河北省石家庄市2018届高三数学下学期4月一模考试试题理201804281739

河北省石家庄市 2018届高三数学下学期 4月一模考试试题 理
一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合U {1, 2,3, 4,5,6,7}， A
{x | x 3, x N }，则C A （
）
U
A ．{1, 2}
B ．{3, 4,5, 6, 7}
C ．{1, 3, 4, 7}
D ．{1, 4, 7}
2.已知i 为虚数单位， (1 i )x 2 yi ，其中 x , y
R ，则 x yi （
）
A ． 2 2
B ． 2
C ．2
D ．4
3.函数 f (x ) 2x (x 0) ，其值域为 D ，在区间 (1, 2) 上随机取一个数 x ，则 x D 的概率
是（ ）
A ．
1 2
B ．
1 3
C ．
1 4
D ．
2 3
4.点 B 是以线段 AC 为直径的圆上的一点，其中 AB 2 ，则 AC AB （
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
y x
5. x ， y 满足约束条件： x y 1，则 z
2x y 的最大值为（
）
y 1
A ．-3
B ．
3 2
C ．3
D ．4
6.程序框图如图所示，该程序运行的结果为 s 25 ，则判断框中可填写的关于i 的条件是
（
）
A ．i 4?
B ．i 4?
C ．i 5?
D ．i 5?
7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以
1
小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，
1c a b
222
一为从隅，开方得积.”（即：
S[c a()]，a b c），并举例“问沙田
222
42
一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则
该三角形田面积为（）
A．82平方里B．83平方里C．84平方里D．85平方里
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面
积为（）
A．83B．84C．85D．86
9.已知f(x)是定义在[2b,1b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x1)f(2x)
的解集为（）
2C．[1,1]D．[1,1]
A．
[1,]
B．[1,1]
333
10.在ABC中，AB2，C，则AC3BC的最大值为（）
6
A．7B．27C．37D．47
11.过抛物线12
y x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y1上，若
4
ABC为正三角形，则其边长为（）
A．11 B．12 C．13 D．14
12.设xOy，x'Oy'为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，Ox正方向到Ox'正方向
的角度为，那么对于任意的点M，在xOy下的坐标为(x,y)，那么它在x'Oy'坐标系下的
坐标(x',y')可以表示为：x'x cos y sin，y'y cos x sin.根据以上知识求得椭
圆3x'223x'y'5y'210的离心率为（）
2
A．
6
3
B．
6
4
C．
7
3
D．
7
4
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13.命题p：x02x030的否定为．
x01，2
14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是．
15.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为．
16.已知函数
f(x)x3x
1
x 1
，g(x)
ln x
，若函数y f(g(x))a有三个不同的
零点
x
x，
1
x，2x（其中
3
x x x），则2g(x)g(x)g(x)的取值范围
为．
123123
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.已知等比数列{a}的前n项和为S，且满足2S 2n1m(m R).
n n n
（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；
n
（Ⅱ）若数列{b}满足b
n n
1
(2n1)log(a a
)
2n n1
，求数列{b}的前n项和T.
n n
18.四棱锥S ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB BC，AB 2BC 2CD 2，SAD为正三角形.
（Ⅰ）点M为棱AB上一点，若BC//平面SDM，AM
AB，求实数的值；
（Ⅱ）若BC SD，求二面角A SB C的余弦值.
19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方
3
案.甲方案：底薪 100元，每派送一单奖励 1元；乙 方 案：底 薪 140元，每日前 55单没有奖励， 超过 55单的部分每单奖励 12元.
（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 y （单位：元）与送货单数 n 的函数关系式； （Ⅱ）根据该公司所有派送员 100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件： 在这 100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 2(n 1) 2n ( ,
] 10
10
(n 1, 2,3, 4,5) 时，日平均派送量为50
2n 单. 若将频率视为概率，回答下列问题：
①根据以上数据，设每名派送员的日薪为 X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪
X 的分布列，数学期望及方差；
②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说 明你的理由. （参考数据： 0.62
0.36，1.42 1.96， 2.62 6.76 ，3.42 11.56，3.62 12.96，
4.6
21.16 ，15.62 243.36 ， 20.42 416.16 ， 44.42
1971.36 ）
2
20.已知椭圆C ：
x
y
2 2
2
2
1(a b 0) 的左、右焦点分
别为
a b
F ， 1
F ，且离心率为
2
2 2
， M F MF
F MF 的面积为 1.
