排队论中几个问题的探讨

华中科技大学
硕士学位论文
排队论中几个问题的探讨姓名：***
申请学位级别：硕士
专业：应用数学
指导教师：***
20080423
摘要
本文从现实生活中的简单例子谈起
对其中二种顾客到达对应二种服务的简单情况进行了探讨
然后引入服务器帮忙策略
ë=ë=ë,ì=ì=ì的条件
在代入
1212
说明了文献中服务器耦合与服务器帮忙是一回事
和服务器互相帮忙会优化排队系统的策略那么一个大型服务台的方案Ｉ和ｎ个并联小型服务台的方案ＩＩ我们对无限源情况下进行了比较后面又对成本及其它情况进行了进一步的探讨　
最后我们对
M/H/1与M/M/1的排队系统进行了一些比较
k
关键词
Abstract This paper begins with the daily case
独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果除文中已经标明引用的内容外
对本文的研究做出贡献的个人和集体
本人完全意识到
学位论文作者签名
年月日
学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解学校有关保留即
允许论文被查阅和借阅
可以采用影印
保密
本论文属于
不保密
请在以上方框内打“
学位论文作者签名
日期年月日
1 绪论
1.1排队系统概述[3]~[11]
1.1.1排队例子及基本概念
排队是日常生活和工作中常见的现象上下班坐公共汽车
文件等待打印或发送等等一方要求得到服务我们把要求得到服务的人或物(设备)统称为顾客
而服务台是指给予服务的设备)»ò³ÆΪËæ»ú·þÎñϵͳ
输入过程
１可能是有限的例如工厂内发生故障待修的机器是有限的
到达的类型或是成批到达
在库存问题中就是成批到达的例子Array
相继到达顾客之间的间隔时间的分布
到达间隔时间之间是否独立
2
¹Ë¿ÍÊÇ·ñÔ¸ÒâÅŶÓ
·ÖΪÈýÀà
损失制系统若所有服务台均被占
此时该顾客就自动离去
等待制若所有服务台均被占服
务顺序又分为后到先服务有优先权的服务
顾客到达是排成一个队列Array
混合制分为队长(容量)有限的混合制系统
固定的时间以及逗留时间有限制的混合制系统
服务机构
服务机构的主要指服务台的数目是串联或是并联
服务时间的分布
1.1.3排队系统研究的内容和目的
目前生产与库存管理[13]~[17]
[18],[19]柔性制造系统和系统可靠性[28]等
¼ÆËã»úͨÐÅÍøÂç
众多领域管理人员在系统分析与设计中的重要数学工具
之一
排队系统的性态问题主要包括系统
的队长(系统中的顾客数)ÒÔ¼°Ã¦Æڵȷֲ¼
2ΪÁËÁ˽âºÍÕÆÎÕÒ»¸öÕýÔÚÔËÐеÄÅŶÓϵͳµÄ¹æÂÉ
ËѼ¯Êý¾Ý
ÍƶÏËù¹Û²âµÄÅŶÓϵͳµÄ¸ÅÂʹæÂÉ
3ÅŶÓϵͳµÄ×îÓÅ»¯°üÀ¨ÏµÍ³µÄ×îÓÅÉè¼Æ
前者是在服务系统设置之前
行的情况有所估计后者是对已有的排队系统寻求最优运行策略
1.1.4排队系统的符号表示
一个排队系统是由许多条件决定的在经典排队系统中
５个英文字母表示一个排队系统第一个字母表示输入分布类型第三个字母表示服务台的数目
有时用第五个字母表示顾客源中的顾客数目
队长与等待队长
队长是指在系统中的顾客数(包括正在接受服务的顾客)
¶Ó³¤µÈÓڵȴý¶Ó³¤¼ÓÉÏÕýÔÚ±»·þÎñµÄ¹Ë¿ÍÊý
顾客在系统中的等待时间与逗留时间
顾客的等待时间是指从顾客进人系统的时刻起直到开始接受服务的这段时间
3
·þÎñÁ¢¼´¿ªÊ¼Õâ¶Îʱ¼äÊÇϵͳÁ¬Ðø·±Ã¦µÄʱ¼äÓëæÆÚ¶ÔÓ¦µÄÊÇϵͳµÄÏÐÆÚ
ÔÚÅŶÓϵͳÖÐ
4
ÊÇÖ¸½ÓÊÜ·þÎñÍê±ÏµÄ¹Ë¿ÍÏà¼ÌÀ뿪ϵͳµÄ¹ý³ÌÕâЩָ±ê´ÓÒ»¸ö²àÃæÒ²·´Ó³ÁËϵͳµÄ¹¤×÷ЧÂÊ
1.2排队系统的发展和研究方法
1.2.1排队系统的发展
1¶ÔÓÚ³£¼ûµÄÅŶÓϵͳ
ÎÒÃǾͲ»ÔÙ¶à˵ÁË
优先级排队系统[29]ÓÐÇ¿²ðµÄ
3
在经典排队的基础上利用闲期对服务设施进行调整维修或从事辅助性工作
只有等待服务员返回才能被服务
由于在计算机系统管理工程等领域的重要应用
另外策略排队系统,T D
以触发休假开始为基础的休假规则有空竭服务规则
限量服务(limited service)规规
以休假终止机制为基础的休假规则有多重休假(multiple vacation)规则
多级适应性休假
4在经典排队的基础上
描述可修排队的指标增加了服务台的可靠性指标
