北京市海淀区高三下学期期末练习(二模)数学(理)试题(解析版)

第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.sin(150)-o 的值为（）
A ．12
-
B ．1
2C ．3-D ．3
2.已知命题:p “0a ∀>，有e 1a
≥成立”，则p ⌝为（） A.0a ∃≤，有e 1a
≤成立B.0a ∃≤，有e 1a
≥成立 C.0a ∃>，有e 1a
<成立D.0a ∃>，有e 1a
≤成立
3.执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入的x 应为（） A.-2B.16C.-2或8D.-2或16
4.在极坐标系中，圆θρsin 2=的圆心到极轴的距离为（） A ．1232
5.已知(,)P x y 是不等式组10,30,0x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域内的一点，(1,2)A ，O 为坐标原点，则OA OP ⋅u u u r u u u r 的
最大值（） A.2B.3C.5D.6 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意可知，2OP OA x y ⋅=+u u u r u u u r ，作出不等式组10,30,0x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域，即可行域，由
可行域可知，在点()0,3处取得最大值，最大值为0236+⨯=．
考点：线性规划．
6.一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径为30m ，
AM =2BP =m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为()h t m ，则()h t =（）
A.ππ30sin(
)30122
t -+ B.ππ
30sin()3062t -+
C.ππ30sin()3262t -+
D.ππ30sin()62
t -
3030sin 30sin 3026
2h t ππ
πθ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
考点：在实际问题中建立三角函数模型．
7.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是（） A.(2,4)B.(,2)-∞ C.(2,)+∞ D.(4,)+∞
8.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有（） A.0条B.1条C.2条D.无数条
【答案】D 【解析】
试题分析：过1A F 上的点作与平面ABCD 的平行平面，分别与线段1D E 与1C F 相交与,M N ，由面面平行的性质可得，MN 平行平面ABCD ，而这样的平面可以做无数个，故与平面ABCD 平行的直线MN 有无数条．
考点：线面平行的判断．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.满足不等式20x x -<的x 的取值范围是________.
10.已知双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率为________.
11.已知5
(1)ax +的展开式中3
x 的系数是10，则实数a 的值是
12.已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为______.
13.已知12,l l 是曲线1
:C y x
=
的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的距离的最大值为_____.
考点：导数几何意义，平行线间距离．
14.已知集合{1,2,3,,100}M =L ，A 是集合M 的非空子集，把集合A 中的各元素之和记作()S A . ①满足()8S A =的集合A 的个数为_____；②()S A 的所有不同取值的个数为_____.{本题第一空3分，第二空2分} 【答案】6，5050 【解析】
试题分析：满足()8S A =的集合A 的有：{}{}{}{}{}{}8,1,7,2,6,3,5,1,3,4,1,2,5共6个；()S A 的所有不同取值有1,2,3,,4,5,,1231005050++++=L L ，故()S A 的所有不同取值的个数为5050． 考点：集合子集．
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
在锐角ABC ∆中，27a A =且21b . （Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）若3a c =，求c 的值.
经检验，由222cos 0227
b c a A bc +-=可得90A >o ，不符合题意，
所以3c =.--------------------13分 考点：解三角形． 16.（本小题满分14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AC AB AA ==，,E F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F //平面AEG . （Ⅰ）求
1
CG CC 的值；
（Ⅱ）求证：1EG A C ⊥；
（Ⅲ）求二面角1A AG E --的余弦值.
【答案】（Ⅰ）
11 2
CG
CC
=；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）二面角
1
A AG E
--的余弦值为
6
-.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求
1
CG
CC
的值，关键是找G在
1
CC的位置，注意到
1
//
C F平面AEG，有线面平行的性质，
又
1
C F⊂平面
11
ACC A，平面
11
ACC A I平面AEG AG
=，
所以
1
//
C F AG.---------------------------------3分
因为F为1
AA中点，且侧面
11
ACC A为平行四边形
所以G为1
CC中点，所以
1
1
2
CG
CC
=.------------------------4分
（Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则
0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u
r 即0,
20.x y x z +=⎧⎨+=⎩
--------------------------10分 令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n .--------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分 所以6
cos ,||||⋅<>=
=⋅n m n m n m 分 由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --的余弦值为6
.--------------------------------14分 考点：线面平行的性质，线线垂直的判断，二面角的求法．
17.（本小题满分13分）
某单位有车牌尾号为2的汽车A 和尾号为6的汽车B ，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A 车日出车频率0.6，B 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：
现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A ，B 两车出车相互独立. (Ⅰ)求该单位在星期一恰好出车一台的概率；
(Ⅱ)设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X 的分布列及其数学期望E (X
).
