广东省六校联考(广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中)2023届高三第六次联考
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两点， l2 交圆 F1 于 P ， Q 两点，求VPQM 与VPQN 的面积之和的取值范围.
22．已知函数 f x a x 1
x
(1)当 a 1时，证明： f x lnx ；
(2)已知
x 1 lnx
lnx
f x
在
x
1,
上恒成立，求
a
的取值范围.
试卷第 5 页，共 5 页
0,
1 3
,
2 3
,1
分
别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上
一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.
操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各
区间长度之和不小于 99 ，则需要操作的次数 n 的最小值为______.（参考数据： 100
A．
B． 1
C．
D．
3．设函数 f x a 1 x x b 1 为奇函数且在 R 上为减函数，则关于 a,b 的值表述正
确的是（ ）
A． a 1,b 1
B． a 1,b 1
C． a 1,b 1
D． a 1,b 1
4．我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心
lg2 0.3010,lg3 0.4771）
16．已知函数 f x x2 ax a ex x2, a R ，若函数 f x 在 x 0 处取得极小值，则
a 的取值范围为______.
四、解答题
17．已知函数 f x 1 2
2cosx
sin
x
π 4
,
f
A 2
π 8
2. 3
A．1
B．2
C．-1
D．-2
7．已知四棱锥 S ABCD, SA 平面 ABCD, AD DC, SA 3 3, BC 4 ，二面角
S BC A 的大小为 π .若点 S, A, B,C, D 均在球 O 的表面上，则该球 O 的表面积为（ ） 3
A． 152π 3
B． 52π
C． 160π 3
为椭圆 C 上一点，则下列结论正确的是（ ） A． 1 m 1
2
试卷第 2 页，共 5 页
B． C 的离心率为 1 m
C．存在 m ，使得 F1PF2 90 D．△F1PF2 面积的最大值为 2
4 11．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M ，N 分别是 AB, AD 的中点，P
为线段 C1D1 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．存在点 P ，使得 PM 与 BC1 异面
B．不存在点 P ，使得 MN NP C．直线 NP 与平面 ABCD 所成角的正切值的最小值为 2 5
5
D．过 M , N, P 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为 3 3 4
12．已知函数 f x ex1 lnx ，则过点 a,b(a 0) 恰能作曲线 y f x 的两条切线的
9．如图是函数 f x 的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
f
x
2sin
2x
π 4B．f Nhomakorabeax
2sin
3π 4
2x
C．
f
x
2cos
2x
3π 4
D．
f
x
2cos
π 4
2x
10．已知椭圆 C : x2 y2 1的焦点在 x 轴上，且 F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点，P m 1m
充分条件可以是（ ） A． b 2a 11
B． b 2a 1 1
C． f a 2a 1 1
D． 2a 1 f a 1
三、填空题
13．已知
2
x
1 x
n
的二项式系数的和为
64，则其展开式的常数项为______.（用数字
作答）
14．已知圆 O : x2 y2 4 ，过点 M 3, 3 的直线 l 交圆 O 于 A, B 两点，且 MA AB ，
D． 54π
8．某人从上一层到二层需跨 10 级台阶，他一步可能跨 1 级台阶，称为一阶步，也可能
跨 2 级台阶，称为二阶步，最多能跨 3 级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨
了 6 步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（ ）种.
A．10
B．9
C．8
D．12
二、多选题
满足
Tn
k,
k
1
？若存在求
k
，否则
说明理由.
19．如图，在四棱锥 P ABCD 中， BD PC ，四边形 ABCD 是菱形， ABC 60 ，
AB PA 1， PB 2 ， E 是棱 PD 上的中点.
(1)求三棱锥 C BDE 的体积；
(2)求平面 PAB 与平面 ACE 夹角的余弦值.
20．某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞
猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次
的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人
都参加了该项闯关活动.
试卷第 4 页，共 5 页
(1)若甲第一关通过的概率为 2 ，第二关通过的概率为 5 ，求甲可以进入第三关的概率；
A． 2,0
B． 2, 0
C． 2, 0 4
D． 2,0 4
2．棣莫弗公式 (cos x isin x)n cos nx isin nx（ i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667
－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数 cos 2π i sin 2π ，则4 的值是
3
3
（）
3
6
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为 450 分，现要根据得分给共 2500
名参加者中得分前 400 名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为 171 分，351 分以上共有 57 人，已知甲的得分为 270 分，
问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为 430 分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为 201 分，351 分
广东省六校联考（广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一 中、深圳实验、惠州一中）2023 届高三第六次联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知全集U R ，集合 A {x x 4 或 x 0}， B {x x 4 或 x ? 2}，则图中阴影部 分表示的集合为（ ）
有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密，碗内口沿
饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该
元青花团菊花纹小盏口径 8.3 厘米，底径 2.8 厘米，高 4 厘米，它的形状可近似看作圆
台，则其侧面积约为（ ）（单位：平方厘米）
A．18
B． 20
以上共有 57 人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量 Z N , 2 ，则 P X 0.6827 ；
P 2 X 2 0.9545 ； P 3 X 3 0.9973 .
21．已知圆 F1 ： x2 y2 4x 0 ，圆 F2 ： x2 y2 4x 12 0 ，一动圆与圆 F1 和圆 F2 同 时内切. (1)求动圆圆心 M 的轨迹方程； (2)设点 M 的轨迹为曲线 C ，两互相垂直的直线 l1 ，l2 相交于点 F2 ，l1 交曲线 C 于 M ，N
C． 27
试卷第 1 页，共 5 页
D． 34
uuur
5．将向量OP
2,
2
绕坐标原点 O
顺时针旋转
75
uuur 得到 OP1
，则
uuur OP
uuur OP1
（
）
A． 6 2 2
C． 6 2
B． 6 2 D． 6 2
2
6．化简 tan70cos10( 3 tan 20 1) 的值为
请写出一条满足上述条件的直线 l 的方程______. 15．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学
理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1 均分为三
试卷第 3 页，共 5 页
段，去掉中间的区间段
1 3
,
2 3
，记为第一次操作；再将剩下的两个区间
(1)求 cosA ；
(2)若 VABC 的面积为10 2 且 sinB sinC 2 2 ，求 VABC 的周长.
18．记 Sn 为数列an 的前 n 项和，已知 Sn, 2n 的等差中项为 an .
(1)求证an 2 为等比数列；
(2)数列
an
1
3
的前
n
项和为
Tn
，是否存在整数
k
22．已知函数 f x a x 1
x
(1)当 a 1时，证明： f x lnx ；
(2)已知
x 1 lnx
lnx
f x
在
x
1,
上恒成立，求
a
的取值范围.
试卷第 5 页，共 5 页
0,
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,
2 3
,1
分
别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上
一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.
操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各
区间长度之和不小于 99 ，则需要操作的次数 n 的最小值为______.（参考数据： 100
A．
B． 1
C．
D．
3．设函数 f x a 1 x x b 1 为奇函数且在 R 上为减函数，则关于 a,b 的值表述正
确的是（ ）
A． a 1,b 1
B． a 1,b 1
C． a 1,b 1
D． a 1,b 1
4．我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心
lg2 0.3010,lg3 0.4771）
16．已知函数 f x x2 ax a ex x2, a R ，若函数 f x 在 x 0 处取得极小值，则
a 的取值范围为______.
四、解答题
17．已知函数 f x 1 2
2cosx
sin
x
π 4
,
f
A 2
π 8
2. 3
A．1
B．2
C．-1
D．-2
7．已知四棱锥 S ABCD, SA 平面 ABCD, AD DC, SA 3 3, BC 4 ，二面角
S BC A 的大小为 π .若点 S, A, B,C, D 均在球 O 的表面上，则该球 O 的表面积为（ ） 3
A． 152π 3
B． 52π
C． 160π 3
为椭圆 C 上一点，则下列结论正确的是（ ） A． 1 m 1
2
试卷第 2 页，共 5 页
B． C 的离心率为 1 m
C．存在 m ，使得 F1PF2 90 D．△F1PF2 面积的最大值为 2
4 11．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M ，N 分别是 AB, AD 的中点，P
为线段 C1D1 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．存在点 P ，使得 PM 与 BC1 异面
B．不存在点 P ，使得 MN NP C．直线 NP 与平面 ABCD 所成角的正切值的最小值为 2 5
5
D．过 M , N, P 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为 3 3 4
12．已知函数 f x ex1 lnx ，则过点 a,b(a 0) 恰能作曲线 y f x 的两条切线的
9．如图是函数 f x 的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
f
x
2sin
2x
π 4B．f Nhomakorabeax
2sin
3π 4
2x
C．
f
x
2cos
2x
3π 4
D．
f
x
2cos
π 4
2x
10．已知椭圆 C : x2 y2 1的焦点在 x 轴上，且 F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点，P m 1m
充分条件可以是（ ） A． b 2a 11
B． b 2a 1 1
C． f a 2a 1 1
D． 2a 1 f a 1
三、填空题
13．已知
2
x
1 x
n
的二项式系数的和为
64，则其展开式的常数项为______.（用数字
作答）
14．已知圆 O : x2 y2 4 ，过点 M 3, 3 的直线 l 交圆 O 于 A, B 两点，且 MA AB ，
D． 54π
8．某人从上一层到二层需跨 10 级台阶，他一步可能跨 1 级台阶，称为一阶步，也可能
跨 2 级台阶，称为二阶步，最多能跨 3 级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨
了 6 步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（ ）种.