可靠度服务台在任意时刻处于损坏状态的概率
(0 , t]内服务台失效时间的分布
5排队网络是指由一些服务点和联络他们的路径所构成的总体顾客在一个服务点接受服务完后按照一定的规律沿着路径到下一个服务点接受服务
广泛的应用计算机性能分析交通控制等领域
负顾客排队系统[39]¹Ë¿ÍÔÚ½ÓÊÜ·þÎñʱÕý±»´¦ÀíµÄ²úÆ·ÓÉÓÚÎó²Ù×÷¶ø±»±¨·Ï
¶øÕâЩÇé¿öÊǽö¾ßÓÐͨ³£ÐÔ
Öʹ˿͵Ĵ«Í³ÅŶÓÄ£ÐÍÎÞ·¨´¦ÀíµÄÌá³öÁ˸º¹Ë¿Í»ò¸ºµ½´ïµÄ¸ÅÄî
Ò»°ãÊÇ×÷ΪϵͳµÄÖÆÔ¼ÒòËضø´æÔÚ
Õý¹Ë¿ÍµÖÏûµÄ²ßÂÔÓÐÁ½ÖÖµÖÏû±»·þÎñ¹Ë¿Í
һЩ³£Óõķ½·¨ÓÐÉúÃð¹ý³Ì·¨
°ëÂíÊÏ·ÖÎö·¨Neuts 发展的矩阵几何理论[40]和Sengupta 提出的矩阵指数方法[41]VMP 法概率极限理论更新点过程法一般比较适合研究排队的各种稳态指标
该方法刚一开始只比较适合研究 M/G/*排队的各种瞬态直到 Neuts 提出矩阵几何理论和 Sengupta 提出矩阵指数方法后
在排队系统的分析中常用的过程是马尔可夫更新过程
因而在排队系统的分析研究中更新理论成了方便的工具因此,半马氏过程也可用来分析一些复杂的排队系统
讨论及实际意义
1.3.1所做的几点思考问题
思考一如
小故障处理不同那么对于这种排队系统可否进行一
些讨论
对于多种顾客到达对应多种服务的排队系统
如果要进行优化
而对于帮忙策略又
会有哪些呢
由此引出问题一我们能否
用分析出其各项排队指标
思考二
那如果干脆就合在一起干　
那我们不妨先考虑都是同种顾客和同种服务的情况有
,i j i j
λλµµ==ÕâÊÇÒòΪ¶à¸ö¶Ó
ÁÐƽÐÐÈÝÒ׳öÏÖÓеĶÓÁйý³¤²»ÈçÒ»¸öÁªºÏ¶ÓÁÐƽ¾ù·ÖÅä
½ÏÓÅ
ÄÇôÈç¹ûÊǶà¸ö·þÎñ̨²¢ÁªµÄÇéÐÎÓÖ»áÔõôÑùÄØ
Ò»¸ö´óÐÍ·þÎñ̨Óën 个服务台两个方案的比较
M/M/1排队系统与方案从排队指标的效率和费用成本两个方面
来进行比较
讨论了同种顾客到达和同种服务的情况显然这个更为复杂对于这个问题较好的方法是用仿真的办法即对于每次顾客
的到达以一定的概率选择某种服务率
即12(,,,)k µµµµ=L
由此引出问题三
1.3.2所做的几点工作研究
对于问题一我们在第二章运用概率母函数的方法然后我们
对帮忙的策略进行了一些探讨
对于问题二我们在第三章来进行了比较对于损失制情
况也做了些简单的讨论
对于问题三我们在第四章从服务台数可以变化和不
可以变化两个方面进行了讨论
同时对每一个服务台的i µ存在max
i i µµ≤⊇≠∏ ÷⊕⊕∂©∉∝⊆≥∉©⊕
≡℘±∪™∨∠ℜ∝⊗ ⊇ℜ∪∈∈〉∝×≡⌠
∠ ®♠″≈⊆←∝⊗±√√∪∞⊆≥⊃
∠ ®♠↵∏√∠∏″∈ℵ∠∩≡⊆™⁄↓≈
∂™©∨∝¬℘ ⊆≈≈∂™©∨™∂≥⊂×∫≈
ℜ ≈∝…∝↓
对于一个大型服务台和n 个服务台两个方案的比较
而军事防空这是一种混合制排队系统
即来袭目标群数量较大时可视为损失制清楚地
知道应该通过层层设防通过纵深空间来换取来袭目标的逗留时
间
增加服务次数和服务时间
因而能够从这两个方面来提高拦截的效率
对于讨论多个多功能服务台情形优化的考虑
其需要应付的情况是复杂多变的此时对于每个人来言就相当于一个多功能服务台所以就需要对服务台的服务能力进行优化组合
2 排队论中的几个问题
2.1 问题的由来
2.1.1引子
在我们的实际生活中比如
如果是些简单的问题
用
自己就可以弄好但如果是些大的故障
或者是硬盘有坏道
去找些专业的人士
同样
对于火炮
出现小的故障就
由本单位的技师和技工负责维修
对这两个例子不同故障由不同人员维
修
一种是服务能力较强较全面的如果进一步抽象
对于一个排队系统
其中有1p 的概率是第一类顾客1ë到达
对于1ë由第一种服务台提供1ì的服务率如图2.1.1所示
有1122
,p p λλλλ==g g 显然12λλλ
+=Ó
Ê
¾
Ö²
»Í¬
µ
ÄÈËÓв»Í¬À
µ
±ÓÐ
n Í
¬
Ê
±¶
Ô
Ó
¦
Ó
Ð
n
Õ
â
¾
ÍÊǶÔÉÏ
Ãæµ
Ä
Í
Æ
¹
ã
图２．１．２多种顾客到达对应多种服务的
　i λ=第i 类顾客的到达率,1,,i n
=⋅⋅⋅n
i i=1
p =1,∑这里一共有n 类不同地顾客
所以在任何时刻一个到达发生时
所以我们就把这种情况下的模型称为多种到达多种服务的排队系统
比如对于两类顾客到达和两类服务的情况
想必不太标准
