刚度矩阵与边界条件

引入位移边界条件和整体刚度矩阵的修正
在上节讨论中已经指出，有限元求解方程的系数矩阵具有奇异性，必须引入适当的位移约束条件，以消除这种奇异性，亦即消除弹性体的刚体位移。

消除了整体刚度矩阵的奇异性后，才能从方程组（32）求解结点位移。

在一般情况下，所考虑问题的边界往往已有一定的约束条件，排除了刚体运动的可能性。

否则，可适当指定某些结点的位移值，以避免计算机存储作大的更动。

下面就介绍两种比较简单的引入已知结点位移的方法。

1、对角元素改l法
这种方法是把结点的指定值置入方程给(32)，保持方程仍是2nX2n阶，而将K
和P修正。

例如，若指定结点i在y方向位移v
i 的值，则令K中的元素K
i,i
为1，
而第i行和i列的其余元素都为零。

P中的第i个元素则用位移v的已知值代入，P中的其他各行元素都减去结点位移的指定值和原来K中这行的相应行元素的乘积。

为了说明这一引进结点已知位移的过程，我们来考察下面只有四个方程的简单例子。

方程(32)展开成如下的形式
设这个系统中结点位移u
1和u
2
被指定为
当引用上述方法后，方程(50)就变成
然后，就用这组维数不变的方程来求解所有的结点位移。

显然，其解答为u
1=β
1
、
u 2=β
3
；
v 1、v
2
仍为原方程的解答。

这种方法最适用于给定零位移，此时除将给定的零值位移修改对应的载荷阵元
(如例中令P
x1=0，P
x2
=0)外，其他载荷阵中的元素不必作任何修正。

2、对角元素乘大数法
此法是将K中与指定结点位移有关的主对角元素乘上一个大数，例2xl015，同时将p的
对应元素换上结点位移指定值与同一个大数的乘积。

实际上，这种方法就是使得K中相应行的修正项远大于非修正项。

若用此方法来修正上面的例子，则方程(50)将成为
为了看出此方程能给出所需的结果，我们来考虑这方程第一个方程
从实用的观点来看，这方程就与下式相同
以上两种方法都保持了原来K矩阵的稀疏、带状和对称等特性。

要注意的是以上所述适用于引入坐标方向位移，若给定位移在非坐标方向，如支座等，则需要进行坐标转换后才能实施，这里不再细述。