(易错题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)(2)

一、选择题
1．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O 是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）
A 5
B ．2
C 3
D 2
2．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题： ①若//m α，//m n ，则//n α；
②若m α⊥，//m β，则αβ⊥；
③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥；
④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．
其中正确命题的序号是( )）
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．②④ 3．在空间四边形ABCD 中，AB BC =，AD DC =，则对角线AC 与BD 所成角的大小是（ ）
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30
4．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（ ）
A ．324m
B ．330m
C ．336m
D ．342m 5．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43
，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A ．8π
B ．12π
C ．14π
D ．16π
6．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1BC AC ，且12
AC BC =，则直线11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 7．已知α、β是平面，m 、n 是直线，下列命题中不正确的是（ ） A ．若//m α，n αβ=，则//m n
B ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥
C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ
D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ 8．如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线
AB 与MN 所成角的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
9．三个平面将空间分成n 个部分，则n 不可能是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10．正三棱柱111ABC A B C -各棱长均为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到面1A BM 的距离为（ ）
A ．2
B ．22
C ．12
D ．3 11．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（ ）
A ．2278S d =
B ．2272S d =
C ．292S d =
D ．21114S d = 12．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B ，和1BB 的中点．，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）
A ．25
B 10
C ．35
D 3二、填空题
13．在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，①四边形1BFD E 一定是平行四边形；②四边形1BFD E 有可能是正方形；③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；④四边形1BFD E 有可能垂直于平面1BB D ．以上结论正确的为___________．（写出所有正确结论编号）
14．三棱锥P ABC -三条侧棱两两垂直，正四面体D ABC -与三棱锥相接且棱长为2，P 与D 在面ABC 异侧，则所成多面体外接球的体积是_________．
15．在如图棱长为2的正方体中，点M 、N 在棱AB 、BC 上，且1AM BN ==，P 在棱1AA 上，α为过M 、N 、P 三点的平面，则下列说法正确的是__________．
①存在无数个点P ，使面α与正方体的截面为五边形；
②当11A P =时，面α与正方体的截面面积为33
③只有一个点P ，使面α与正方体的截面为四边形；
④当面α交棱1CC 于点H ，则PM 、HN 、1BB 三条直线交于一点．
16．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，13AA O ，已知三棱锥O ABC -3O 表面积的最小值为______.
17．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角的大小为_________.
18．在三棱锥-P ABC 中，侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形，若3PA =，则侧棱PA 与底面ABC 所成的角的大小是___________． 19．已知A ，B ，C 三点都在球O 的表面上，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的13
，且22AB =，AC BC ⊥，则球O 的表面积是______. 20．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．
三、解答题
21．如图1，在梯形ABCD 中，//BC AD ，4=AD ，1BC =，45ADC ∠=︒，梯形的高为1，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将ABM 折起，使点A 到达点N 的位置，且平面NBM ⊥平面BCDM ，连接NC ，ND ，如图2.
（1）证明：平面NMC ⊥平面NCD ；
（2）求图2中平面NBM 与平面NCD 所成锐二面角的余弦值.
22．如图，在三棱锥A BCD -中，2,22,23,BC BD AB CD AC AB BD =====⊥
（1）证明：平面ABC ⊥平面ABD ．
（2）在侧面ACD 内求作一点H ，使得BH ⊥平面ACD ，写出作法（无需证明），并求线段AH 的长．
23．如图，三棱锥V —ABC 中， VA=VB ＝AC=BC=2，AB ＝23，VC=1．
（1）证明： AB ⊥VC ；
（2）求三棱锥V —ABC 的体积．
24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，2,AB BC == 30ACB ∠=，13AA =，11BC A C ，E 为AC 的中点.
（1）求证：1//AB 平面1C EB ；
（2）求证：1A C ⊥平面1C EB .
25．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，226AB PD ==，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.
（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；
（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥B AEC -的体积.
26．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点求证：
（1）平面PAD ⊥平面ABCD ；
（2）//EF 平面PAD
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长
为2x ，表示出2522
x AO OE -===1333x OE CE ==，即可求出x ，进而求出腰长.