1
ͬÊäÈëȺÊÇÒ»´ÎÓÐx 个顾客到达
只需要提供一种服务即可
当每个顾客到达时是需要提供多种复合服务的集合时其需要提供的服务为{}1,2,,n L 的子集
批到达的时候那二者就一样了
也不同于
M/H/1 模型其服务台必须是独占的
k
而无需必须全部服务台为空时才可进行服务对每种服务建立一个排队
2.2 问题的初步探讨
首先我们对简单的二类顾客到达
1. 当顾客是无限源时我们可以画出状态转移图
我们可以直接写出平衡方程
1212
212212
(0,1)(1,0)()(0,0)(0,0)(1,0)(,1)(1,0)()(,0)p p p p i p i p i p i µµλλλµµµλλ+=+ −−−+++=++ −−对--2.1.1对12111212211212(,0)(0,1)(1,)(0,1)()(0,)(0,)(,1)(1,)(1,)(,1)()(,)(
,)i p j p j p j p j j p i j p i j p i j p i j p i j i j λµµµλλ
λλµµµµλλ
−+++=++ −− −+−++++=+++ −− --2.1.2对--2.1.3对--2.1.4 其中,1
i j ≥
a. 我们引入二维母函数00(,)(,)i j
i j H x y p i j x y ∞
∞
===∑∑再对i 从1到∞求和
再对j 从1到∞求和
再对i 有
211212121
1
1
2121
1
1
222211111111[()()](,)(0,1
)(1,0)(1,0)(0,)(1,)(0,0)(1,0)(0,1)(,0)j i i j i i j
j j j j i j i y x H x y x y
y p j y x p i x
p i x x p j y p j xy p p x x x x x p j y p i x y y y µµ
λλλλµµµλλµµµµµµµ∞
∞
∞
−−+===∞∞==∞∞+==+
++−+++=−+−++++++++++∑∑∑∑∑∑∑111121211
(,1)(0,0)(0,1)()[(0,)(,0)(0,0)]i i j i j i p i x y p y
p y p j y p i x p y µµλλµµ∞=∞∞==++−+++++∑∑∑ 2.1.4’
将2.1.2’,2.1.3’,2.1.1代入2.1.4
ÔòÓÉ2.1.2’,2.1.3’有
1100
220
0(,0)(,1)(0,)(1,)i i j j p i p i p j p j λ
µλµ∞
∞
==∞∞
== = = ∑∑∑∑
b. 我们引入三维母函数
0(,,)[(,)]k
i k i k k i G x y z p i k i x y z ∞
−===−∑∑
对1z =时
显然有
0000
(1,1,1)(,)
(,)(1,1)1
k
k i i j G p i k i p i j i j k H ∞
==∞
∞===−= +===∑∑∑∑
令 那么我们可以利用a 中的推导结果则
对2.1.2式两边同乘0i i
x y z ÓÐ
0212220
11000
12122
1011101
11[()()](,0)(1,1)[()(0,0)(0,1)(1,0)k k k k k k xz p k x y z xz p k x y z p x y z yz xz p x y z p x y z yz xz
µλλµλµµλλµµµ
∞
=∞−=++−+
=−+++−−−∑∑ 2.2.2’ 对2.1.3式两边同乘0j j
x y z ÓÐ
0112110
111011
2101100011121
[()()](0,)(1,1)(1,0)(0,1)[()](0,0)k k k k k k yz p k x y z yz p k x y z p x y z xz xz p x y z p x y z yz yz
µλλµλµµµµλλµ∞=∞−=++−+
=−−−+++−∑∑ 2.2.3’
对2.1.4式两边同乘i j i j
x y z +j •√± ש
1到∞求和
21
121212021
112120
021
212120
11112111
[()()](,,)[()()](0,)[()()](,0)(1,1)(1,1)[(k k
k k k
k k k
k k
k k yz xz G x y z xz yz
yz p k x y z xz yz xz p k x y z xz yz p k x y z p k x y z xz yz µµλλµµλλµµλµµλλµµλµµλλµµ∞
