【状元360】高考数学一轮复习 6.4 基本不等式(一)课件 理

【答案】4
【解析】∵圆心为(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0， 1 1 a＋b a＋b b a 即 a＋b＝1.∴a＋b＝ a ＋ b ＝2＋a＋b≥2＋2＝4.
方法点拨：运用均值不等式求最大小值，须满足正、定、 等.求两个正数的和的最小值， 要设法得到积为定值， 求两个正数 的积的最大值，要设法得到和为定值.
【分析】配凑出求证部分，求证部分与不等式联系．消元 或替换式子中其他中间量．
【解析】依题意，得a＞0，c＜0(若c≥0，则(a＋b＋c)2＝1)． ∴a2＋b2＋c2＝1不成立． 由a＋b＋c＝1，得a＋b＝1－c.由a2＋b2＋c2＝1，得a2＋b2＝1－c2. a2＋b2 a＋b2 1－c2 1－c2 ，∴ . ∵ 2 ≥ ＞ 2 2 2 1 1 4 ∴3c2－2c－1＜0.解得－3＜c＜1.∴－3＜c＜0.∴1＜a＋b＜3.
Hale Waihona Puke 4．最值定理 设 x>0，y>0，由 x＋y≥2 xy，得
2 P； (1)若积 xy＝P(定值)，则和 x＋y 有最小值为______ S2 2 (2)若和 x＋y＝S(定值)，则积 xy 有最大值为______ ；
即“积定和最小，和定积最大”． 运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三 相等”．
ax2＋bx＋c 考点三 求形如 y＝ 的函数的最值 dx＋e 示范3 求下列函数的最小值． 1 (1)f(x)＝x＋ (x>1)； x－1 x2－2x＋3 (2)f(x)＝ (x>1)． x－1
解析 (1)f(x)＝x－1＋
1 ＋1≥2 x－1
1 x－1× ＋1＝3， x－1
1 当且仅当 x－1＝ 即 x＝2 时取“＝”， x －1 ∴f(x)的最小值为 3. x－12＋2 2 (2)f(x)＝ ＝(x－1)＋ ≥2 2， x－1 x－1 2 当且仅当 x－1＝ 即 x＝1＋ 2时取“＝”， x －1 ∴f(x)的最小值为 2 2.
【解析】令 t＝x－1，则 x＝t＋1(t>0)， 1 t t y＝ ＝2 ＝ 4 . 2 t＋1 －4t＋1＋7 t －2t＋4 t＋ t －2 4 ∵t>0，∴t＋ t ≥2 4＝4. 1 1 4 ∴y≤ ＝ ，当且仅当 t＝ t ，即 t＝2，即 x＝3 时，取等 4－2 2 1 号．∴函数 y 的最大值为2.
1．常用的重要的不等式和基本不等式
0 ，|a|≥____( 0 当且仅当 a＝0 时，取等号)； (1)若 a∈R，则 a2≥____ 2ab 当且仅当 a＝b 时，取等号)； (2)若 a，b∈R，则 a2＋b2≥______(
2 ab 当且仅当 a＝b 时，取等号)； (3)若 a>0，b>0，则 a＋b≥______(
【点评】比较两数的大小，方法有作差比较法、函数单调 法、基本不等式法、中间值法等.本题首先观察到两数可以化为 同底对数，故只要比较真数大小即可，而两个真数可用基本不 等式得到大小关系.最后，由于对数的底数未知大于 1 还是小于 1，故要分类讨论.
展示2 已知a＞b＞c，a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证： 4 1＜a＋b＜3.
考点一 利用基本不等式求最值 示范1 已知正实数 a，b 满足 lg a＋lg b＝1，则 a＋b 的最小 值是( ) A．10 B．25 C．5 D．2 10
分析 遇 到 同 底 对 数 和 ， 马 上 联 想 “logaM ＋ logaN ＝ logaMN”，故可得 ab 为定值，从而可求 a＋b 的最小值．
【点评】本题中第 1 小题，主要是抓住“x”与“x－1”的 关系，为了能消去 x，把 x 变形为 x－1＋1，从而可以利用基本 不等式得到解决，而对第 2 小题，观察到分子的 x2－2x，若配 平方则能得到与分母相同的结构，从而得到问题的解决.
x－1 展示3 求函数 y＝ 2 (x>1)的最大值． x －4x＋7
f＋1 解析 ∵f>0，∴ 2 ≥ f×1＝ f， 仅当 f＝1 时取“＝”． f＋1 f＋1 1 ∴f＝1 时，loga f＝log 2 ，即2logaf＝log 2 .
f＋1 f＋1 当 f≠1 时， f< 2 .∴a>1 时，loga f<loga 2 ， f＋1 f＋1 1 即2logaf<loga 2 .0<a<1 时，loga f>loga 2 ， f＋1 1 即2logaf>loga 2 .
解析 ∵lg a＋lg b＝lg ab＝1，∴ab＝10，又 a>0，b>0 ∴a＋b≥2 ab＝2 10. 当且仅当 a＝b＝ 10时取“＝”．
答案 D
【点评】知和为定值，可得积的最大值，求和的最小值， 可设法求得积为定值.
展示1 若直线 2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)过圆 x2＋y2＋2x－ 1 1 4y＋1＝0 的圆心，则a＋b的最小值是____________．
a2＋b2 a＋b2 (当且仅当 a＝b 时，取等号)． (4)若 a，b∈R，则 2 ≥ 2
2．算术平均数与几何平均数的概念
a＋b 2 若 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数是______ ，
ab ． 几何平均数是______
a＋b 3．均值不等式(基本不等式) ≥ ab 2 两个正数的均值不等式：若 a>0，b>0，则____________ (当且仅当 a＝b 时取等号)； a＋b 2 变式：ab≤ 2 a>0，b>0； a＋b＋c 3 三个正数的不等式： 3 ≥ abc(属知识拓展)； a1＋a2＋…an n n 个正数的均值不等式： ≥ a1a2…an n (属知识拓展)
考点二 利用基本不等式证明不等式或比较大小 f＋1 1 示范2 设a>0且a≠1，f>0，比较 logaf与loga 2 2 的大小， 证明你的结论．
f＋1 1 分析 将 logaf 化为 loga f， 则两对数的真数分别为 f和 2 ， 2 f＋1 由基本不等式，知 2 ≥ f.因此只要利用对数函数的单调性即 可比较．