陕西省西安交大附中2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 Word版含解析

2019学年度上学期9月月考高一数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题,每题只有一个正确答案,每小题5分,共60分）
1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}{}1,3,5,7,5,6,7M N ==则（ ）
A. {}5,7
B. {}2,4
C. {}2,4,8
D.
{}1,3,5,7
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意，得,所以.
考点：几何的运算.
2.在映射:f A B →中，A B ==R ，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与A 中的元素(2,1)在B 中的象为（ ）. A. (3,1)- B. (1,3) C. (1,3)-- D. (3,1)
【答案】B 【解析】 试题分析：令，得
，即与A 中的元素(2,1)在B 中的象为
.
考点：映射的概念.
3.下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A. 2)y x =与y x =
B. 33()y x =与y x =
C. 2
y x =与2
)y x =
D. 3
3
y x 与2
x y x
=
【答案】B 【解析】
【详解】A 中两函数定义域不同；
B 中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一函数；
C 中两函数定义域不同；
D 中两函数定义域不同
故选B.
4.已知函数()1,1
3,1
x x f x x x +≤⎧=⎨
-+>⎩,则
52f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
( ) A.
12 B.
32 C.
52
D.
92
【答案】A 【解析】 【分析】
代入对应的分段求解函数值即可.
【详解】5513222f ⎛⎫
=-+= ⎪
⎝⎭
. 故选：A
【点睛】本题主要考查了分段函数值的求解,属于基础题型. 5.函数21
()41
f x x x =
+-+的定义域为（ ）. A. [2,0)(0,2]-⋃ B. (1,0)(0,2]-⋃
C. [2,2]-
D. (1,2]-
【答案】D 【解析】
试题分析：要使函数有意义，须，解得；所以其定义域为.
考点：函数的定义域.
6. 在区间（0，+∞）上不是增函数的是（ ） A. ()21f x x =- B. ()2
31f x x =-
C. ()1f x x =+
D. ()3f x x =-+
【答案】D 【解析】 试题分析：
在为增函数，在
为增函数，
在
为增函数；而
在
为减函数，
故选D.
考点：基本函数的单调性.
7.设集合{}|12A x x =<<,{}|B x x a =<,若A B ⊆,则a 的取值范围( ) A. 2a ≤ B. 1a ≤
C. 1a <
D. 2a ≥
【答案】D 【解析】 【分析】
结合数轴分析即可.
【
详解】画出数轴可得,若A B ⊆则2a ≥.
故选：D 【点睛】本题主要考查了根据集合的关系求参数的问题,属于基础题型.
8.若函数f (x )＝
()()
21x
x x a +- 为奇函数，则a ＝( )
A.
12
B.
23
C.
34
D. 1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇函数的定义得到f (－x )＝－f (x )，代入表达式化简得到(2a －1)x ＝0.∴a ＝12
. 【详解】∵函数为奇函数，所以由定义得到f (－x )＝－f (x )，
∴()()()()
--2121x x
x x a x x a =-+--+-
∴化简得到(2a －1)x ＝0.∴a ＝12
. 故答案为A.
【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，已知函数的奇偶性求参数值，首先奇偶函数的定义域关于原点对称，其次根据奇偶函数的定义域f(x)和f(-x)的关系得到结果即可.
9.函数()f x 是定义在 [
)0,+∞ 的增函数，则满足()21f x -＜13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的x 取值范围是 ( ) A. 2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B. ［
13 ，23） C. （
1
2
，+∞） D. ［
12，23
） 【答案】D 【解析】 函数
()f x 是定义在 [)
0,+∞ 的增函数，
()21f x -＜
13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
12112323210
x x x ⎧
-<
⎪⇒≤<⎨
⎪-≥⎩ 故答案选D.
点睛：这是抽象函数解不等式问题，没有表达式，要解不等式，只能是赋值法；这个题目，
利用函数单调性直接比较括号内自变量的大小关系，列出不等式：12112323210
x x x ⎧
-<
⎪⇒≤<⎨⎪-≥⎩
注意定义域是[
)0,+∞，因此还要加上210x -≥.
10.若()12g x x =-,()()2
2
1x
f g x x -=,则
12f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
( ) A. 1 B. 15
C. 4
D. 30
【答案】B 【解析】 【分析】
令()1
2
g x =
求得x 再代入求解即可. 【详解】令()111224g x x x =-=⇒=,故2
2
11114152414f f g ⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选：B
【点睛】本题主要考查了复合函数的求值问题,属于基础题型. 11.设2()2f x ax bx =++是定义在[]
1,2a +上的偶函数，则的值域是（ ）．
A. [10,2]-
B. [12,0]-
C. [12,2]-
D. 与,a b
有关，不能确定 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意，得
，即
，即
；
，
；
则
，即函数的值域为
．
考点：二次函数的奇偶性与值域．
12.定义在R 上的奇函数()f x ,()50f =,且对任意不等的正实数1x ,2x 都满足
()()()12210f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦,则不等式()0x f x ⋅->的解集为( )
A. ()()5,00,5-U
B. ()(),55,-∞-+∞U
C. ()(),50,5-∞-U
D. ()()5,05,-+∞U
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性与单调性画草图分析即可.
