湖南省娄底市2019-2020学年中考数学模拟试题(5)含解析

湖南省娄底市2019-2020学年中考数学模拟试题（5）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．2-的相反数是（）
A．2-B．2 C．1
2
D．
1
2
-
2．如图，矩形OABC有两边在坐标轴上，点D、E分别为AB、BC的中点，反比例函数y＝k
x
（x＜0）
的图象经过点D、E．若△BDE的面积为1，则k的值是（）
A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8
3．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是()
A．小丽从家到达公园共用时间20分钟B．公园离小丽家的距离为2000米
C．小丽在便利店时间为15分钟D．便利店离小丽家的距离为1000米
4．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）
A．10001000
30
x x
-
+
=2 B．
10001000
30
x x
-
+
=2
C．10001000
30
x x
-
-
=2 D．
10001000
30
x x
-
-
=2
5．下列命题中错误的有（）个
（1）等腰三角形的两个底角相等
（2）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（3）对角线相等的四边形为矩形
（4）圆的切线垂直于半径
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A ．22990x x --=化为()2 1100x -=
B ．2890x x ++=化为()2
425x += C ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．23420x x --=化为2
21039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 7．2017年牡丹区政府工作报告指出：2012年以来牡丹区经济社会发展取得显著成就，综合实力明显提升，地区生产总值由156.3亿元增加到338亿元，年均可比增长11.4%，338亿用科学记数法表示为（ ） A ．3.38×107 B ．33.8×109 C ．0.338×109 D ．3.38×1010
8．济南市某天的气温：-5~8℃，则当天最高与最低的温差为（ ）
A ．13
B ．3
C ．-13
D ．-3
9．如图所示几何体的主视图是( ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件不能判定直线a 与b 平行的是（ ）
A ．∠1=∠3
B ．∠2+∠4=180°
C ．∠1=∠4
D ．∠3=∠4
11．一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，1，85，1．关于这组数据说法错误的是（ ）
A ．极差是20
B ．中位数是91
C ．众数是1
D ．平均数是91
12．－10－4的结果是（ ）
A ．－7
B ．7
C ．－14
D ．13
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发，设运动时间为ts ，当t ＝__________时，△CPQ 与△CBA 相似．
14．关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx+k 2﹣k=0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=4，则x 12﹣x 1x 2+x 22的值是_____．
15．如图，在边长为3的菱形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 为BE 延长线与AD 延长线的交点．若DE=1，则DF 的长为________．
16．若分式的值为0，则a 的值是 ．
17．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为（a ，a ）．如图，若曲线3(0)y x x
=> 与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是________．
18．对于实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b=a 2﹣ab ，例如，5※3=52﹣5×3=1．若（x+1）※（x ﹣2）=6，则x 的值为_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，与反比例函数()0m y m x
=≠的图象交于C 、D 两点.已知点C 的坐标是（6，-1），D （n ，3）.求m 的值和点D 的坐标.求tan BAO ∠的值.根据图象直接写出：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
点” .乙得到结论②：“四边形QEFP的面积为5
24
S”。

请判断甲乙两位同学的结论是否正确，并说明理由.
21．（6分）如图，抛物线l：y=（x﹣h）2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将抛物线ι在x轴下方部分沿轴翻折，x轴上方的图象保持不变，就组成了函数ƒ的图象．
（1）若点A的坐标为（1，0）．
①求抛物线l的表达式，并直接写出当x为何值时，函数ƒ的值y随x的增大而增大；
②如图2，若过A点的直线交函数ƒ的图象于另外两点P，Q，且S△ABQ=2S△ABP，求点P的坐标；（2）当2＜x＜3时，若函数f的值随x的增大而增大，直接写出h的取值范
围．
22．（8分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC．(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.5，3≈1.73)
23．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,求证：AC•CD=CP•BP；若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
25．（10分）十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措. 二孩政策出台后，某家庭积极响应政府号召，准备生育两个小孩(假设生男生女机会均等，且与顺序无关)．
(1)该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好都是女孩的概率；
(2)该家庭生育两胎，假设第一胎生育一个小孩，且第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中恰好是2女1男的概率．
26．（12分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，M，N均在格点上，P为线段MN
上的一个动点
（1）MN的长等于_______，
（2）当点P在线段MN上运动，且使PA2＋PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P的位置，并简要说明你是怎么画的，（不要求证明）
27．（12分）已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，
（1）如图1，求证：PQ＝PE；
（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝，求∠C
（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝63，连接QC交BC于点M，求QM的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
【分析】
根据相反数的性质可得结果.
【详解】
因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，
故选B．
【点睛】
本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.
2．B
【解析】
【分析】
根据反比例函数的图象和性质结合矩形和三角形面积解答.
【详解】
22ABE BDE BD AD
S S =∴==V V Q
∵四边形AHEB ，四边形ECOH 都是矩形，BE ＝EC ，
∴ABEH ECOH S S 矩形矩形＝＝24ABE S ∆=
||4,
04
k k k ∴=<∴=-Q
故选B ．
【点睛】
此题重点考查学生对反比例函数图象和性质的理解，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键. 3．C
【解析】
解：A ．小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；
B ．公园离小丽家的距离为2000米，正确；
C ．小丽在便利店时间为15﹣10=5分钟，错误；
D ．便利店离小丽家的距离为1000米，正确．
故选C ．
4．A
【解析】
分析：设原计划每天施工x 米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．
详解：设原计划每天施工x 米，则实际每天施工（x+30）米， 根据题意，可列方程：
1000100030
x x -+=2， 故选A ．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 5．D
【解析】分析：根据等腰三角形的性质、正方形的判定定理、矩形的判定定理、切线的性质、垂径定理判断即可．
详解：等腰三角形的两个底角相等，（1）正确；
对角线相等、互相平分且互相垂直的四边形是正方形，（2）错误；
对角线相等的平行四边形为矩形，（3）错误；
圆的切线垂直于过切点的半径，（4）错误；
故选D ．
点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．B
【解析】
【分析】
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】
解：A 、22990x x --=Q ，2299x x ∴-=，221991x x ∴-+=+，2
(1)100x ∴-=，故A 选项正确．
B 、2890x x ++=Q ，289x x ∴+=-，2816916x x ∴++=-+，2(4)7x ