2016-2017学年高一数学人教A版必修2课件：2-1-1 平面

如果两个不重合的平面有 一个公共点，那么它们有 公理 3 且只有一条过过该该点点的的公公共共 直直线线
PP∈∈αα ， PP∈∈ββ ⇒ α∩β＝l，且 P∈l
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三点可以确定一个平面． (2)一条直线和一个点可以确定一个平面． (3)四边形是平面图形． (4)两条相交直线可以确定一个平面．
(2)若 a、b、c、d 无三线共点，如图所示， ∵a∩b＝A， ∴经过 a、b 有且仅有一个平面 α， ∴B、C∈α.由公理 1 知 c⊂α. 同理，d⊂α，从而有 a、b、c、d 共面． 综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．
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证明点线共面常用的方法 1．纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内． 2 再证明两个平面重合．
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3．设平面 α 与平面 β 交于直线 l，A∈α，B∈α，且直线 AB∩l＝C，则直线 AB∩β＝________.
【解析】 ∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C. 【答案】 C
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4．有以下三个说法： ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点； ②直线 l 在平面 α 内，可以用符号“l∈α”表示； ③已知平面 α 与 β 不重合，若平面 α 内的一条直线 a 与平面 β 内的一条直 线 b 相交，则 α 与 β 相交． 其中正确的序号是________．
【导学号：09960044】
图 2-1-5
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【证明】 ∵AB∥CD， ∴AB，CD 确定一个平面 β， 又∵AB∩α＝E，AB⊂β， ∴E∈α，E∈β， 即 E 为平面 α 与 β 的一个公共点． 同理可证 F，G，H 均为平面 α 与 β 的公共点， ∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E，F，G，H 四点必定共线．
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如图 2-1-4，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M，N，E，F 分别是 棱 CD，AB，DD1，AA1 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q，求证：D，A，Q 三点 共线．
图 2-1-4
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【精彩点拨】 欲证 D、A、Q 三点共线，只需说明三点均在平面 AD1 和平 面 AC 的交线 DA 上即可．
公理
内容
图形
符号
如果一条直线上的两点 在 公理 1 一个平面内，那么这条直
A∈ll，BB∈∈ll ，且 AA∈∈αα ，BB∈∈αα⇒
线在此平面内
l⊂α
过 不不在在一一条条直直线线上上 的 三 公理 2
点，有且只有一个平面
A，B，C 三点不共 线⇒存在唯一的 α 使 A，B，C∈α
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3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
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[再练一题]
1．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点 P 与直线 AB；
(2)点 C 与直线 AB；
(3)点 M 与平面 AC；
(4)点 A1 与平面 AC； (5)直线 AB 与直线 BC；
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[构建·体系]
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1．用符号表示“点 A 在直线 l 上，l 在平面 α 外”，正确的是( )
A．A∈l，l∉α
B．A∈l，l⊄α
C．A⊂l，l⊄α
D．A⊂l，l∉α
【解析】 点与直线，直线与平面间的关系分别用“∈或∉”和“⊂或⊄”
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【自主解答】 ∵MN∩EF＝Q， ∴Q∈直线 MN，Q∈直线 EF， 又∵M∈直线 CD，N∈直线 AB， CD⊂平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD. ∴M、N∈平面 ABCD， ∴MN⊂平面 ABCD.∴Q∈平面 ABCD. 同理，可得 EF⊂平面 ADD1A1. ∴Q∈平面 ADD1A1， 又∵平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝AD， ∴Q∈直线 AD，即 D，A，Q 三点共线．
() () () ()
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【解析】 (1)错误．不共线的三点可以确定一个平面． (2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． (3)错误．四边形不一定是平面图形． (4)正确．两条相交直线可以确定一个平面． 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
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[小组合作型]
文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画 出相应的图形：
(1)A∈α，B∉α； (2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l； (3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.