1
2
90
时，
1
2
为椭圆上任意一点，当 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点 A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线 A F ， 1
AF 分别与椭圆交于点 B ，
2
D ，设直线 BD 的斜率为 k ，直线OA 的斜率为 k ，求
证：
1
2
k
k 为定
值.
1
2
21.已知函数f(x)(x b)(e x a)，(b0)，在(1,f(1))处的切线方程为
4
(e 1)x ey e 1
0.
（Ⅰ）求 a ，b ； （Ⅱ）若方程 f (x )
m 有两个实数根
x ， 1 x ，且 2
x x ，证
明：
1
2
x
x 1
2
1
m (1 2e ) 1 e
.
（二）选考题：共 10分，请考生在 22、23题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选 题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分； 不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为
x 3 r cos y
1 r
sin
（ r
0 ， 为参数），
以
坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
sin( )
1，若直线l 与曲线C 相切；
3
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C 上取两点 M ， N 与原点O 构成
MON ，且满足 MON
，求面积
6
MON 的最大值.
23.[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 f (x )
2 x
3 x m 的定义域为 R ；
（Ⅰ）求实数 m 的取值范围；
（Ⅱ）设实数t 为 m 的最大值，若实数 a ，b ， c 满足 a 2 b 2 c 2 t 2 ，求
1
1 1
a 1
b 2 c
3
2
2
2
的最小值.
5
答案
一、选择题 1-5: AABDC 6-10: CCDBD
11、12：BA
二、填空题 13. p :x 1, x 2 2x 3 0
14. 乙
15. 2 3
16.
2 ,0
e e
2
三、解答题 17解：(1) 法一： 由 2S
2n
1
m (m
R ) 得 S
m m R ，
2 2n
( )
n
n 1
当当 n
2 时，
a
n
， 2
2 2 2n
2n 1
(
2)
a
S S
，即
n
n
n 1
n
m
又
a 1
S 1
2
，当 m
2时符合上式，所以通项公式为
2n 1
a
.
n
2
法二：
S
2 m ; 1
由 2S 2n
1
m (m
R ) 得 4 ;
S m
n
2
S 8 m (m R )
3
，
从而有
a 2 S 2 S 1 2,a 3 S 3
S 2 4 ，
a
所以等比数列公比 q
3
2 ，首
a ，因此通项公式为 a
2n 1 .
项
a
2
1
1
n
（2）由（1）可得 log (a
a ) log (2n
1
2n ) 2n 1，
2
n
n 1
2
1
1 1 1 b
(
)
，
n
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1
n T
b
b
b (1
)
.
n
1
2
n
2
3 3 5
2n 1 2n 1 2n 1
18.（1）因为 BC // 平面 SDM ，
BC 平面 ABCD ，
平面 SDM
平面 ABCD=DM ，
所以 BC // DM ，
因为 AB // DC ,所以四边形 BCDM 为平行四边形，
6
又AB2CD,所以M为AB的中点.
因为AM AB，
1
.
2
S
D C
A
B
M
（2）因为BC SD，BC CD，
所以BC平面SCD，
又因为BC平面ABCD，
所以平面SCD平面ABCD，
平面SCD平面ABCD CD，
在平面SCD内过点S作SE直线CD于点E，
则SE平面ABCD，
在Rt A SEA和Rt A SED中，
因为SA SD，所以AE SA2SE2SD2SE2DE，
又由题知EDA45
，
所以AE ED
所以AE ED SE1，
以下建系求解.
以点E为坐标原点，EA方向为X轴，EC方向为Y轴，ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系，则E(0,0,0)，S(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，
SA(1,0,1)，AB(0,2,0)，SC(0,2,1)，CB(1,0,0)，
7
设 平 面 SAB 的 法 向 量
n SA 0
n
x y z ， 则 1
1
( , , )
， 所
以
n
AB
1
x z
2y 0
， 令 x 1
得
n 1 (1, 0,1)为平面 SAB 的一个法向量，
n 2
(0,1, 2) 为平面 SBC 的一个法向量， 同理得
n
n
10 cos
,
，
n n
1
2
1
2
| n |
| n |
5
1
2
因为二面角 A SB C 为钝角， 所以二面角 A SB C 余弦
值为
10
.
5
19.
