离散数学 (10)

定理14.9:(1)GCD(f(x),g(x))可用类似于上 述方法求得; ( 2 ) 当 h(x)=GCD(f(x),g(x)) 时 , 必 存 在 s(x),t(x)F[x]，使h(x)=s(x)f(x)+t(x)g(x) FF[x],F*=F-{0},任意aF*,存在逆元 对于 F[x] 中其他元素 f(x), 当 degf(x)>0, 不 存在g(x)F[x],使得f(x)g(x)=1. 这里1是域F的单位元. 对F[x]中有逆元的元素称为可逆元.
下面我们将证明有关多项式环的一些性 质。为此引进记号degf(x),它表示F[x]中 的多项式 f(x)的次数。 定理14.8：对f(x)F[x],g(x)F[x], g(x)0, 存 在 唯 一 的 q(x),r(x)F[x], degr(x)<degg(x)或r(x)=0,使得: f(x)=g(x)q(x)+r(x)。 证明：(1)存在性 关键是找r(x)和q(x). 必须考虑的是f(x)和g(x)的次数.
定 理 1 4 . 1 1 : 在 多 项 式 环 F[x] 中 , g1(x)= GCD(f(x),g(x)), 则 g2(x)=GCD(f(x),g(x)), 当 且仅当g1(x)=ag2(x),这里aF*。 证明:(1)根据最大公因子的定义,有 g1(x)|g2(x), g2(x)|g1(x) 因此由14.10得g1(x)=ag2(x),这里aF* (2) 对 f(x),g(x) 的任意公因子 d(x), 设法证明 d(x)|g2(x)
当 f(x)=g(x)q(x)+r(x)中的r(x)=0时, 称 f(x) 可被g(x)整除,记为g(x)|f(x),称g(x)为f(x)的 一个因子 ,q(x) 为商 ;r(x)0 时 , 称 q(x) 为不 完全商,而r(x)为余式。 推论14.2:f(x), (x-a)F[x],则f(x)被(x-a)除 的余式为f(a)。 证 明 : 由 定 理 1 4 . 8 知 , 存 在 q(x),r(x)F[x], degr(x)<deg(x-a)=1或r(x)=0,使得: f(x)=g(x)(x-a)+r(x)
定义14.11:当aF[x],并存在a-1F[x],使aa-1 =1 时,称a为F[x]中的可逆元,否则称为不可逆元。 F[x]中可逆元全体就是F*,F[x]-F*是其不可逆 元全体组成的集合。
定义14.12:f(x)F[x],如果存在h(x),t(x),使 得f(x)=h(x)t(x),当degh(x),degt(x)1时,称 f(x)为F上的可约多项式; 当h(x)和t(x)中必 有一个为零次多项式,设degh(x)=0,即 h(x)F*为可逆元,称f(x)为不可约多项式, 或说f(x)在域F上不可约。 对于实数域上多项式因式分解, 可约与不可约 x2-2x-3=(x-3)(x+1), x2-x-6=(x-3)(x+2) x2-2x-3和 x2-x-6都是可约多项式 ,并且有公 因子(x-3). x2+1在实数域上不可约.
例:对于Z3[x],f(x)=x5+2有因子x+2,它可分 解为: f(x)=x5+2=(x+2)(x4+x3+x2+x+1) x4+x3+x2+x+1则是不可约多项式 注意这是在域Z3上的分解
定理14.10:F为域,f(x),g(x)F[x],则有 f(x)|g(x),且g(x)|f(x),当且仅当f 证明:由f(x)|g(x)和g(x)|f(x)可推出 f(x)1=f(x)q1(x)q2(x) 因F[x]关于多项式的乘法与加法构成整环, 满足消去律,即有1=q1(x)q2(x). q1(x)和q2(x)可逆. 若f(x)=ag(x)(aF*),则易得 f(x)|g(x),g(x)|f(x)
引理14.1:F[x]为域F上的多项式环,f(x),g(x), h(x)F[x], f(x)|g(x)h(x),并且GCD(f(x),g(x)) =aF*时,有f(x)|h(x)。 证明:利用最大公因子的性质定理14.9(2)得 存在s(x),t(x)F[x],使 a=s(x)f(x)+t(x)g(x) 即1=a-1s(x)f(x)+a-1t(x)g(x) 因此有h(x)=a-1s(x)f(x)h(x)+a-1t(x)g(x)h(x) 因为f(x)|g(x)h(x) 故f(x)|a-1t(x)g(x)h(x), 所以f(x)|a-1s(x)f(x)h(x)+a-1t(x)g(x)h(x) 即f(x)|h(x)
推论14.3：f(x)F[x],aF,(x-a)|f(x)当且仅 当f(a)=0。 定义14.10：f(x),g(x),h(x)F[x],当h(x)|f(x) 且h(x)|g(x)时，称h(x)为f(x)和g(x)的公因 子;若对任c(x)F[x],c(x)|f(x),且c(x)|g(x)时 必有c(x)|h(x),则称h(x)为f(x)和g(x)的最大 公因子,记为 h(x)=GCD(f(x),g(x))，简记 为(f(x),g(x))。 例：在Z3[x]中，f(x)=2x4+1,g(x)=x5+2,求 它们的最大公因子。
当degf(x)<degg(x)时, 取q(x)=0,r(x)=f(x)即可. 当degf(x)degg(x)时, 对degf(x)作归纳证明. (2)唯一性 假设还有q'(x),r'(x)F[x], 其中0degr'(x)<degg(x) 由此导出q(x)=q'(x),r(x)=r'(x)
定义14.10：f(x),g(x),h(x)F[x],当h(x)|f(x) 且h(x)|g(x)时， 称h(x)为f(x)和g(x)的公因子;若对任c(x)F[x],c(x)|f(x), 且c(x)|g(x)时必有c(x)|h(x),则称h(x)为f(x)和g(x)的最大 公因子,记为 h(x)=GCD(f(x),g(x))，简记为(f(x),g(x))。