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阶
阶
段
段
一
三
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点) 2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点) 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与 作用．(难点、易错点)
【精彩点拨】 解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置 关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，由 已知给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形．
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【自主解答】 (1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内； (2)直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上； (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q. 图形分别如图(1)，(2)，(3)所示．
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[再练一题] 2．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
【导学号：09960043】 【解】 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线 a，b，c，l 共面．
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证明：法一 ∵a∥b，∴a，b 确定一个平面 α， ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故 l⊂α. 又∵a∥c，∴a，c 确定一个平面 β. 同理可证 l⊂β，∴α∩β＝a 且 α∩β＝l. ∵过两条相交直线 a、l 有且只有一个平面， 故 α 与 β 重合，即直线 a，b，c，l 共面． 法二 由法一得 a、b、l 共面 α，也就是说 b 在 a、l 确定的平面 α 内． 同理可证 c 在 a、l 确定的平面 α 内． ∵过 a 和 l 只能确定一个平面，∴a，b，c，l 共面．
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点共线与线共点的证明思路 1．点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个 平面的交线上． 2．线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上．
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[再练一题] 3．如图 2-1-5，在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，直线 AB，BC，AD， DC 分别与平面 α 相交于点 E，G，H，F. 求证：E，F，G，H 四点必定共线.
图(1)
图(2)
图(3)
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1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、 几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表 示．
2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉” 表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．
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[探究共研型]
点共线与线共点问题
探究 1 如图 2-1-3，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，设 A1C∩平面 ABC1D1 ＝E.能否判断点 E 在平面 A1BCD1 内？
图 2-1-3
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【提示】 如图，连接 BD1，
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[基础·初探] 教材整理 1 平面 阅读教材 P40～P41“思考”以上的内容，完成下列问题． 1．平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽 象出来的．几何里的平面是无限延展的．
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2．平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个平平行四边形，它的锐角通常画成 4455°°，且 横边长等于其邻边长的 22倍倍．如图 2-1-1①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部 分用虚虚线线画出来．如图 2-1-1②.
证明：(1)若 a，b，c 三线共点于 O，如图所示，∵O∉d， ∴经过 d 与点 O 有且只有一个平面 α. ∵A、B、C 分别是 d 与 a、b、c 的交点， ∴A、B、C 三点在平面 α 内． 由公理 1 知 a、b、c 都在平面 α 内， 故 a、b、c、d 共面．
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内．
点、线共面问题
已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面
【精彩点拨】 四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三 条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．
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【自主解答】 已知：a，b，c，d 四条直线两两相交，且不共点，求证：a， b，c，d 四线共面．
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【解析】 ①错误，因为平面具有延展性；②错误，平面无厚度；③错误， 因为平面无厚度、大小之分；④正确，符合平面的概念．
【答案】 B
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教材整理 2 平面的基本性质
阅读教材 P41“思考”以下至 P43“例 1”以上的内容，完成下列问题．
表示．
【答案】 B
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2．下列说法中正确的个数为( )
①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边
形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定
三个平面．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 根据题意知，①②④正确，故选 C. 【答案】 C
∵A1C∩平面 ABC1D1＝E， ∴E∈A1C，E∈平面 ABC1D1. ∵A1C⊂平面 A1BCD1， ∴E∈平面 A1BCD1.
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探究 2 上述问题中，你能证明 B，E，D1 三点共线吗？ 【提示】 由于平面 A1BCD1 与平面 ABC1D1 交于直线 BD1，又 E∈BD1，根 据公理 3 可知 B，E，D1 三点共线．
图 2-1-2
(6)直线 AB 与平面 AC；
(7)平面 A1B 与平面 AC.
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【解】 (1)点 P∈直线 AB； (2)点 C∉直线 AB； (3)点 M∈平面 AC；(4)点 A1∉平面 AC； (5)直线 AB∩直线 BC＝点 B；(6)直线 AB⊂平面 AC； (7)平面 A1B∩平面 AC＝直线 AB.
图①
图 2-1-1
图②
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3．平面的表示法 图①的平面可表示为平平面面αα、平平面面AABBCCDD、平平面AACC 或平面BBDD.
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下列说法： ①书桌面是平面；②8 个平面重叠后，要比 6 个平面重叠后厚；③有一个平 面的长是 100 m，宽是 90 m；④平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概 念． 其中正确的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3