=∞
=∞∞−−==++
+−+++=++−++++++−++++−+−+∑∑∑∑211212101011
21)()](0,0)
(1,0)(0,1)p xz yz
p x y z p x y z xz yz
µµ
µµλλµµ
+++−+−− 2.2. 4’
将2.2.2’,2.2.3’,2.1.1代入2.2.4’
¶Ô2.2.4’’
¶þÕß×óÓÒÏàµÈ
不妨　令1
x y ==当1z →时分子分母同除1z
−
120
1212(,0)(0,)(1,1,)k
k
k k p k z p k z G z z z
µµµµλλ∞∞
==+=
+−−∑∑
此时令1
z =则有
1212120
(,0)(0,)()()k k p k p k µµµµλ
λ∞
∞
==+=+−+∑∑ 1212
[1(,0)][1(0,)]k k p k p k µµλλ∞∞
==−+−=+∑∑ 对于系统中顾客数不超过n 个的概率母函数由2.2.5
ÓÐ
120
00
1212(,0)(0,)
()(,)()()
n n
n
k
k k k i p k p k p i j k n p i k i µµµµλλ====++=≤=−=
+−+∑∑∑∑
2.3 引入帮忙策略的进一步讨论
2.3.1对于服务器帮忙策略的讨论
对于无限源的这种情况而服务台 之间又
无联系
对于某些服务台的服务强度i
i
i
ëñ=ì较大
对于某些服务台j
j j
ëñ=ì较小那么我们可否对这种分工不太均匀
的情况进行改进呢
我们可以对服务台之间进行某种协作
对
此我们来讨论下服务台相互帮忙的策略
服务台是相互帮忙的服务台是单向帮忙的
我们仍用最简单的二类顾客到达
1) 当1ì与2ì相差不大时
那么我们通过相互帮忙
此时相互帮助显然会优于单向帮忙
即二者的服务效率相差太大
反倒是2ì帮1ì很容易改变1服务台的拥堵情况甚至到为空时1ì去帮助2
쵫ÖÁ
ÉÙÏÐ×Ų»Èç°ïæ
2)的分析讨论
条件一
同时**2
2
L L ≤±™≈↓≡⌠• ∈〉⊂♦2人数满足*
22
x L L L +≤ 若*2
2
L L >
那么服务台2送
y L 人数到服务台1去
其中12,L L 分别是当前服务台1,2的顾客数
服务台1人数的下限
***
12,L L 分别是服务台1帮2时
服务台2人数的下限
对于文献[1]
ÊôÓÚÏ໥°ïæµÄ²ßÂÔÒ»
¶þÖÐ****
120
L L ==那么这种
服务台i 去帮服务台j 时
二者合作的服务率是否就为i j µµ+呢
如果电脑是小故障
其业务熟练当然也有可能差
不多
由于我们不仅缺乏专业知识技能
那我们可能花了很多时间却还是修不好
11
µµ′→
2帮1时
2
2µµ或22
µµ′≤∪ ∉ℜ
1帮2时
2帮1时
111,µµµ′′↑≥222,µµµ′′↑≥111
,µµµ′′↓≤222,µµµ′′↑≥
iv) 1帮2时2帮1时　
对于情况i)ÊÖæ½ÅÂÒµÄרҵ֪ʶ¹¤¾ß¶¼²»Ïàͬ
ÕâÊÇÏÔÈ»µÄ
对于情况ii)
ÕâÖÖ¿ÉÄÜÐÔÎÒÈÏΪ½ÏµÍ
²»¹ýÈôÕâÑù˵ÔÚÏÖʵÉú»îÖÐÒ²ÓÐ
这就是前面讨论电脑大小故障的情况
所以这四种情况讨论后
其他三
种的可能性较大
若其中一队i 没有顾客时
服务员i 的服务率i µ变为i µ′
• ∈〉ℜ⊇⊇∩i j
µµ′+
如 若 队
10
S =212
S µµ′=+∈♠↵∏⊇±
22µµ′
→∪ ∉ℜ⊆… 2.3.1
图2.3.1无限源引入帮忙策略时两种顾客到达对应两种服务的排队模型的系统状态转移图
'
'121212''
12121212
'2112()(0,1)()(1,0)()(0,0)(0,1)(1,)()(0,1)()(0,)(1,0)(,1)()(1,0)(p p p p j p j p j p j p i p i p i µµµµλλλµµµµµλλλµµµµ+++=+ −++++=+++ −++++= 2.3.12.3.2'1212
12211212
)(,0)(,1)(1,)(1,)(,1)()(,)p i p i j p i j p i j p i j p i j µλλλλµµµµλλ
+++ −+−++++=+++ 2.3.32.3.4 此处,1i j ≥. 与图2.2.1对比即方程2.3.2
同理我们取二维母函数
00
(,)(,)i j
i j H x y p i j x y ∞∞
===∑∑再对j 从1到∞求和
再对i 从1到∞求和
再分别对i
有
211212121
1