解 ： （ 1） 甲 方 案 中 派 送 员 日 薪 y （ 单 位 ： 元 ） 与 送 单 数 n 的 函 数 关 系 式 为 ：
y 100 n ,n N ，
乙方案中派送员日薪 y （单位：元）与送单数 n 的函数关系式为：
(
N) 140, n 55,n
y
，
12n520,(n
55,n N)
（2）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：
单数52 54 56 58 60
频率0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
所以X
甲的分布列为：
8
X
甲
152 154 156 158 160
P
0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
所以 E
X
=1520.2 1540.31560.2 1580.2 160
0.1 155.4
甲
，
S =0.2 152 155.4 +0.3 154 155.4 +0.2 156 155.4
2
2
2
2 甲
，
+0.2
158155.4 +0.1
160 155.4 =6.44
2
2
所以 X
乙
的分布列为：
X
乙
140
152 176 200
P
0.5 0.2 0.2 0.1
所以 E X
=1400.51520.2 1760.2 200
0.1=155.6
乙
，
S
2
=0.5 140 155.6 +0.2 152 155.6 +0.2 176 155.6
2
2
2
乙
+0.1 200
155.6 =404.64
2
2
，
②答案一：
由以上的计算可知，虽然 E X
E X
S
2
甲
，但两者相差不大，且
甲
远小于
乙
S 乙 ，即甲方
案
2
乙
，即甲方案
日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案. 答案二：
由以上的计算结果可以看出， E
X
E
X
甲
，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期
乙
望，所以小明应选择乙方案. 20解：
c2
e
a2
r r2a （1）设1r,MF r,
MF 由题12
122
4
r r c
22
2
12
1
r r
1
2
12
，解得a 2,c 1，则b21，
椭圆C的方程为x
2
2
y2
1.
（2）设A(x,y)(x y
0)，
0000B(x,y),C(x,
y)，
1122
9
当直线AF的斜率不存在时，设
1
A ，则(1,2)
(1,)B
，
2
22
直线AF的方程为
2
2
y (x 1)
代入
4
x
2
2
21，可得5x22x
70
y
7
x
，
2
5
y 2，则(7,
2)
D y
2，则(7,2)
2
10510
直线BD的斜率为k
1
22
()2
102
7(1)6
5
，直线OA的斜率为
2
k
，
2
2
221
k k
()
，
12
626
当直线AF的斜率不存在时，同理可得
2
1
k k
.
12
6
当直线AF、
1
AF的斜率存在时，x1
2
设直线
y
AF的方程为y 0(x
1)
1
x1
y
y0x
(1)
x1
消去x可
得：
，则由
x
2
y1
2
2
[(x 1)2y]x 4y x 2y 2(x 1)0，
22222 2
00000
又x
2
2
2，则2y22x2，代入上述方程可得
y01
00
(32x)x 2(2x)x 3x 4x 0，222
0000
2
3x4x3x
4
x x x
00,0 101
32x32x
00
y 3x 4y ，则y 0(01)
1
x 132x 3
2x
000
3x 4y
B (,)
00
，2x 32x 3
00
设直线
y3x 4y
AF的方程为y 0(x 1)，同理可得D(0,
0)
2
x 12x 32x
3
000
，
10
直线BD的斜率为
y y
00
2x 32x 34x y x
y
k
000000
12
2
3x43x412x243x
6
0000
2x 32x 3
00
，y
直线OA的斜率为k 0，
2
x
x
2
120
1
x y y y
2
k k
0000
12222
3x 6x3x 63x 6
6
0000
.
1
所以，直线BD与OA的斜率之积为定值，即
6
1 k k
.
12
6
21．解：（Ⅰ）由题意f 10，所以f(1)1b1 a0
e
，
又f (x)x b 1e a，所以
x
b1
，
f(1)a1
e e
a 若1
，则b 2e 0，与b 0矛盾，故a 1，b 1.
e
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()
11
f x x
e x ，f(0)0,
f (1)0，
设f(x)在(-1，0)处的切线方程为h(x)，
1
h(x)1x1
e
易得，，令F(x)f(x)
h(x)
1
1
即
，F(x)
x 2e x ，F(x)x1e x11x1
e e
1 1
F(x)x 2e x
e e
当x
2时，
当x
2时，
1
设
G x x
e ，G x F x x e
e
()
()
2x ，()
30
x
故函数F(x)在
2,上单调递增，又F (1)0，
所以当
x ,1时，F(x)0，当
x
1,时，F(x)0，
所以函数F(x)
在区间
,1上单调递减，在区间
1,上单调递增，
11
故F(x)F (1)0，
f(x)h(x)，
11
设h(x)m的根
为
x ，
则
1
me
x11
1
e
，
又函数h(x)单调递减，故()()()
h x f x h
x，故
111
x
x，
11
设y f(x)在(0,0)处的切线方程为y t(x)，易得t(x)x，
令()()()
11
T x f x t x x
e
x，()
22
x
T x x
e x ，
当x
2时，T(x)
x 2e 2
20，
x
当x
2时，
故函数T(x)在
2,上单调递增，又T(0)0，
所以当
x ,0时，T(x)0，当
x
0,时，T(x)0，所以函数T(x)
在区间
,0上单调递减，在区间
0,上单调递增，
T(x)T(0)0，
f(x)t(x)，
22
设t(x)m的根
为
x ，
则
2
x
m，
2
又函数t(x)单调递增，故()()()
t x f x t
x，故
222
x
x，
22
又x
x，
11
me
m (12e)
x x x x m 1
1
.