【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，
取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面ABC ， 由三视图可知5AB AC AD ===，45AEC ∠=，
设底面边长为2x ，则DE x =，则25AE x =-，
则在等腰直角三角形AOE 中，2
522
x AO OE -===， O 是底面中心，则133x OE CE ==， 则2532x x -=，解得3x =， 则1AO =，底面边长为23，
则正视图（等腰三角形）的腰长为
()2
2312+=. 故选：B.
【点睛】
本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.
2．D
解析：D
【分析】
①根据//n α或n ⊂α判断；②利用面面垂直的判定定理判断；③根据m β⊂，或//m β，或m 与β相交判断；④利用线面角的定义判断．
【详解】
①若//m α，//m n ，则//n α或n ⊂α，因此不正确；
②若//m β，则β内必存在一条直线//m m '，因为m α⊥，所以m α'⊥，又因为m β'⊂，所以αβ⊥，正确；
③若αβ⊥，n α
β=，m n ⊥，则m β⊂，或//m β，或m 与β相交，因此不正
确； ④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，正确．
其中正确命题的序号是②④．
故选：D ．
【点睛】
空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
3．A
解析：A
【分析】
取AC 中点O ，根据条件分析AC 与平面BOD 的位置关系，由此得到异面直线AC 与BD 所成角的大小.
【详解】
取AC 中点O ，连接,,BO DO BD ，如图所示：
因为AB BC =，AD DC =，所以,BO AC DO AC ⊥⊥，且BO
DO O =，
所以AC ⊥平面BOD ，又BD ⊂平面BOD ，所以AC BD ⊥，
所以AC 与BD 所成角为90︒，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：解答问题的关键是通过找AC 中点证明线面垂直，从而确定出线线垂直关系，和常规的求解异面直线所成角的方法不同.
4．C
解析：C
【分析】
在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算．
【详解】
如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V =三棱柱ABC A B C '''-V +四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选：C ．
【点睛】
思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
5．B
解析：B
【分析】
由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可.
【详解】
因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=
， 而114323
A BCD V BD CD A
B -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===， 所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.
设外接球的半径为R ，则23R =
所以外接球的表面积为2412S R ππ==
故选：B
【点睛】
多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．
6．A
解析：A
【分析】
证明CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，求出此角后，利用11//B C BC 可得结论，
【详解】
∵90BAC ∠=︒，12AC BC =
，∴30CBA ∠=︒， ∵1BC AC ，AB AC ⊥，1
BC AB B ，1,BC AB ⊂平面1ABC ， ∴AC ⊥平面1ABC ，
∴CBA ∠就是BC 与平面1ABC 所成的角，即BC 与平面1ABC 所成的角是30， ∵棱柱中11//B C BC ，∴11B C 与平面1ABC 所成的角的大小为30，
故选：A ．
【点睛】
思路点睛：本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．
7．A
解析：A
【分析】
根据已知条件判断直线m 、n 的位置关系，可判断A 选项的正误；利用线面垂直的性质可判断BC 选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，若//m α，则直线m 与平面α内的直线平行或异面，
由于n αβ=，则直线m 、n 平行或异面，A 选项错误；
对于B 选项，若//m n ，m α⊥，则n α⊥，B 选项正确；
对于C 选项，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，C 选项正确；
对于D 选项，若m α⊥，m β⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，D 选项正确. 故选：A.
【点睛】
方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．
8．C
解析：C
【分析】
由MN 与正方体的面对角线平行，可得异面直线所成的角，此角是正三角形的内角，由此可得．
【详解】
作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒.
故选：C ．
9．A
解析：A
【分析】
三个平面不重合，先按其中平行的平面的个数分类：三个平面两两平行，两个平面平行，没有平行的平面(两两相交)，对两两相交的情况，再根据三条交线互相平行，重合，交于一点，分别讨论.
【详解】
按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；
（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；
（3）三个平面中没有平行的平面：
（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；
（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分.
（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；
综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分，
故选：A.