1
2121
1
1
222211111111[()()](,)(0,1
)(1,0)(1,0)(0,)(1,)(0,0)(1,0)(0,1)(,0)j i i j i i j
j j j j i j i y x H x y x y
y p j y x p i x
p i x x p j y p j xy p p x x x x x p j y p i x y y y µµ
λλλλµµµλλµµµµµµµ∞
∞
∞
−−+===∞∞==∞∞+==+
++−+++=−+−++++++++++∑∑∑∑∑∑∑1111212
11
(,1)(0,0)(0,1)()[(0,)(,0)(0,0)]i i j i j i p i x y p y
p y p j y p i x p y µµλλµµ∞=∞∞==++−+++++∑∑∑
显然与前面2.1.4’的结果一样有
121
2''
221111
''1211
[(1)(1)(1)(1)](,)1111[(1)(1)](0,)[(1)(1)](,0)11[(1)(1)](0,0)j i j i y x H x y y x
p j y p i x x y y x p x y
λλµµµµµµµµ∞∞==−+−+−+−=−+−+−+−
+−+−∑∑ 即2.3.5
''''221112001212
(,)111111[(1)(1)](0,)[(1)(1)](,0)[(1)(1)](0,0)11
[(1)(1)(1)(1)]j i j i H x y p j y p i x p x y y x x y
y x y x
µµµµµµλλµµ∞∞===
−+−+−+−+−+−−+−+−+−∑∑如果令''
11222
µµµµµ====则对2.3.5有
00(,)111111[((0,)[()](,0)[(1)(1)](0,0)11
[(1)(1)(1)(1)]
j
i j i H x y p j y p i x p x y y x x y
y x y x
µµµµλλµµ∞∞===
−+−+−+−−+−+−+−∑∑ 与文献[2]中式一样7
也得到与上
式一样的结果
也表明我们的推导正确
服务台在自己队列为空时会相互帮助
忙的服务台文献[2]服务台
耦合的模型是一回事
我们同样可以运用三维概率母函数的方法
已经有一些
结果
同时我们这讨论的是并行服务台的情形
如果我们从军事装备维修的角度来分析
分析战时和平时的不同到达情况
使得能够满足不同时期不同的需求
我们可以建
立相应的应急方案平时就注重培养和提高基层人
员的专业技能和水平
3 排队论中的几个问题
3.1 方案I 和方案II 的提出
如果我们把同类型的服务台合在一块
那么这样合在
一起的大型服务台是否比原来分散合作的情况是否要好呢
但没有并联起来
组成一个多台的服务系统
因此有
3.1.1我们来比较下面两个方案: 方案I
·þÎñ̨·þÎñÂÊΪn µ M/M/n/∞系统
λ到达
n 个服务台
则有 服务强度
M/M/1/∞系统
2222,,,c n n λ
λλµµρρµ
====
=2
1111o P ρρ=−=−
M/M/n/∞系统
３
M/M/1/∞系统
等待概率为22222()(,)(,)(1)(1)
n
n o p n c n c n P n λλρµµρρ===−−
由于21222221
2()()()11(1)!!(1)!(1)n n n n o o o k n n n n p P P P n n n ρρρρρρ−∞
=−=
+=<−−−∑ 所以2()!(1)
n
o n P n ρρρ<−
即M/M/1/∞系统的等待概率要大于M/M/n/∞系统
等待队长 M/M/1/∞系统
222
()!(1)n o n N P n ρρρ′=
− 有
中222()!(1)
n
o n P n ρρρ<−即等待队长要长
队长 M/M/1/∞系统
22222222
2()()!(1)!(1)n n o o n n N N n P n P n n n ρρρρ
ρρρρρ′=+=+=+−−
讨论1N 与2N 的大小关系
若1n ρ
ρρ
≥
−
此时有01n ρ
ρ
≥
>−即1
10n
ρ−
≥>12N N ′′<
当111n
ρ>>−
时放在后面再讨论
平均等待时间
M/M/1/∞系统
22222
2()(1)
n
o N N n W P n ρρ
λλµρ′′===− 由于212
22()1!(1)n o n N P N n ρρ
ρρρ′′=>=−− 所以12W W >
平均逗留时间 M/M/1/∞系统