2121
1e 1
e
选作题
22（1）由题意可知直线l的直角坐标方程为y 3x 2，
曲线C是圆心为(3,1)，半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得：r
3312 2；
2
可知曲线C的方程为(x 3)2(y 1)24，
12
所以曲线 C 的极坐标方程为 2
2 3
cos 2
sin
0 ，
即 4 s in( ) .
3
(2)由（1）不妨设 M （ 1,
）， N ( , ) ，（
2
6
1
S
OM ON sin MON
2 6
） 1 0,
2
.
当
时, S
2 3 ，
MON
12
所以△MON 面积的最大值为 2 3 . 23. 【解析】
（1）由题意可知 2 x 3
x m 恒成立，令 g (x ) 2 x 3 x ，
x 6, (x 3)
去绝对值可得： g x
x 3
x
x x
( ) 2
6 3 ,(0 3)
，
6 x ,(x 0)
画图可知 g (x ) 的最小值为-3，所以实数 m 的取值范围为 m
3 ； （2）由（1）可知 a 2
b 2
c 2
9，所以 a 2 1 b 2 2 c 2 3 15 ，
1 1
1
(
)
(a
1
b
2 c
3)
2
2
2
1
1
1 1
2
3
a
b
c
2
2
2
a
1 b
2 c
3 15
2
2
2
b
2 a 1 c
3 a 1 c 3 b
2
2
2 2
2 2 2
3
1
2 1 3
2 3 9 3
a 2
b 2
a 2
c 2
b 2
c
2
，
15
15 5
当且仅当a21b22c235，即a24,b23,c22等号成立，
所以
111
a1b2c3
222的最小值为
3
5
.
13
答案
一、选择题 （A 卷答案）
1-5AABDC 6-10CCDBD 11-12 BA （B 卷答案）
1-5BBADC 6-10CCDAD 11-12 AB 二、填空题 13.
p :x 1, x 2 2x 3 0
14. 乙
15. 2 3
16.
2 ,0
e e
2
三、解答题(解答题仅提供一种或两种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分） 17解：(1) 法一： 由 2
2n 1 ( ) S
m m R ………………2分 S
m m R 得 2
2n ( )
n
n 1
当当 n
2 时， a S S
，即 a
2n (n 2) ………………4分
2 2 2 2n
1
n
n
n 1
n
m
a
S
，当 m
2时符合上式，所以通项公式为 a
2n 1 ………………6分
1
1
2
n
又
2
法二：
2 ; S
m 1
由 2S
2
n 1
m (m
R ) 得
S
4 m ; n
2
S 8 m (m R )
3
………………2分
从而有
a 2 S 2 S 1 2,a 3 S 3
S 2 4
………………4分
a
所以等比数列公比 q
3
2 ，首
项
a
2
a 1
1，因此通项公式为
2n 1
a
(6)
分
n
（2）由（1）可得 log (a
a ) log (2n
1
2n ) 2n 1…………………8分
2
n
n 1
2
1
1 1 1 b
(
)
………………………10分
n
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1
n
(1
)
T
b b
b
…
n
1
2
n
2
3 3 5
2n 1 2n 1 2n 1
…………12分
18（1）因为 BC // 平面 SDM, BC 平面 ABCD,
S
平面 SDM
平面 ABCD=DM,
D C
所以 BC // DM ……………………2分
因为 AB // DC ,所以四边形 BCDM 为平行四边形，又， AB 2CD ,所以 M 为 AB 的中点。

…………………4分
A M
B
14
因为 AM
AB
1
………………5分 2
（2）因为 BC SD ， BC
CD ，
所以 BC 平面 SCD ， 又因为 BC 平面 ABCD ， 所以平面 SCD
平面 ABCD ， 平面 SCD 平面 ABCD CD ，
在平面 SCD 内过点 S 作 SE 直线CD 于点 E ， 则 SE 平面 ABCD ，………………6分 在 Rt A SEA 和 Rt A SED 中， 因为 SA SD ，所以 AE SA 2 SE 2 SD 2 SE 2 DE ，
又由题知 EDA 45
，
所以 AE ED
所以 AE ED SE
1， (7)
分
以下建系求解。

以点 E 为坐标原点，EA 方向为 X 轴，EC 方向为 Y 轴，ES 方向为 Z 轴建立如图所示空间坐标系，则
E (0, 0, 0) ， S (0, 0,1)， A (1, 0, 0) ， B (1, 2, 0) ，
C (0, 2, 0) ，…………………………………………………………8分
SA (1, 0,1) ， AB (0, 2, 0) ， SC (0, 2,1) ，CB (1,0,0)，
设 平 面 SAB 的 法 向 量
n SA 0
n
x y z ， 则 1
1
( , , )
， 所
以
n AB
1
x z
2y 0
， 令 x 1
得
n
为平面 SAB 的一个法向量，…………………………………………9分 1
(1, 0,1)
n
为平面 SBC 的一个法向量， ……………10分
