2011东北三校联考数学理试题及答案

2011年东北三省三校第一次联合模拟考试
理科数学参考答案
二、填空题：
13、14
- 14、540- 15、1 16、8 三：解答题：
18、(1)连接1AC 交1A C 于点O ，连OD
1111111O AC 1OD//BC ,OD=BC 2 AB BC A CD ACC A D ⎫⇒⎬⎭⊄中,为中点为中点平面111BC //4' OD A CD ACD ⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⊂⎭
平面平面 (2) 延长1A D 交1BB 延长线于E ，则111A D
BB C C 平面=E
取11B C 中点F ，连1,A F EF 11111111111111ABC A B C A F B C A F BB C C 6'A B C BB C C -⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭
在三棱柱中平面 平面平面
111EF A E BB C C ⇒为在平面内的射影
1111E A E BB C C 8'A F ∴∠为与平面成的角
在正1111111A B C B C 1,A A BC ∆==中故： 17RT A EF EF=2∆在中
1cos 26
EF AEF A E ∠==
111A D BB C C 12'26故与平面成角余弦值为
19、 (1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主2'
50岁以下的人多以食肉为主4'
8'
22
30(8-128)30120120K ===10>6.6351218201012182010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
10'
有99%的把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关。

12'
20、(1)设(2cos ,2sin ),(cos ,sin )P Q αααα
由N PM QN PM=0QN PM PN PM λ=⋅⊥知在上，由知
N (2c o s
,s i n ) αα∴ {sin y αα=x=2cos 即：
2
214'4x y ∴+=
(2) 联立方程2
222221(41)2436404(3)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩
2106'
5
k ∆>⇒< 22212121212122224364, y y [3()9]8'4141k k x x x x k x x x x k k -+=-⋅==⋅+++++ 121212()1BE BF x x x x y y ⋅=⋅-+++
222222227
(1)4(91)(31)(24)699291(1)10'14144k k k k k k k -+-+--=++=+++
由
210< BE BF [3,6)12'5
k ≤∴⋅∈-
21、(1)
()(),ln()ln()x x f x f x e a e a --=-∴+=-+
-x -x x x 1 e (e e )0 01'e a a a a a ∴+=⇒++=∴=+
()g(x)=x+sinx [-1,1]f x x λ∴=，且在递减
'()cos 0[1,1]2'g x x x λ∴=+≤∈-在上恒成立
λ∴≤-cosx
1 A =(--λ∴≤-∞即：，］ (2) max 1[1,1]()1t x g x t λλ≤++∈-⇔≤++22g(x)t 在恒成立t 恒成立
2max ()(1) sin1 1 1g x g t t λλλ=-∴--≤++≤-对任意恒成立5' 即： 2(t+1)+t 1sin10 1λλ++≥≤-对任意恒成立
故，{11
s t ≤
⇒≤++2t +-1-t+t 7' (3) 222ln ln (2)()x x x x ex m x e m e x =-+⇔
=-+- 令22ln () ()()x h x x x e m e x
φ=
=-+-， 21l n 1
'() ()(0e )(e ,+) ()x h x h x h e x
e -=∴∞∴==max 在，递增，递减h(x)9'
2m i n ()(e ,+) (x )x m e φφ∞=-为二次函数在(0,e)递减，递增，
22222211 , 11 = =, 111 < <, 2m e m e e e
m e m e e e
m e m e e e
∴->>+-+-+即：无解即：解即：解 12'
22、解：(Ⅰ)︒=∠=∠90PKQ PHQ
∴
四点P 、K 、H 、Q 共圆.2'
(Ⅱ) 四点P 、K 、H 、Q 共圆，HQP HKS ∠=∠∴
①4'
︒=∠90PSR ，PR 为圆的直径，90PQR ∴∠=︒，HQP QRH ∠=∠ ②6'
由①②得，HKS
QSP ∠=∠， TK
SK =∴8' 又︒=∠90SKP TKQ SQK ∠=∠， TS QT TK QT =∴=∴,.10' 23、(1)直线l 的方程：11(1) y x -=-+即：y=-x 1'
240y x ρθ+-=2C:=4cos 即：x 2'
40x -=2
联立方程得： 2x
7 A (0,0) ,B (2,-2) 0,0),B (22,)
4
π∴极坐标5'
22(2) 1 : :(2)431 08'4d l y x C x y k k ===--+=∴=∴==或 {4x =-1-51()()1315t x t l t t y y t ⎧⎪⎪=-+∴⎨=⎪=+⎪⎩：为参数或为参数10'
24、 2121413x x x ≥⇒++≥⇒-
≤≤2(1) |x+1|2|x|x 1[,1]
3∴-解集为4' (2) 存在|x+1|2|x|+a x R |x+1|-2|x|a x R ∈≥∴∈≥使存在使
令6'
1 0
()3 1 -10
1 1
x x x x x x x ϕ-≥⎧⎪=+≤<⎨-<-⎪⎩8'
当0 1 -10-2y<1; x<-1x x ≥≤≤<≤时，
；时，时，y<-2 综上可得：()1x ϕ≤ 1.
a ∴≤10'。