10．B
解析：B
【分析】
连接11A N B A B =，根据已知条件先证明11B A A B ⊥、1⊥MN AB ，再通过线面垂直的判定定理证明1AB ⊥平面1A BM ，由此确定出1B N 的长度即为点1B 到面1A BM 的距离，最后完成求解.
【详解】
连接1B A 交1A B 于N ，连接11,,,,MB MN MB MA MA ，如图所示：
因为11A ABB 为正方形，所以11B A A B ⊥， 又因为2211111514MB MC C B =+=+=221514MA MC CA =+=+= 所以1MB MA =且N 为1AB 中点，则MN 为等腰三角形1AMB 的中垂线，
∴1⊥MN AB 且1MN A B N =，∴1AB ⊥平面1A BM ，
∴1B N 就是点1B 到截面1A BM 的距离， 又因为1111211222B N AB =
=+=，所以点1B 到截面1A BM 的距离为22， 故选：B.
【点睛】
方法点睛：求解平面外一点A 到平面α的距离的方法：
（1）几何方法：通过线面垂直的证明，找到A 在平面α内的投影点A '，则AA '即为A 到平面α的距离；
（2）向量方法：①建立合适空间直角坐标系，在平面α内取一点B ；②求解出AB 和平面α的法向量n ；③根据AB n
d n ⋅=即可求解出点A 到平面α的距离.
11．A
解析：A
【分析】 根据已知条件结合球的体积公式343
2d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出π的值，然后根据球的表面积公式242d π⎛⎫ ⎪⎝⎭
求解出S 的表示，即可得到结果. 【详解】
d =，所以3394163
2d d V π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以278π=， 所以2222727442848d d S d π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭
， 故选：A.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到π的表示，再将π带入到球的表面积公式即可完成求解.
12．A
解析：A
【分析】
作出异面直线AM 和CN 所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余弦值.
【详解】
设,E F 分别是1,AB CC 的中点，由于,M N 分别是111,A B BB 的中点，结合正方体的性质可知11//,//B E AM B F CN ，
所以1EB F ∠是异面直线AM 和CN 所成的角或其补角，
设异面直线AM 和CN 所成的角为θ，设正方体的边长为2，
11B E B F ===，EF ==
则1cos cos EB F θ=∠=
25
=. 故选：A.
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,
2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角． 二、填空题
13．①③④【分析】由题意在正方体中结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果【详解】对于①由平面平面并且四点共面同理可证故四边形一定是平行四边形故①正确；对于②若是正方形有又且平面又平面与经过平
解析：①③④
【分析】
由题意，在正方体中，结合几何关系逐一考查所给命题的真假即可求得最终结果
【详解】
对于①，由平面11//BCC B 平面11ADD A ，并且 B 、E 、F 、1D 四点共面，
1//F ED B ∴，
同理可证，1//FD EB ，故四边形1BFD E 一定是平行四边形，故①正确；
对于②，若1BFD E 是正方形，有1ED BE ⊥，又 11A D BE ⊥，且1111A D ED D =， BE ∴⊥平面11ADD A ，又 AB ⊥平面11ADD A ，
与经过平面外一点作已知平面的垂线有且只有一条相矛盾，故②错误；
对于③，由图得，1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，故③正确； 对于④，当点E 和F 分别是对应边的中点时，:
平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，故④正确．
故答案为：①③④
【点睛】
方法点睛：本题主要考查了正方体的几何特征，利用面面平行和线线垂直，以及特殊情况进行判断，考查了学生的空间想象能力和逻辑思维能力，属于中档题.
14．【分析】根据几何体的几何关系可将几何体放在正方体中多面体的外接球和正方体的外接球是同一外接球由此可求外接球的体积【详解】如图所示并且两两互相垂直所以所以正四面体与三棱锥相接且棱长为所以如图所示将此多
解析：32π 【分析】 根据几何体的几何关系，可将几何体放在正方体中，多面体的外接球和正方体的外接球是同一外接球，由此可求外接球的体积.