【详解】∵对任意不等的正实数1x ,2x 都满足()()()12210f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦, ∴函数()f x 在(0,+∞)上单调递增,
∵定义在R 上的奇函数()f x , ∴()f x 在(−∞,0)上单调递增。

∴不等式()0x f x ⋅->等价为()0x f x -⋅>,即()0x f x ⋅<. ∵(5)0f =
∴(5)(5)0f f -=-=.
作出函数()f x 的草图,由图像可知,
不等式()0x f x ⋅<等价为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0
()0x f x <⎧⎨
>⎩
, 即05x <<或5x 0-<<, 即不等式的解集为()()5,00,5-U . 故选：A.
【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性与奇偶性求解抽象函数不等式的方法等.需要根据题意画出草图分情况讨论分析.属于中等题型.
第Ⅱ卷
二、填空题（共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在横线上）
13.已知集合{}{}|1,|3A x x B x x =>=<，则集合A B =I __________． 【答案】()1,3 【解析】
由交集的运算可知{|13}A B x x ⋂=<<，故填：(1,3)． 14.已知)
12f
x x x =+则()f x =______．
【答案】21x -,()1x ≥．
【解析】 【分析】
将原函数用配方法配方,1换元即可.
【详解】解：)
1f x =+Q
11x =+-
21)1=-.
∴则()21f x x =-,()1x ≥．
故答案为21x -,()1x ≥．
【点睛】本题考查函数的解析式的求法,常用直接法、配方法、换元法、待定系数法,需要注意定义域的的取值.
15.已知函数()5
3
3f x ax bx cx =-+-,()37f -=,则()3f 的值为______.
【答案】13- 【解析】 【分析】
根据5
3
()g x ax bx cx =-+为奇函数,()()0g x g x +-=计算即可.
【详解】由题,设()5
3
()3ax bx x g cx x f -+=+=,易得()g x 为奇函数.故
()()0g x g x +-=,
即()3()30()()6f x f x f x f x ++-+=⇒+-=-. 故()36(3)6713f f =---=--=-. 故答案为：13-
【点睛】本题主要考查了奇函数的运用,属于基础题型.
16.若集合{
}
2
|20M x x x a =-+=有8个子集,则实数a 的值为______. 【答案】1- 【解析】 【分析】
根据集合M 有8个子集,可以判断出集合M 中共有3个元素,即2
20x x a -+=有3个根,转化为2
2y x x =-与y a =-的图像有三个交点,画出图像即可解得a 的值．
【详解】∵集合{
}
2
|20M x x x a =-+=有8个子集,根据集合中有n 个元素,则集合有2n 个子集,
∴28n =,解得3n =,
∴集合{
}
2
|20M x x x a =-+=中有3个元素,即2
20x x a -+=有3个根, ∴函数22y x x =-与y a =-的图像有三个交点, 作出2
2y x x =-与y a =-的图像如图所示,
∴实数a 的值1a =-． 故答案为：1-．
【点睛】本题主要考查了子集与真子集的性质,数形结合求解函数零点个数的问题.属于中等题型.
三、解答题（共6道题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知集合{}2|340A x ax x =
?-=R .
（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）9
{|16a a >-且0}a ≠；（2）9
{|16
a a ?或0}a =. 【解析】 【分析】
（1）A 中有两个元素等价于方程有两个不相等的实数根； （2）A 中至多有一个元素等价于一元二次方程无解或只有一解.
【详解】（1）由于A 中有两个元素，
∴关于x 的方程2340ax x --=有两个不等的实数根， ∴9160a ∆=+>，且0a ≠，即9
16
a >-，且0a ≠. 故实数a 的取值范围是9
{|16
a a >-
且0}a ≠. （2）当0a =时，方程为340x --=，4
3
x =-
，集合43A 禳镲=-睚镲镲铪
； 当0a ≠时，若关于x 的方程2340ax x --=有两个相等的实数根，则A 中只有一个元素，此时9
16
a =-
， 若关于x 的方程2340ax x --=没有实数根，则A 中没有元素，此时916
a <-. 综上可知，实数a 的取值范围是9
{|16
a a ?
或0}a =. 【点睛】本题考查集合描述法
的
特点及一元二次方程根的个数的讨论，考查基本的运算求解能力.
18.(Ⅰ)已知函数()f x 的定义域[]4,2-,求()()
21
f x
g x x =
+的定义域; (Ⅱ)求函数()3f x x =在区间[]
2,4上的值域.
【答案】（Ⅰ）[)(]2,11,1--⋃-；（Ⅱ）12,4⎤-⎦
【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据复合函数的定义域即可求解；
（Ⅱ）根据定义域,利用换元法即可求解值域．
【详解】(Ⅰ)函数()f x 的定义域[]4,2-,即422x
-≤≤,可得21x -≤≤ 又分母10x +≠,可得1x ≠-. ∴()()
21
f x
g x x =
+的定义域为[)(]2,11,1--⋃- (Ⅱ)函数()3f x x , t =,则26x t =-
∵[]
2,4x ∈,∴22t ≤≤
那么函数()f x 转化为(
)2
2
()36318g t t t t
t =--=+-
其对称轴16
t =-
, ∴在22t ≤≤上()g t 单调递增 ∴(2)()(2)g g t g ≤≤ 即212()4g t -≤≤-
故得()f x 的值域为212,4⎡⎤--⎣⎦.