2
(0,1, 2) 同理得
n n
10
cos n ,n 1
2
，
1
2
| n |
| n |
5
1
2
15
因为二面角A SB C为钝角
所以二面角A SB C余弦值为
10
(12)
分
5
19.
解：（1）甲方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：
y 100n,n N…………………………2分
乙方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：
(n 55,n N)
140,
y ………………………4分
12n 520,(n
55,n N)
（3）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：
单数52 54 56 58 60
频率0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
所以X
甲的分布列为：
X
甲
152 154 156 158 160
P0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
-----------5分
所以E X =1520.21540.31560.21580.21600.1155.4甲----6分
S2
=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4
222
甲
-------7分+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44
2
2
所以X
乙的分布列为：
X
乙
140 152 176 200
P0.5 0.2 0.2 0.1
-----------8分
所以E X=1400.51520.21760.22000.1=155.6乙-----------9分
16
S =0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176
155.6
2
22
2
乙
+0.1200155.6=404.64
2
-------10分
②答案一：
由以上的计算可知，虽然E X E X
S
2
甲，但两者相差不大，且甲远小于
乙
日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案。

--------12分
答案二：
S乙，即甲方
案
2
乙，即甲方案由以上的计算结果可以看出，E X E X
甲，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期
乙
望，所以小明应选择乙方案。

--------12分
20解：
c2
e
a2
2
r r a
（1）设,,
MF1r MF r由题12
122
22
2
r r4c
12
1
r r
1
2
12
，--------------------2分
解得a 2,c 1，则b21，
椭圆C的方程为
x
2
2
y21.-------------------------------------------4分
（2）设A(x,y)(x y
0)，
0000
B(x,y),C(x,
y)，
1122
当直线
AF 的斜率不存在时，设
1
A
，则 ( 1, 2 )
( 1, )
B
，
2 2 2
直线
AF 的方程为
2
2
y
(x 1) 代入
4
x 2
2
y 2 1，可得5x 2 2x
7 0
7
x ，
2
5
y 2 ，则 (7 , 2 ) D y 2 ，则 (7 , 2 )
2
10
5 10 直线 BD 的斜率为
k
1
2 2 ( ) 2 10 2
7 ( 1)
6
5
，直线OA 的斜率为
2 k
，
2
2
2 2 1
k
k
( )
， 1
2
6
2
6
当直线
AF 的斜率不存在时，同理可得
2
1
k
k
.----------------------------5分 1
2
6
17
当直线AF、
1AF的斜率存在时，x1
2
设直线
y
AF的方程为y 0(x
1)
1
x1
y
y0(x1)
x1
，则由
消去x可得：
x
2
y1
2
2
[(x 1)2y]x 4y x 2y 2(x 1)0，22222 2
00000
又x
2
2
01，则22
y2y 2x，代入上述方程可
得
2
00
(32x)x 2(2x)x 3x 4x 0，222
0000
3x 4x 3x
4
2
x x x
00,0
101
32x32x
00
y 3x 4y ，则000 y (1)
1
x 132x 3
2x
000
3x 4y
B (,)
00
2x 32x 3
00
7分
设直线
y3x 4y AF的方程为y 0(x 1)，同理可得D(0, 0)
2
x 12x 32x
3
000
----------------------------9分
直线BD的斜率为
y y
00
2x 32x 34x y x
y
----------------11分
k
0 0 0 0 1
x x x 2
x 2
3 4 3 4 12 24 3
6
0 0 0 0
2x
3 2x
3
y
直线OA 的斜率为
0 ，
k
2
x
x 2 1 2
1
x y
y
y
2
k
k
0 0 0
0 1
2
2
2
2
3x 6 x
3x
6 3x 6
6
.