【详解】
如图所示，AB AC BC ==，并且,,PA PB PC 两两互相垂直，所以
222222PA PB PA PC PB PC +=+=+，所以PA PB PC ==，
正四面体D ABC -与三棱锥相接且棱长为2，所以如图所示，将此多面体放在正方体中，多面体的外接球就是此正方体的外接球，并且棱长为1，正方体外接球的半径
22221113R =++=，得3R =，
则外接球的体积34332V R ππ=
=. 故答案为：3π
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是根据多面体的几何关系可采用补体，转化为求正方体的外接球的体积，这样计算就容易了.
15．①②④【分析】让从开始逐渐向运动变化观察所得的截面从而可得正确的选项【详解】由题设可得为所在棱的中点当时如图（1）直线分别交与连接并延长于连接交于则与正方体的截面为五边形故①正确当如图（2）此时与正 解析：①②④
【分析】
让P 从A 开始逐渐向1A 运动变化，观察所得的截面，从而可得正确的选项．
【详解】
由题设可得,M N 为所在棱的中点.
当203
AP <<时，如图（1），
直线MN 分别交,AD DC 与,T S ，连接TP 并延长1DD 于G ，
连接GS 交1CC 于H ，则α与正方体的截面为五边形，故①正确.
当11A P =，如图（2），此时α2， 其面积为2362=33B 正确.
当,A P 重合或1,A P 重合时，如图（3），α与正方体的截面均为四边形，故③错误.
如图（4），
在平面α内，设PM HN S ⋂=，则S PM ∈，而PM ⊂平面11A B BA ，
故S ∈平面11A B BA ，同理S ∈平面11C B BC ，
故S ∈平面11A B BA ⋂平面111C B BC BB =即PM 、HN 、1BB 三条直线交于一点. 故答案为：①②④.
【点睛】
思路点睛：平面的性质有3个公理及其推理，注意各个公理的作用，其中公理2可用来证明三点共线或三线共点，公理3及其推理可用来证明点共面或线共面，作截面图时用利用公理2来处理.
16．【分析】设球的半径为连接交于点取中点连接即为三棱柱外接球球心根据三棱锥体积可得间关系表示出根据基本不等式可求得的最小值从而得到球的表面积的最小值【详解】如图因为三棱柱是且设球的半径为连接交于点取中点 解析：27π
【分析】
设AB a ，BC b =，球的半径为r ，连接1AC ，1A C 交于点O ，取AC 中点D ，连接BD ，即O 为三棱柱外接球球心，根据三棱锥体积可得a b ，间关系，表示出r ，根据基本不等式可求得r 的最小值，从而得到球的表面积的最小值.
【详解】
如图，因为三棱柱111ABC A B C -是 ，且90ABC ∠=︒，
设AB a ，BC b =，球的半径为r ，连接1AC ，1A C 交于点O ，取AC 中点D ，连接BD ，
则O 到三棱柱六个定点的距离相等，即O 为三棱柱外接球球心，
11322
OD AA ==， 又因为三棱锥O ABC -3 即1133322
ab ⨯⨯=，即12ab =， 所以22
22
22313332224a b r AD OD ab ⎛⎫⎛⎫+=+=+≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 当且仅当a b =时等号成立， 所以球O 的表面积最小值为2427S r ππ==，
故答案为：27π.
【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点
均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
17．40°【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系根据点处的纬度计算出晷针与点处的水平面所成角【详解】画出截面图如下图所示其中是赤 解析：40°
【分析】
画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.
【详解】
画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，
由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，
所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故答案为：40°.
【点睛】
本小题主要考查中国古代数学文化，解题的关键是将稳文中的数据建立平面图形，属于中档题.
18．【分析】先画出直观图证明平面平面然后侧棱与底面ABC 所成的角即为根据题目中的数据算出即可【详解】如图作的中点连结因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而为的中点所以又所以平面同时平面所以平 解析：o 60.
【分析】
先画出直观图，证明平面PAD ⊥平面ABC ，然后侧棱PA 与底面ABC 所成的角即为PAD ∠，根据题目中的数据算出即可.