【点睛】本题主要考查了复合函数的定义域与值域的方法等,包括换元法以及二次函数的最值范围问题等.属于中等题型.
19.已知二次函数()y f x =，当2x =时函数取最小值1-，且()(1)43f f +=． （1）求()f x 的解析式；
（2）若()()g x f x kx =-在区间[1,4]上不单调，求实数k 的
取值范围．
【答案】（1）()2
43f x x x =-+；（2）24k -<<
【解析】 试题分析：
解题思路：（1）根据题意，设出二次函数的顶点式方程()2
()21f x a x =--，再利用
()(1)43f f +=求值；
（2）利用二次函数对称轴与区间[1,4]的关系进行求解.
规律总结：已知函数类型（一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等），求解析式一般利用待定系数法，特别要注意的是二次函数的解析式的三种形式（一般式、顶点式、两根式），要根据题意合理选择. 试题解析：（1） 由条件， 设()2
()21f x a x =--； 又()(1)43f f +=， 则1a = 所以()2
43f x x x =-+
（2）当[1,4]x ∈时，由题意，2()(4)3g x x k x =-++，因其在区间[1,4]上不单调， 则有4142
k +<<，解得24k -<<. 考点：1.二次函数的解析式；2.二次函数的单调性.
20.已知集合{}121P x a x a =+≤≤+，{}2310Q x x x =-≤.
（1）若3a =，求()R P Q I ð；
（2）若P Q ⊆，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）{}24x x -≤<；（2）(],2-∞.
【解析】
试题分析：（1）由3a =，先求出集合P 和Q ，然后再求()R C P Q I ；（2）由P Q ⊆，得12215211a a a a +≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩
，由此能够求出实数a 的取值范围.
试题解析：（1）因为3a =， 所以{}
47P x x =≤≤， {R 4P x x =<ð或}7x >, 又{}2310Q x x x =-≤ {}25x x =-≤≤，
所以(){}
R 24P Q x x ⋂=-≤<ð.
（2）若P Q ≠，由P Q ⊆， 得12,215,21 1.a a a a +≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥+⎩
当P =∅，即211a a +<+时，0a <，此时有P Q =∅⊆，
综上，实数a 的取值范围是：(]
,2-∞. 21.已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.
(1)确定函数()f x 的解析式；
(2)用定义证明函数()f x 在区间()1,1-上是增函数；
(3)解不等式()()10f t f t -+<.
【答案】（1）2()(11)1x f x x x =
-<<+；（2）详见解析；（3）1(0,)2. 【解析】
【分析】
（1）由奇函数得(0)0f =，求得b ，再由已知，得到方程，解出a ，即可得到解析式； （2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式(1)()0f t f t -+<即为(1)()()f t f t f t -<-=-， 得到不等式组，解出即可．
【详解】（1）解：函数2
()1ax b f x x +=
+是定义在(1,1)-上的奇函数， 则(0)0f =，即有0b =， 且12()25f =，则1221514
a =+，解得，1a =， 则函数()f x 的解析式：2()(11)1x f x x x
=-<<+；满足奇函数 （2）证明：设11m n -<<<，则22()()11m n f m f n m n -=
-++ 22()(1)(1)(1)
m n mn m n --=++，由于11m n -<<<，则0m n -<，1mn <，即10mn ->， 22(1)(1)0m n ++>，则有()()0f m f n -<，
则()f x 在(1,1)-上是增函数；
（3）解：由于奇函数()f x 在(1,1)-上是增函数，
则不等式(1)()0f t f t -+<即为(1)()()f t f t f t -<-=-，
即有111111t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，解得021112t t t ⎧⎪<<⎪-<<⎨⎪⎪<⎩，
则有102
t <<
， 即解集为1(0,)2． 【点睛】本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．
22.设函数()f x 对于任意,,x y R ∈都有()()(),f x y f x f y +=+且0x >时
()0,f x <(1)2f =-．
（1）求(0)f ； （2）证明：()f x 是奇函数；
（3）试问在[3,3]x ∈-时()f x 是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由．
【答案】（1）0，（2）证明过程见解析，（3）
． 【解析】
试题分析：解决抽象函数问题常用的一种方法是赋值法，（1）令x=y=0，可求(0)f 得值，（2）令x=-y ，
再结合奇函数的定义知()f x 是奇函数，（3）根据减函数的定义，在结合奇函数的定义可证明数
单调递减，故在[3,3]x ∈-有最大值和最小值，再由赋值法去求的值．
试题解析：（1）令x=y=0，
． 3分 （2）令x=-y ，即得
，又， 则
，所以()f x 是奇函数． 7分 （3）
R 上任取，则， 则，
即，所以函数单调递减，
x∈-有最大值和最小值，
从而在[3,3]
12分．考点：（1）赋值法，（2）减函数的定义，（3）奇函数的定义．。