所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+
0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯--------------------------4分
0.5=
车尾号 0和5
1和6
2和7
3和8
4和9
限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
--------------11分
()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分
考点：独立事件的概率，互斥事件的概率，分布列期望． 18.（本小题满分13分）
已知函数()()sin cos ,(0,)f x x a x x x π=-+∈.
（Ⅰ）当π
2a =
时，求函数()f x 值域； （Ⅱ）当π
2
a >时，求函数()f x 的单调区间.
试题解析：（Ⅰ）当π
2a =
时，π()()sin cos ,(0,)2
f x x x x x π=-+∈ π
'()()cos 2
f x x x =---------------------------------1分
①当
π
π2
a <<时，(),'()f x f x 的情况如下 x π(0,)2 π2 π(,)2
a a (,π)a
-------------------------------------------------9分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ，单调减区间为π(0,)2
和(,π)a ②当πa ≥时，(),'()f x f x 的情况如下
------------------------------------------------13分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2，单调减区间为π(0,)2
. 考点：函数的最大最小值，函数的单调区间． 19.（本小题满分14分）
已知椭圆G ，其短轴两端点为(0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为2212
x y +=；
（Ⅱ）点A 不在以线段MN 为直径的圆上． 【解析】
所以椭圆的标准方程为22
121
x y +=.------------------------------------------4分
（Ⅱ）法一：
设00(,),C x y 且00x ≠，则00(,)D x y -.----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -,
由00(,)C x y 在椭圆G ：
2
212
x
y +=上，所以22002(1)x y =-,-------------------11分
所以10AM AN ⋅=-≠u u u u r u u u r
,-----------------------------13分
所以90MAN ∠≠o ,
所以，以线段MN 为直径的圆不过点A .------------------------------14分 法二：因为,C D 关于y 轴对称，且B 在y 轴上
所以CBA DBA ∠=∠.------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上，又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称
所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠,------------------------------------------6分 所以//BC AN ,-------------------------------------------7分
所以180NAC ACB ∠=-∠o ,------------------------------------------8分
所以22(12)40k x kx ++=，所以122
40,21
k
x x k -==
+,-----------------------------6分 所以22222
421
112121
k k y kx k k k --+=+=+=++, 所以222421
(,)2121
k k C k k --+++，----------------------------7分
考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，圆的性质． 20.（本小题满分13分）
对于自然数数组(,,)a b c ，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果(,,)a b c 的极差1d ≥，可实施如下操作f ：若,,a b c 中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若,,a b c 中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为1(,,)f a b c ，其级差为1d .若11d ≥，则继续对1(,,)f a b c 实施操作f ，…，实施n 次操作后的结果记为(,,)n f a b c ，其极差记为n d .例如：
1(1,3,3)(3,2,2)f =，2(1,3,3)(1,3,3)f =.
（Ⅰ）若(,,)(1,3,14)a b c =，求12,d d 和2014d 的值；
（Ⅱ）已知(,,)a b c 的极差为d 且a b c <<，若1,2,3,n =L 时，恒有n d d =，求d 的所有可能取值； （Ⅲ）若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n 满足0n d =. 【答案】（Ⅰ）110d =,27d =,20142d =；（Ⅱ）d 的取值仅能是2；（Ⅲ）详见解析． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由数组的极差的定义，可知，()()11421110d =--+=，这时三数为()2,4,12，第二次操作后，()()2122217d =--+=，这时三数为()3,5,10，第三次操作后，()()3102314d =--+=，，这时三数为()4,6,8，第四次操作后，()()482414d =--+=，这时三数为()5,6,7，第五次操作后，
试题解析：（Ⅰ）110d =,27d =,20142d =---------------------------3分 （Ⅱ）法一：
①当2d =时，则(,,)(,1,2)a b c a a a =++
所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++，122d a a =+-=，
由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以，当2d =时，(1,2,3,)n d d n ==L 恒成立. ②当3d ≥时，则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-
所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.
综上讨论，满足(1,2,3,)n d d n ==L 的d 的取值仅能是2.---------------------8分 法二：
所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时，2n d =（1,2,3,n =L ）
由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以满足(1,2,3,)n d d n ==L 的d 的取值仅能是2.---------------------8分 （Ⅲ）因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项， 所以,,a b c 是形如4k m ⋅（其中*m ∈N ）的数，
依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （,1,,333
c b c b c b
i y ---=
++L ，y ∈N ）中，总满足i i c b =是最大数，i a 是最小数时，一定有32233
a c
b
c b y y +-++<-，解得3b a
y -<
.
所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤，则3i d ≥，1130i i i i c b c b ++-=--≥， 所以111i i i a b c +++≤≤
所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分
-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------
信达。