【详解】
如图，作BC 的中点D ，连结AD 、PD
因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形
而D 为BC 的中点，所以BC PD ⊥，BC AD ⊥，
又PD AD D ⋂=，所以BC ⊥平面PAD ，同时BC ⊂平面ABC
所以平面PAD ⊥平面ABC ，
所以PAD ∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成的角
由侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形得
3AD PD ==3PA =所以PAD ∆为等边三角形，则=PAD ∠o 60
即侧棱PA 与底面ABC 所成的角为o 60
故答案为：o 60
【点睛】
本题主要考查空间直线与平面所成角的计算，较简单.
19．【分析】先在直角三角形中列关系求得再求球的表面积即可【详解】是直角三角形外接圆圆心为的中点因为三点都在球的表面上球心到平面的距离为是球半径的所以中即故解得所以球的表面积故答案为：【点睛】本题考查了球 解析：9π
【分析】
先在直角三角形中列关系，求得R ，再求球的表面积即可.
【详解】
22AB =AC BC ⊥，ABC ∆是直角三角形，外接圆圆心为AB 的中点M ,
因为A ，B ，C 三点都在球O 的表面上，球心O 到平面ABC 的距离为OM ,是球半径的13
， 所以OMB ∆中()()222
OA OM MA =+,即2221132R R AB ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故22
2112232R R ⎛⎫⎛=+⨯ ⎪ ⎝⎭⎝，解得29=4R ，所以球O 的表面积29=4494S R πππ=⋅=.
故答案为：9π.
【点睛】
本题考查了球的表面积，属于中档题.
20．【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD且低于平面AFC而当平面EHD平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状都不可能是三角形
解析：
15
, 66⎛⎫ ⎪⎝⎭
【详解】
试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动
该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD的体积1
6
，
并且＜正方体ABCD-EFGH体积-三棱柱B-AFC体积
15 1
66 -=
考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2
3
【分析】
(1)用分析法：要证平面NMC⊥平面NCD，只需证明CD⊥平面NMC，只需
CM CD
⊥和NM CD
⊥；
(2)由(1)的证明，以M为原点，MB，MD，MN所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系M xgz
-，用向量法计算.
【详解】
解：（1）如图，梯形ABCD中，
过点C 作CH DM ⊥于点H ，连接CM ，
由题意知，1CH =，122AM DM AD ==
=. 由45ADC ∠=︒，可得11tan 45DH ==︒
， 则1HM DM DH =-=，
∴CM CD ⊥，//BC MH .
又BC CH =，CH MH ⊥，
∴四边形BCHM 为正方形，∴BM AD ⊥.
在四棱锥N BCDM -中，
∵平面NBM ⊥平面BCDM ，
平面NBM ⋂平面BCDM BM =，MN BM ⊥，
∴NM ⊥平面BCDM .
∵CD ⊂平面BCDM ，∴NM CD ⊥.
∵NM CM M =，且NM ，CM ⊂平面NMC ，
∴CD ⊥平面NMC .
又CD ⊂平面NCD ，∴平面NMC ⊥平面NCD .
（2）
在四棱锥N BCDM -中，以M 为原点，MB ，MD ，MN 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系M xgz -，
可得()0,0,0M ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2N .
∵平面NBM ⊥平面BCDM ，
平面NBM ⋂平面BCDM BM =，BM MD ⊥，
∴MD ⊥平面NBM ，
∴()0,2,0MD =是平面NBM 的一个法向量，
设平面NCD 的一个法向量为(),,x y z =m ，
∵()1,1,2NC =-，()0,2,2ND =-，
∴00m NC m ND ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即20220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩， 取1y =，则1z =，1x =，∴()1,1,1=m .
∴cos ,||3
MD m
MD m MD m ⋅==⋅，
∴平面NBM 与平面NCD 所成锐二面角的余弦值为
3. 【点睛】
立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理； (2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．
22．（1）证明见解析；（2）答案见解析，5AH =
. 【分析】
（1）由长度以及勾股定理逆定理可得,AB BC BD BC ⊥⊥，然后根据线面垂直的判定定理可得结果.
（2）取CD 的中点E ，然后根据BH ⊥平面ACD 的判定定理找到点H ，计算,BE AE ，使用等面积法可得BH ，最后简单计算可得AH .