A．10
B．9
C．8
D．12
二、多选题
满足
Tn
k,
k
1
？若存在求
k
，否则
说明理由.
19．如图，在四棱锥 P ABCD 中， BD PC ，四边形 ABCD 是菱形， ABC 60 ，
AB PA 1， PB 2 ， E 是棱 PD 上的中点.
(1)求三棱锥 C BDE 的体积；
(2)求平面 PAB 与平面 ACE 夹角的余弦值.
20．某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞
猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次
的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人
都参加了该项闯关活动.
试卷第 4 页，共 5 页
(1)若甲第一关通过的概率为 2 ，第二关通过的概率为 5 ，求甲可以进入第三关的概率；
A． 2,0
B． 2, 0
C． 2, 0 4
D． 2,0 4
2．棣莫弗公式 (cos x isin x)n cos nx isin nx（ i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667
－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数 cos 2π i sin 2π ，则4 的值是
3
3
（）
3
6
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为 450 分，现要根据得分给共 2500
名参加者中得分前 400 名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为 171 分，351 分以上共有 57 人，已知甲的得分为 270 分，
问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为 430 分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为 201 分，351 分
广东省六校联考（广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一 中、深圳实验、惠州一中）2023 届高三第六次联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知全集U R ，集合 A {x x 4 或 x 0}， B {x x 4 或 x ? 2}，则图中阴影部 分表示的集合为（ ）
有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密，碗内口沿
饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该
元青花团菊花纹小盏口径 8.3 厘米，底径 2.8 厘米，高 4 厘米，它的形状可近似看作圆
台，则其侧面积约为（ ）（单位：平方厘米）
A．18
B． 20
以上共有 57 人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量 Z N , 2 ，则 P X 0.6827 ；
P 2 X 2 0.9545 ； P 3 X 3 0.9973 .
21．已知圆 F1 ： x2 y2 4x 0 ，圆 F2 ： x2 y2 4x 12 0 ，一动圆与圆 F1 和圆 F2 同 时内切. (1)求动圆圆心 M 的轨迹方程； (2)设点 M 的轨迹为曲线 C ，两互相垂直的直线 l1 ，l2 相交于点 F2 ，l1 交曲线 C 于 M ，N
C． 27
试卷第 1 页，共 5 页
D． 34
uuur
5．将向量OP
2,
2
绕坐标原点 O
顺时针旋转
75
uuur 得到 OP1
，则
uuur OP
uuur OP1
（
）
A． 6 2 2
C． 6 2
B． 6 2 D． 6 2
2
6．化简 tan70cos10( 3 tan 20 1) 的值为
请写出一条满足上述条件的直线 l 的方程______. 15．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学
理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1 均分为三
试卷第 3 页，共 5 页
段，去掉中间的区间段
1 3
,
2 3
，记为第一次操作；再将剩下的两个区间
(1)求 cosA ；
(2)若 VABC 的面积为10 2 且 sinB sinC 2 2 ，求 VABC 的周长.
18．记 Sn 为数列an 的前 n 项和，已知 Sn, 2n 的等差中项为 an .
(1)求证an 2 为等比数列；
(2)数列
an
1
3
的前
n
项和为
Tn
，是否存在整数
k