222222()111(1)(1)(1)!(1)n o n p N T W n n n n n ρρρλµµρµµρρ ′==+=+=+− −−−
讨论1T 与2T 的大小关系
而222
()()1(1)!(1)!(1)n n o o n p n n p n n n ρρρρρρρρ
ρ
−+−=+ −−
g
利用
的讨论
当1
110n
ρ>−≥>时
此时有1T >2T
当1
11n ρ>>−时
此时还需讨论2
()(1)!(1)
n o n P n n ρρρ+−−与1的大小
关系 说明
由于n λρµ
=
有
1n λ
µ
=−如果01λµ
<
≤•×∂ ∠®♠↵♠®≈÷•∈〉⊂♦⊆↵⊃®™ℜ⋅©≠⁄⋅∠∩⌠ℑ⊄ ⊆™∧™↵♠®≈÷⊆↵⊃
®™ℑ⊄
对
011n λ
µ<
≤≤−显然成立如果1λµ
<
有1n λµ
<<©∠101n
ρ<<−
此时
[,1]k k λ
µ
∈+如果1n λµ
−<
时不然易堵塞
对于1n n λ
µ
−<<<+∞λ
µ
也增大 当n 较小时有
(1,2)λ
µ∈ 当n 较大时
有
λ
µ
→+∞
统的顾客来说
需要的工作台数n 也较大
需要服务机并联来处理问题
3.1.2对于2
()(1)!(1)n o n P n n ρρρ+−−与1的大小关系讨论
1
ÓÐ111n
ρ>−≥
∂ 2()0!(1)
n
o n p n ρρ>−
2
ÓÐ
1
10n ρ>−>
那么要讨论2()(1)!(1)
n
o n p n n ρρρ+−−与1的大小
而1
1
2
()()[]
!!(1)k n n o k n n p k n ρρρ−−==+−∑
令1
()()[1(1)][]!!(1)k n
n k n n n f k n ρρρρ−=−−+=−∑
对于111n
ρ>>−
时
此时０，１，L ，ｎ－２
说明(){}!
k
n k ρ是单调递增的序列
０，１，L ，ｎ－２
即01
()()10!(1)!
n n n n n ρρρ−=<<<
−L 1()!1()(1)!
n
n n n n n n n ρρρ−=<−
这是因为
1
10n
ρ>−>那么
11n n ρ
ρρ
>>−−
那么有
101()()[1(1)][1(1)!!(1)()()
[1(1)][1(1)][[1(1)](1)!!(1)n n
n n
n n f n n n n n n n n n n n n ρρρρρρρρρρρρ−−=−−++++−−=−−+−−+++−−−−L L
由于01(1)1n ρ<−−<
令
1112
13
1
()()[1(1)][][1(1)]
(1)!!(1)()()[1(1)](1)[1(1)](1)!!(1)()()(1)[1(1)](1)!!(1)()()
()
[1(1)]
(1)!!(1)
(n n
n n
n n
n n
n n f n n n n n n n n n n f n n n n n n f n n n n n n n n n ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ−−−−=−−+++−−−−<−−−+−−=−−<−+−−=−−<+−−−−=L 0
)[(1)1(1)]!(1)()!(1)n
n n n n n g n ρρρρρρ−+−−−==−
而
1
03()[(1)]0(1)!n n g f n n n ρρ−−=−−>−
1
321
(){1[1(1)]}(1)
(1)!
()(1)(1)0
(1)!
n n n f f n n n n n n n ρρρρ−−−=−−−−−=−−>−
11
21()()[1(1)]{(1)[]}0
(1)!(1)!
n n n n f f n n n n n ρρρρ−−−=−−−−++>−−L
那么有
0003322110()()()()g f g f f f f f f f −=−+−+−+− 对于n=2时
对n=2时
那么
2211
02211
0()241
04()1
2ρρρ<−
<⇒<−<⇒<−<
有21
014()1
2
ρ<−−<即00
g f >©∠12()()()()()1(1)!(1)(2)!111
n n n n n n n n n n n n n ρρρρρρ−−=≥>>−−−−− 那么
00033221100332101()()()()
()()()g f g f f f f f f f g f f f f f g −=−+−+−+−>−+−+−=
而
11
122
2
()()[(1)](1)(1)(1)(1)!(1)!