【详解】
（1）证明：因为2,BC BD AB CD AC =====
所以222222,AB BC AC BD BC CD +=+=，
则,AB BC BD BC ⊥⊥
因为AB BD B =，,AB BD ⊂平面ABD
所以BC ⊥平面ABD ，
又BC ⊂平面ABC 所以平面ABC ⊥平面ABD
（2）解：（作法）取CD 的中点E ，
连接AE ，过B 作BH
AE ⊥，垂足H 即为要求作的点
如图
因为,,AB BD AB BC BC BD B ⊥⊥⋂=，
,BC BD ⊂平面BCD ，所以AB ⊥平面BCD ，
连接BE ，则AB BE ⊥
由（1）知BD BC ⊥，则2BE =
则2210AE AB BE =+由等面积法可得2222101010BH ⨯=
==， 故22105
AH AB BH =
-=． 【点睛】 结论点睛：面面垂直的常用证明方法
（1）平面与平面所成角为90
（2）面面垂直的判定定理即利用线面垂直来得到面面垂直
（3）两个平面的法向量互相垂直
23．（1）证明见解析；（2）
12
. 【分析】
（1）分别证明ABV 和ABC 是等腰三角形，可得答案； （2）由（1）知AB ⊥平面VDC ，由13
VDC S AB 可得答案.
【详解】 （1）证明：取AB 的中点为D ，连接VD ，CD ，
∵VA=VB ，ABV ∴是等腰三角形，∴AB ⊥VD ，
AC BC =，ABC ∴是等腰三角形， AB ⊥CD ，
VD CD D =，所以AB ⊥平面VDC ．又VC ⊂平面VDC ，故AB ⊥VC .
（2）由（1）知AB ⊥平面VDC ，
132AD AB ==，2VA ，所以221VD VA AD =-=，
2AC =，221CD AC AD =-=，又VC=1，所以VDC 是等边三角形，
所以1133sin 601122VDC S VD DC =⨯⨯=⨯⨯⨯=， 故三棱锥V —ABC 的体积等于1131233342
VDC S AB =⨯⨯=．
【点睛】
本题考查了线线垂直的证明和三棱锥的体积，对于线线垂直的证明，一般是先证明线面垂直，再证线线面垂直，还可以利用勾股定理、两直线的方向向量的数量积为零，属于基础题.
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）连接1AB 、1B C ，设11B C BC F =，连接EF ，可知点F 为1B C 的中点，利用中位线的性质可得出1//EF AB ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）推导出BE ⊥平面11AAC C ，可得出1BE A C ⊥，再由1
1BC A C ，利用线面垂直的判定定理可证得1A C ⊥平面1C EB .
【详解】
（1）如下图所示，连接1AB 、1B C ，设11B C BC F =，连接EF ，
在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，
因为11B C BC F =，在点F 为1B C 的中点，又因为点E 为AC 的中点，1//EF AB ∴， 1AB ⊄平面1C EB ，EF ⊂平面1C EB ，所以，1//AB 平面1C EB ；
（2）AB BC =，E 为AC 的中点，BE AC ∴⊥，
因为平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，BE ⊂平面ABC ， BE ∴⊥平面11A ACC ，
1A C ⊂平面11A ACC ，1A C BE ∴⊥，
11
BC AC ⊥，1BE BC B =，1A C ∴⊥平面1C EB . 【点睛】
方法点睛：证明线面垂直的方法：
一是线面垂直的判定定理；
二是利用面面垂直的性质定理；
三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；
另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等． 25．（1）证明见解析；（2）263
. 【分析】
（1）证明出AC ⊥平面PBD ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）连接OE ，推导出点E 为PB 的中点，利用等体积法可得出B AEC E ABC V V --=，利用锥体的体积公式即可得解.
【详解】
（1）因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥， PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC PD ∴⊥，
PD BD D ⋂=，AC ∴⊥平面PBD ，
AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD ；
（2）如下图所示，连接OE ，
四边形ABCD 为正方形，且AC BD O =，则O 为BD 的中点，
因为//PD 平面AEC ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD
平面AEC OE =，//OE PD ∴， O 为BD 的中点，E ∴为PB 的中点，。