1
所以，直线 BD 与OA 的斜率之积为定值 ，即
6
1
k
k
. -----------------12分 1
2
6
21．解：（Ⅰ）由题意 f
1 0，所以 f ( 1)
1 b
1 a 0
e
， 又 f (x ) x b 1
e a ，所以
x
b 1
，…………2分
f ( 1)
a
1
e
e
18
a
若
1
，则b 2 e 0 ，与b 0矛盾，故 a 1，b
1…………4分 e
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ( )
1
1
f x
x
e
， f (0)
0, f (1) 0 ，…………5分
x
设 f (x ) 在(-1，0)处的切线方程为 h (x ) ，
1
h (x ) 1 x 1 e
易得，
，令 F (x ) f (x )
h (x )
1
1
即 F x
x
e
x
， ( )
2
x
，
( ) 1
x
1
1 1
F x
x e
e
e
1
1
当 x
2 时， ( )
2
x
F x x e
e
e
当 x
2时，
1
设
G (x ) F (x )
x 2 e x
， G
(x )
x 3e x 0 ，
e
故函数 F (x ) 在
2,上单调递增，又 F (
1)
0， 所以当
x
,1
时， F (x ) 0 ，当
x
1,时，
F (x ) 0 ，
所以函数 F (x )
在区间,1
上单调递减，在区间
1,
上单调递增，
故 F (x )
F (1) 0 ………… 7分
f (x ) h (x )
1
1
设 h (x ) m 的根为
x ，则
1
me
x
11
1
e
又函数h(x)单调递减，故()()()
h x f x h
x，故
111x x，…………8分
11
设y f(x)在(0,0)处的切线方程为y t(x)，易得t(x)x
令()()()
11
T x f x t x x
e
x，()
2x2 x T x x
e ，
当x
2时，()
2220 T x x
e x
当x
2时，
19
故函数T (x )在
2,
上单调递增，又T (0) 0 ，
所以当
x
,0
时，T
(x ) 0，当
x
0,时，T
(x ) 0，
所以函数T (x )
在区间,0
上单调递减，在区间
0,
上单调递增，
T (x ) T (0) 0………… 10分 f (x ) t (x )
2
2
设t (x ) m 的根为
x
，则
2
x
m
2
又函数t (x ) 单调递增，故 ( )
( ) ( ) t x
f x t
x ，故
2
2
2
x x ， (11)
分
2
2
又 x
x ，
1 1
me
m (1 2e )
x
x x
x
m 1
1
2
1
2
1
1
e
1
e ………… 12分
选作题
22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为 y
3x 2 ，………… 2分
曲线C 是圆心为 ( 3,1) ，半径为 r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得： r
3 3
1
2
2 ；
2
可知曲线 C 的方程为 (x 3)2 (y 1)2 4 ，…………4分 所以曲线 C 的极坐标方程为
2
2 3
cos 2
sin
0 ，
即
4 s in( )
…………5分
3
(2)由（1）不妨设 M （ 1,
）， N ( , ) ，（
2
6
1
S MON
OM
ON sin
…………7分
） 1 0,
2
26
………………9分
当
时, S23
MON
12
所以△MON面积的最大值为23. ………………10分
20
23. 【解析】
（1）由题意可知2x 3x m恒成立，令g(x)2x 3x，
x6,(x3)
去绝对值可得：3
g(x)2x
x63x,(0x3)
，
6x,(x 0)
………………3分
画图可知g(x)的最小值为-3，所以实数m的取值范围为m
3；………………5分
（2）由（1）可知a2b2c29，所以a21b22c2315，
111
()(a 1b 2c
3)
222
111123
a b c
222
a b c
21222315
………………7分
b 2a 1
c 3a 1c 3b 2
222222
312132393
a
b
a
c
b
c
222222
………………9分
15155
当且仅当a21b22c235，即a24,b23,c22等号成立，
所以
111
a1b2c3
222
的最小值为
3
5
. ………………10分
21。