()()[(1)](1)(1)(1)(1)(2)!(1)(2)(1)(1)(1)(1)n n n n n n g n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n g n n ρρρρρ
ρρρρρρρρρ
ρρρ−−−−=−−+−−+−−−−=−−+−−+−−−−−−>−−+−−+−−=−−
22
2222[(1)]
(1)(1)(1)(1)(1)
()(1)(1)(1)
()2(1)(1)(1)1[()2(1)(1)](1)11[()(1)](1)10
n n g n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ρρ
ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ=−−+−−+−−−−=−+−+−−−=−+−−−−=−−+−+−−=−−+−−>
即00120g f g g −>>>综
合n=2及3
n ≥
对111n
ρ>>−
时
有2()(1)1!(1)
n
o n p n n ρρρ+−>−
等价有2()(1)!(1)1n o n p n n ρρ
ρρρ
+−>
−−21
T T > 对
于
方
案
空闲概率12o o p p >队长12
N N <平均逗留时间12T T <
综合比较
优于方案
3.2 从费用成本的角度讨论
以上我们是从排队系统的时间效率方面来比较两者的
3.2.1首先我们站在每一个顾客所需的服务成本考虑 1
假设对方案
方案
那么有　方案
中对每一个顾客的平均服务成本是
22211
c c µµ
= 若12c nc = 若12
c nc >
若果我们站在物理物质
对于同样多的活
只是在时间上快慢
不一样而已
既然从服务成本考虑意义不大
所花被服务的时间成本是4
c
方案
中每一个顾客的平均时间成本是324324
221()1
!(1)n o n c W c c p c n n ρµµρµ
+=+−
340,0
c c >=¶ø¶ÔÓÚ±»·þÎñÊÇÌرðÔ¸ÒâµÄ
È绨ǮÍæµçÍæ
µ±Æ½¾ù·þÎñʱ¼ä³¬¹ýÒ»¶¨ÏÞ¶Èʱ
´Ëʱ40
c >⊕♠⊆••′⊇±…™≠ ≥⁄
® ∠∠
⊄ ≈♦⊇±…™≠≥⁄®″″≈⊂↔⊇•
)对于维修的机器
都会造成工厂停产或某些服务无法进行下去)来说
中顾客的平均时间成本是313
1(1)
c W c n ρ
µρ=×−
方案
即　方案
)来说
中顾客的平均时间成本是3140
11max{0,(
)}c W c n µµ+×−
此处
00
1111n µµµµ−−= 方案
已知3132
c W c W <
• °÷
∠ϒ
方案I 中顾客的时间成本是314
31311111
()c W c c W c T µµ+=+= 方案II 中顾客的时间成本是324323222
11
()c W c c W c T µµ+=+= 此处就是1T 与2T 的大小比较了
即方案
优
总的说来
显然是方案
优
那么接下来我们就可以按照传统的角度
3.2.2接着站在整个排队系统的单位时间成本考虑
假定λ通过n 的选择来比较确定是选用一台大型机还是n 台小型机
的方案
不妨设
每个顾客在系统逗留单位时间损失费为1c 元
则 对一台大型机其单位时间内的服务率成本为2c n µ元
因而单位时间平均总损失费用为
其中 111
1N ρρ=
−2n λ
ρµ
=
1
1
2221
2()()[]
!!(1)k n n k n n p k n ρρρ−−==+−∑©⊃©∨1
F 与2
F 中对2
c 的费用
故仅需比较11c N 与21c N ±È·½°¸
对方案
可以求出n 的最优值来
有*
1n λµ=
∩
⌠
®≥
⋅
©
⊕
*2
n
对于n 3
可以求出*2
n
通过分别求出*
1
n 比较2F 与1F 即可知哪个优
或者将*
1
n 代2
F µ«Ò²ÓÐÒ»·¬¼ÆËã
¾Í¿É½øÐжþÕߵĴóС±È½Ï
¼´±È½Ï*11n −与
λ
µ
的大小
与1的大小
故对于λ
1c ´Ëʱ½öÐè±È½Ï1
c λ
µ
与2c µ的大小并且可以确定各自方案n 的最优值
ＩＩ
方案I
M/M/n/n
22222,,,,, 2c n k n n n λ
λλµµρρµ
======≥其中 1
12022011[()]!11()!n
i n
i P i n n λµλλµµ
−===+++∑L
由于2
n ≥
2
1111,1()(1,)n P n n B c B λ
λλµ
λµµµ
=+== 222220
21()!,
((,1()!n
n n
i
i n n P B c B n i λλλµ
µµ
λµ====∑
显然有0111P P +=
对于2
n ≥即21n P P
>
3
所以1221L n L P P λλλλ=>=
4
那么有2111n P P
−<− 即2112(1)(1)n P P λλλλ==−<− 5½øÈëϵͳµÄ¹Ë¿Í¶ºÁôʱ¼ä¼´Îª·þÎñʱ¼ä
