五阶群唯一性证明

五阶群唯一性证明
刘英伟;张洋
【摘要】证明五阶群的唯一性.运用群的定义以及群乘法表的重排规律,简单明了、逻辑严密地推导了五阶群的完整乘法表,证明五阶群的唯一性,证明五阶群是对易群,即阿贝尔群.
【期刊名称】《牡丹江师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(000)003
【总页数】3页(P1-3)
【关键词】群论;五阶群;乘法表
【作者】刘英伟;张洋
【作者单位】哈尔滨工程大学材料科学与化学工程学院 ,黑龙江哈尔滨 150001;哈尔滨工程大学材料科学与化学工程学院 ,黑龙江哈尔滨 150001
【正文语种】中文
【中图分类】O152
群论是近代数学的一个分支,由19世法国天才数学家伽罗华创建.[1]它的出现对后世数学及其他学科的发展产生了巨大的影响,其重要程度不亚于物理学领域的傅里叶变换[2-3]，在物理、化学、计算机、机械、建筑、美术等领域得到广泛应用.[4]群就是一些按一定乘法规则联系起来的元素组成的一个集合.群元素之间的关系,是群的灵魂.元素间通过一定的乘法关系建立联系,这种联系可以用乘法表表示出来.对
于4阶群,有两种乘法表[4],即群不是唯一的.而5阶群则只有一种乘法表,因而是唯一的.关于5阶群的唯一性,有关教科书或文献都没有给出证明，本文根据群论的一般规则,通过简单明了的方式证明五阶群的唯一性,并给出群的完整乘法表,证明五阶群是可对易的,即为阿贝尔群.
1 群的基本概念
如果一个集合G={e,a,b,c…}中的元素满足下面四个条件,那么这个集合就是一个群:
(1)集合中任意两个元素的乘积必为群内另一元素,如 ab=c;
(2)元素之间乘法满足结合律 (ab)c= a(bc);
(3)在集合中存在单位元素e,它和群内其他任意元素的乘积仍得到元素本身,即
ea=a,eb=b,ec=c;
(4)集合中任意元素a,必定存在一个逆元a-1,使得aa-1= a-1a =e.
满足以上四个条件的集合就称为群,群中元素的个数称为群的阶,而群的乘法是指元素之间运算关系,它不是单纯意义上的乘法,比如全体实数之间按加法运算,就构成一个群,这里的加法就是“乘法”.
2 五阶群唯一性证明
五阶群,顾名思义群中含有五个元素,不妨设其为{E,A,B,C,D},其中E为单位元素.一个群的灵魂在于元素之间的运算关系,群的阶数越高,元素之间的运算关系越复杂,各种可能性增多,导致群的种类不止一种.例如四阶群有两种，对于五阶群,可能性只有一种,下面证明之.表1为群的乘法表.首先可以根据群的基本规则确定第一行和第一列的乘法结果.根据定义(3)，这些结果是显而易见的.其他尚不能立刻确定的元素暂时空下,用数字代表，后面的工作就是利用群的定义逐步确定它们.
表1 空白乘法表EABCDEEABCDAA1234BB5678CC9101112DD13141516 2.1 元素1的确定
元素1是A和A相乘的结果.根据群定义(1),A和A相乘结果必为群里的其他元素,
这样就存在以下几种可能:AA=E,AA=B,AA=C或AA=D.可以立刻否定AA=E.因为如果AA=E成立,则{E,A}可以构成五阶群的子群,阶数为2.但是由于子群的阶数必为群阶的因数[12],而2不是5的因数,因此AA=E不成立.这样就只剩下AA=B,
AA=C或AA=D.实际上这三者是等价的,只需讨论AA=B即可.这样表1中的元素1就确定为B,于是在表1的基础上就得到表2.
表2 元素1的确定EABCDEEABCDAAB234BB5678CC9101112DD13141516 2.2 元素2,3,4的确定
表2中元素2为AB相乘的结果,同样根据群定义(1),AB有以下三种可能
性:AB=E,AB=C和AB=D，下面分别讨论.
2.2.1 AB=E
如果这种情况成立,则2=E.这样剩下的3和4只能是C,D或D,C.根据乘法表重排规律,表中每一行或每一列均不能有重复元素,因此必有3=D,4=C,即AC=D ,AD=C.这样的话,由AD=C可得AAD=AC,而AA=B, AC=D,因此得到BD=D,从而有B=E,这样群里出现两个单位元素,而这是不可能的,因而AB=E是不可能的.
2.2.2 AB=C
剩下的两种可能是AB=C和AB=D,不过二者是等价的,这将在后面详细讨论,现在不妨取AB=C.当AB=C时,必有3=D,4=E.这样就得到表3.
表3 元素2,3,4的确定
EABCDEEABCDAABCDEBB5678CC9101112DD13141516
2.3 元素5，6，7，8的确定
在表3的基础上,由于AA=B,因而AAA=AB,于是有BA=AB=C,从而 5=C.另外,根据AA=B,还可得到 AAB=BB,因此得到AC=BB=D,从而6=D.另外,由AA=B,还可得到AAC=BC,再根据AC=D,即可得出AD=BC=E,即7=E.当元素5,6,7确定后立刻可以确定8=A.因此表3进一步完善为表4.
表4 元素5,6,7,8的确定
EABCDEEABCDAABCDEBBCDEACC9101112DD13141516
2.4 元素9，13的确定
根据表4可知,AD=E,因此ADA=EA,即DA=A-1EA,因此DA=A-1A=E,即
13=E.13确定后,立刻可以确定9=D，见表5.
表5 元素9,13的确定
EABCDEEABCDAABCDEBBCDEACCD101112DDE141516
2.5 元素10，14的确定
因为AB=C,从而有ABB=CB,而BB=D,因此AD=CB,从而 CB=E,即10=E.据此可
立刻得出14=A，见表6.
表6 元素10,14的确定EABCDEEABCDAABCDEBBCDEACCDE1112DDEA1516 2.6 元素11,12,15,16的确定
根据表6可知,AB=C,从而ABC=CC.又因为BC=E,因此，AE=CC,即CC=A=11.这样可立刻得到12=B,15=B和16=C.于是一张关于五阶群的完整乘法表就得到了，见表7.在2.2.2中,存在AB=C和AB=D两种可能,只考虑了AB=C这种情况.其实AB=C和AB=D是等价的，如果取AB=D的话,重复上述推理过程,会得到另一张乘法表8.表8与表7虽然表面上看不一样,其实是等同的：只要将表8中所有的C,D互换成D,C,并令C,D两行对调,然后再令C,D两列对调,得到的结果与表7一样. 表7 元素11,12,15,16的确定EABCDEEABCDAABCDEBBCDEACCDEABDDEABC
表8 等价乘法表EABCDEEABCDAABDECBBDCAECCEADBDDCEBA
3 结论
(1)通过理论推导得到了五阶群的乘法表,该表是唯一的,从而证明了五阶群是唯一的.
(2)群元素是可对易的,因而五阶群也是阿贝尔群.
参考文献
【相关文献】
[1] 张端明,钟志成.应用群论导引：第二版[M].武汉:华中科技大学出版社,2001.
[2] 关雪梅，王晓东.快速傅里叶变换(FFT)与小波变换技术[J].牡丹江师范学院学报:自然科学版,2002(4):19-20.
[3] 王晓东,王荣芝.傅立叶变换在图像处理中的应用[J].牡丹江师范学院学报:自然科学
版,2003(3):22-24.
[4] 陈念骇,高坡,乐征宇.量子化学理论基础[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2002.。