解。

所以解的集合满足“叠加原理”，即极小风险组合的仿射组合仍然是极小风险组合，写成数学形式就是下面的二基金分离定理：
设组合p w 和q w 分别是均值-方差组合选择问题的对于期望收益率分别为p μ和q μ的解，并且p q μμ≠。

同时，上述推导的假设成立，那么w 是极小风险组合的充分必要条件为存在实数λ，使得(1)p q w w w λλ=-+。

如果p w 和q w 都是有效组合，而λ在0和1之间，那么，(1)p q w w w λλ=-+也是有效组合。

上述定理的经济学意义在于：如果投资者的证券投资决策就是要根据他本人的财力和风险承受能力在均值-方差问题的最优解中选取一点，那么他考虑全体证券组合与考虑证券的两种组合的组合是一样的。

这两种组合在现实证券市场中可能就是两种业绩良好的共同基金。

因此，也就是说，投资者不必考虑全体证券如何组合，只需考虑如何搭配这两种基金的组合即可。

有了二基金分离定理，我们就可以由两个极小风险组合的组合生成n 种证券的整个组合前沿，如果这两种组合看成两种证券，也可以推出同样的组合前沿。

定理：设p 和q 是两种证券，并且它们的期望收益率p q μμ≠，那么任何证券i 不改变p 和q 所生成的组合前沿的充分必要条件为：存在实数R α∈，使得①(1)i p q μαμαμ=-+；②(,)(1)()(,)i p p p q Cov r r Var r Cov r r αα=-+；③(,)(1)(,)()i q p q q Cov r r Cov r r Var r αα=-+
有上述定理的推论就得到CAPM 模型:
推论：设证券p 和q 满足上面定理的假设，并且(,)0p q Cov r r ≠。

那么任何证券i 不改变p 和q 所生成的组合前沿的充分必要条件为其收益率i r 满足下列“一般资本资产定价模型”：()()(()())p i p i q p E r E r E r E r β-=-，(,)/()p i i q q Cov r r Var r β=；特别是当证券p 为“市场组合”m 时，并把q 记做x ，上式就变为零β资本资产定价模型()()(()())i x i m x E r E r E r E r β-=-，(,)/()i i m m Cov r r Var r β=；当证券x 是无风险证券时，就变为通常的资本资产定价模型()(())i f i m f E r r E r r β-=-，(,)/()i i m m Cov r r Var r β=。

现在还有最后一个问题就是：市场组合是否时有效的？如果市场组合有效，那么上述定理推论
中的m 就适用于这一市场组合。

对此，Sharpe 认为：如果假设所有投资者都是“理性投资者”，并且他们的投资决策都是按照“均值-方差”的原则来进行的，那么每个投资者的证券选择都形成一个有效组合。

而两个有效组合的证券合在一起，一定也形成一个有效组合。

这是因为它刚好形成这两个有效组合的凸组合。

由此也可以导得有限个投资者的所有证券合在一起形成的证券组合也是有效的；尤其当市场组合式有效的时候。

综上所述，我们就由Markowitz 证券组合选择理论推出二级分离定理并最终得到了CAPM 模型的结果。

2． Sharpe 证明的CAPM 模型:
Sharpe 的证明基于这样的思想：对于任何市场中的证券（或证券组合）i ，它与市场组合m 的组合所形成的风险-收益双曲线必定与资本市场线相切于市场组合所对应的点(,)m m σμ上。

考虑一个证券组合p ，若某种风险资产i 被选择，投资于i 上的比例为i x ，投资于其他资产也就是市场组合的比例为1i x -，这样的证券组合的期望收益和标准差为：
(1)p i i i m r x r x r =+-
22221/2((1)2(1))p i i i m i i im x x x x σσσσ=+-+-
所有这样的投资组合p 都位于连接i 和m 的直线上：
p
i m i dr r r dx =-
22222221/2
2((1)2(1))p i i m i m im i im i i i i m i i im d x x x dx x x x x σσσσσσσσσ-++-=+-+-； 得到连接im 的直线的斜率就是：//p
p i p p i dr dr dx d d dx σσ=； 所以有：22221/2
222()((1)2(1))2p
i m i i i m i i im p i i m i m im i im dr r r x x x x d x x x σσσσσσσσσ-+-+-=-++-； 在im 直线的端点处，0i x =，代入于是有：2()p
i m m p im m
dr r r d σσσσ-=-；
又因为m 点在CML 直线上的斜率与im 的直线的斜率应相等，于是有：2()m f i m m im m m
r r r r σσσσ--=-； 整理可得：2()m f
i f im f i m f m r r r r r r r σβσ-=+=+-，2im i m
σβσ=； 于是得到了CAPM 模型的结果。

3. 线性定价法则推出的的CAPM 模型:
线性定价法则是无套利假设的一个层次，而在一定的假设下，线性定价法则就意味着随机折现因子的存在，随机折现因子理论假设所有的资产定价都表现为一个随机折现因子，即任何未来价值不确定的金融资产的当前价值等于其（随机）未来价值与随机折现因子乘积的期望值。

