广东省佛山市中学2020-2021学年高一数学理测试题含解析

广东省佛山市中学2020-2021学年高一数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若0＜α＜＜β＜π，且cosβ=﹣，sin（α+β）=，则sinα的值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】先根据已知条件分别求得sinβ和cos（α+β）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．
【解答】解：由0＜α＜＜β＜π，知＜α+β＜π且cosβ=﹣，sin（α+β）=，
得sinβ=，cos（α+β）=﹣．
∴sinα=sin[（α+β）﹣β]=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=．
故选：C．
2. 已知，则的值
为 ( )
(A) (B) (C)
(D)
参考答案：
C
略
3. 函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（）
8
参考答案：
B
4. 已知向量，，向量的坐标是（）A．（﹣6，2）B．（6，﹣2）C．（﹣2，0）D．（2，0）
参考答案：
C
【考点】9J：平面向量的坐标运算．
【分析】根据题意，由向量加法公式可得=+，由向量加法的坐标计算公式即可得答案．
【解答】解：向量，，
则向量=+=（﹣2，0）；
即向量的坐标是（﹣2，0）；
故选：C．
5. 设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。

若A＝，a＝，则b2＋c2＋bc的取值范围为
A. （1，9]
B. （3，9]
C. （5，9]
D. （7，9]
参考答案：
D
6. 若集合，则集合的子集共有（）
A．3个 B．6个 C．7个 D．8个
参考答案：
D
7. 在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．
【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，
则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD
为轴截面的小圆锥后剩余的部分．
∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°=，
BE=ABcos60°=1，
V1==，V2==π，
∴V=V1﹣V2=，
故选：A．
8. 函数零点所在的区间是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略9. 设集合，集合，，则等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
10. 如果，，，那么（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．
参考答案：
12. 设函数y=f（k）是定义在N*上的增函数，且f（f（k））=3k，则f（1）+f（9）+f（10）= ．参考答案：
39
考点：函数的值；函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析： f（f（k））=3k，取k=1，得f（f（1））=3，由已知条件推导出f（1）=2，f（2）=3，由此能求出f（1）+f（9）+f（10）的值．
解答：解：∵f（f（k））=3k，∴取k=1，得f（f（1））=3，
假设f （1）=1时，有f （f （1））=f （1）=1矛盾， 假设f （1）≥3，因为函数是正整数集上的增函数， 得f （f （1））≥f（3）＞f （1）≥3矛盾，
由以上的分析可得：f （1）=2，代入f （f （1））=3，得f （2）=3，
可得f （3）=f （f （2））=3×2=6， f （6）=f （f （3））=3×3=9， f （9）=f （f （6））=3×6=18，
由f （f （k ））=3k ，取k=4和5，得f （f （4））=12，f （f （5））=15，
∵在f （6）和f （9）之间只有f （7）和f （8），且f （4）＜f （5）， ∴f（4）=7，f （7）=12，f （8）=15，f （5）=8，
∴f（12）=f （f （7））=3×7=21， ∵f（10）=19，f （11）=20．
∴f（1）+f （9）+f （10）=2+18+19=39．
故答案为：39．
点评： 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要注意函数性质的合理运用．
13. 若二次函数
在区间上单调递减，则的取值范围
为
； 参考答案：
略
14.
如图，是二面角
的棱
上一点，分别在、
上引射线
、
，截
，如果∠
∠
，∠
，则二面角
的大小是
___________.
参考答案：
略
15. 已知对数函数f (x )的图像过点(4,－2)，则不等式
的解集为
▲ .
参考答案：
16. 若
，则
的值为 ▲ ．
参考答案：
17. 函数的定义域是
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f （x ）=lg （1+x ）﹣lg （1﹣x ）．
（1）求函数f （x ）的定义域，并证明f （x ）是定义域上的奇函数； （2）用定义证明f （x ）在定义域上是单调增函数；
（3）求不等式f （x 2﹣x ）+f （1﹣x ）＞0的解集．
参考答案：
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】（1）根据函数成立的条件结合函数奇偶性的定义进行证明即可，
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可，
（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化进行求解即可．
【解答】解：（1）由对数函数的定义得，得，即﹣1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．
∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数．
（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）﹣f（x2）=lg（1+x1）﹣lg（1﹣x1）﹣lg（1+x1）+lg（1+x1）=lg，∵0＜x1＜x2＜1，
∴0＜1+x1＜1+x2，
0＜1﹣x2＜1﹣x1，
于是0＜＜1，0＜＜1，
则0＜＜1，
则lg＜0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即函数在区间（﹣1，1）上的单调递增函数．（3）∵f（x）在（﹣1，1）上是增函数且为奇函数，
则不等式f（x2﹣x）+f（1﹣x）＞0可转化为f（x2﹣x）＞﹣f（1﹣x）=f（x﹣1），则，解得，即0＜x＜．
故不等式f（x2﹣x）+f（1﹣x）＞0的解集是（0，）．
19. 已知全集为R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|x＞3}，C={x|x＜a}
（1）求A∩B；
（2）求A∪（?R B）；
（3）若A?C，求a的范围．
参考答案：
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】（1）由A与B，求出两集合的交集即可；
（2）由全集R及B，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可；
（3）根据A为C的子集，确定出a的范围即可．
【解答】解：（1）∵A={x|1≤x＜5}，B={x|x＞3}，
∴A∩B={x|3＜x＜5}；
（2）∵全集R，A={x|1≤x＜5}，B={x|x＞3}，
∴?R B={x|x≤3}，
则A∪（?R B）={x|x＜5}；
（3）∵A={x|1≤x＜5}，C={x|x＜a}，且A?C，
∴a的范围为{a|a≥5}．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．20. 已知函数
（1）当时，若对任意都有求证.
（2）当时，求证；对任意的充要条件是.
参考答案：
解：（1）恒成立
（2）
且
略
21. 已知函数y = f ( x ) =–。

（1）求的定义域和值域，并证明是单调递减函数；
（2）解不等式–>；
（3）求y的反函数f – 1 ( x )。

参考答案：
解析：（1）由1 –x2 ≥ 0，得–1 ≤ x ≤1，即定义域为[ – 1，1 ]，令x= cos θ（0 ≤ θ ≤ π），则y =–= sin+ cos–cos= sin– (– 1 ) cos=sin (–)，（–≤–≤），显然y =sin (–)在[ 0，π ]上是增函数，所以当θ = 0时，y min = 1 –，当θ = π时，y max = 1，即值域为[ 1 –，1 ]，又x= cos θ在[ 0，π ]上是减函数，所以y = f ( x ) 在[ – 1，1 ]上也是减函数；（2）由sin (–) >，得sin 2 (–) >，cos ( θ –) < ，+ arccos< θ ≤ π，–1 ≤ cos θ < cos (+ arccos) =，所以不等式的解集为[ – 1，)；
（3）由y =sin (–)，可得θ =+ 2 arcsin，所以x= cos θ = cos (+ 2 arcsin)，所以y的反函数f – 1 ( x ) = cos (+ 2 arcsin)，x∈[ – 1，
)。

22. （本题满分12分）
解下列关于的不等式
（1）（2）
参考答案：
解：（1）——————————————————————6分
（2）时，解集为————————————————————8分时，解集为————————————————————10分时，解集为。