即1111T n µµ
=
=©∠
1211
T T n µµ
=<= 6
ƽ¾ù¶Ô³¤¼´ÎªÆ½¾ùæµÄ·þÎñ̨Êý
有1
11111(1)(1)N n n P P λλµµ==
−=− 222222(1)(1)n n N n P P λλ
µµ
==
−=− 由4
小结
方案I 中再怎么忙也只有一个服务台方案I 忙和闲的概率大于方案II
´ÓÕâ
Ò»µãÉÏÀ´Ëµ²»Èç·½°¸II 工作状态稳定
方案I 也是不如方案II
¾ÍÊǶÔÓÚ½øÈë
ϵͳµÄ¹Ë¿ÍÆäËù»ñµÃµÄ·þÎñЧÂÊ
ÓÈÆäÊÇÔÚn ½Ï´óʱ
接下来我们可以从收入费用的方面来考虑
假设　每个服务台单位时间单位服务的成本在方案
在方案II 中是
2
e Òò´Ëµ¥Î»Ê±¼äϵͳµÄ´¿ÊÕÈë·Ö±ðΪ
1111111(1)()F g n e P g e λµλ=−=−−
方案II
Ö»ÐèÒªÌÖÂÛ11(1)()P g e −−Óë22(1)()n P g e −−的大小
i)当12e e =时
那么有2112(1)()(1)()
n P P g e g e −−<−−˵Ã÷¶þÕßÔÚÏàͬµ¥Î»Ê±¼äÄÚÌṩÏàͬµ¥Î»µÄ·þÎñ³É±¾²»Ò»Ñù
ÔÚÀíÏë״̬ÏÂ12
e e =ש∪∪ℑƒ
∇♣∝⊗ ∩∂∪®⊇⊆⊗∩∈®℘∩™∨∉√⊇∝⊃ ≈√∠↵×∝⊗⊗√√•°÷÷∨
⊗⇐∪ ≠⊇∩12e e >即
12
F F <那情况就复杂了
综合i)和ii)¾ÍÈÏΪ12
e e =从系统收益最
大化考虑
3.3.2我们再来讨论无限源混合制的情况
１２n n µµµ==2c n
=22
k n >≥说明二者服务强度一样
方案
中一个小型服务台容量的n 倍
说明二者相等
但我们为方便讨论
1
1111
11o p k k
=
=++
由于11(1)1(1)(1)11(1)!!
n n
n n n k n n n n k n nk k n n −++++−+≥+−+−+=+>+−L
前面已讨论过{}!i
n i 在0,1,i =L 时是递增序列
那么
当1ρ≠时
2n ≥时
因此有12o o p p > 即对1ρ=和1ρ≠时任意状态的概率
111
11
111111,111(1)(1),1,011i i i k k k k p i k
ρρρρρρρ
ρ++ == ++ = −− =≠≤≤ −−
22222221(),1,!
(),,
!n
o i n i o n p i n i p n p n i k k n ρρ ≤< = ≤≤=
3
111
1
1
L k o p p p k ==
=+ÓÐ12L L p p <
当1ρ≠时
仅需比较
1!!n n
n n n n k n n n −++++−+−L 与(1)n k n ρρ+++L 的大小
我们放在后面再继续讨论单位时间平均损失的顾客数 11111L k k L p p p λλλλ=== 22222L k k L p p p λλλλ=== 单位时间平均进入系统的顾客数 1111(1)L L p λλλλ=−=− 2222(1)L L p λλλλ=−=− 显然要比较1L λ与2
L λ1λ与2λ的比较也同理
平均等待队长
11111
1101
211(1)
,1
2(1)(1)(),111k k k k k N N p k ρρρρρρ
ρ++− = + ′=−= + −≠ −− 2222222222211222
()(1),12!
()()(1)()],1
(1)n
o k i n
i n k n k n o n k n k n p n N i n p n k n k n p n ρρρρρρ=+−−+ −−+= ′=−= −−++−≠ − ∑ 平均队长
11111
11,1
2(1),1
11k k k N k ρρρρρρ++ = = + −≠ −− 22222(1)k N N n N n p ρ′′=+=+− 6
11
111111
,12,1(1)
k k k N W k n n ρλ
ρρλρµλµρ− = ′ == −≠ −−
2
2
2
222222221
222()(1),12!(1)()[1(1)()],1(1)(1)n o k n
o k n k n k n p k n k n n p N W n p k n k n n p ρλλρρρρρρλ−−+ −−+=
−′ == −−++−≠ −−
平均逗留时间
1
1
111111
,121,1(1)k k k N T k n n ρλ
ρλρµλµρ+ = == −≠ −− 22221N T W λµ
==+ 说明
不如方案
而在等待制情况下的方案
优
的工作能力12n µµ=优于方案
但由于
只有一个服务台对于等待的容量空间不够的情况下
方案
方
两个方案就接近于等待制的情况
比方案
那至于在何种情况下会这样
对于比较1!!
n n
n n n n k n n n −++++−+−L 与(1)n k n ρρ+++L 的大小。