由随机折现因子可导出线性定价法则与CAPM 模型是等价的。

资产定价问题要解决的是这样一个问题：已经知道一种金融资产在未来各种可能的价值，要问它当前的价值是多少，就是说未来的不确定的钱在当前究竟值多少钱。

这个问题的一个解决办法就是以某种定价函数的办法来表示资产的价格，而这样的定价过程又必须符合一定的规范——那就是无套利假设（可以设想，在一个有效的市场上，如果有套利机会，理性的投资者都会看到并利用它，从而使套利机会消失），而线性定价法则是无套利的一个层次。

下面，就从无套利假设定价法则入手，得到随机折现因子存在定理的结果，并进一步得到一些资产定价的基本性质，从而导出CAPM 模型。

1） 无套利假设定价法则
确定性情况下无套利假设定价法则的五个层次：
①未来价值一样的组合，当前应该有一样的定价；
②组合的若干倍的当前价值应该等于该组合的当前价值的同样倍数；
③组合的买价于卖价应该一致；
④组合的当前价值应该等于其组成成分的当前价值之和；
⑤未来值钱（价值为正）的组合，当前也值钱。

数学形式表示就是：
①（可定价法则）存在定价函数；:p R R →
②（正齐次定价法则）p 是正齐次函数，即对于任何正实数0λ>和实数y ，有()()p y p y λλ=；
③（齐次定价法则）p 是齐次函数，即对于任何实数λ和实数y ，有()()p y p y λλ=；
④（线性定价法则）p 是线性函数，即对于任何实数λ，μ和任何实数y ，z 有
()()()p y z p y p z λμλμ+=+，这样的定价函数一定有这样的形式：()p y ay =，其中a 是实数；
⑤（正线性定价法则）p 是正线性函数，即p 是线性函数，并且当0y >时，()0p y >。

这样的定价函数一定有这样的形式：()p y ay =，其中0a >。

不确定情况下，证券未来价格不确定，用随机向量来表示这时一个组合θ的未来价值1122K K x x x x θθθθ⋅=+++也是随机变量，市场M 中的组合的未来随机价值所形成的随机变量全体M ，称为可交易的未定权益，定义为{},M y y x θθ=∃∈M =⋅。

未定权益是指其未来价值不确定，可交易指这一未定权益可以与市场M 中的某个组合相对应。

如果所涉及的未定权益都是可交易的，这种市场就是完全市场。

在不确定情况下，无套利假设定价法则的五个层次与确定性条件只有一处不同，即：①（可定价法则）存在定价函数；:p M R →。

定价函数p 的定义域从实数域R 变为可交易的未定权益全体M 。

M 具有向量空间的结构。

2） 随机折现因子存在定理：
基本假设：①未定权益空间M 是一些方差有限的随机变量形成的向量空间；②如果对于任何,y z M ∈，定义()yz E 为它们的内积，那么M 是Hilbert 空间；③定价函数；:p M R →为线性连续函数。

在这样的假定下，可以得到随机折现因子存在定理：在上述基本假设下，存在唯一的m M ∈，有()()p y my =E 。

这条定理意味着：在一个合理的金融经济学的资产定价理论的框架中，任何定价法则，只要它是线性定价法则，那么它就一定对应着一个随机折现因子。

3） 由随机折现因子得到的资产定价的基本性质：
有了随机折现因子后，我们能得到以下关于资产定价的一些基本性质：
由协方差定义：(,)()()()Cov y m E my E m E y =-
可得：()()()()(,)p y E my E m E y Cov y m ==+ 若有无风险证券，则：11(1)()f r p E m ==，于是：()()(,)f
E y p y Cov y m r =+， 这个表达式就把一个证券或一个未定权益的当前价值分解为两部分，前一部分
()f E y r 式它的时间价值，即它的未来期望价值对无风险利率的折现；后一部分(,)Cov y m 则是它的风险价值，它是由于未来价值可能有的随机波动引起的，可以用来解释为什么股票的当前价值会与债券的当前价值有所不同，这一价值是未来价值y 与随机折现因子m 的协方差。

若没有无风险证券，则由Riesz 表示定理可知：存在唯一的元素1M M ∈，使得对于任何y M ∈，有()(1)M E y E y =，这个1M 称为无风险证券的模仿组合，它的含义是当市场由若干基本证券生成时，这是个模仿无风险证券功能的证券组合。

当无风险证券1M ∉时，这个无风险证券的模仿组合1M 在许多地方都可以起无风险证券的作用。

4） 导出CAPM 模型：
设未定权益空间M 为方差有限的随机变量所构成的Hilbert 空间,:p M R →为M 上的连续正齐次线性函数，即对于任何x M ∈和任何0λ>，有()()p x p x λλ=。

同时假定(1)0M p ±≠，这里1M M ∈是无风险证券1（如果1M ∈）或无风险证券的模仿组合（如果1M ∉），定义{}1()1R r M p r =∈=，那么下列两个命题等价：
①存在唯一的非零m M ∈，且21()()/()()(1)/()M m M E r E m E m E r E E m =≠=，使得对于任何x M ∈，有()()p x E mx =；
②（零β-资本资产定价模型，zero-β-CAPM ）存在1u r R ∈，()0u E r ≠，使得对于任何1r R ∈，有(,)()()(()())()
u v u v u Cov r r E r E r E r E r Var r -=-，其中1v r R ∈，满足()0v E r ≠，(,)0u v Cov r r =，()()u v E r E r ≠。

特别是，如果市场中存在无风险证券，即1M ∈，那么也有（资本资产定价模型，。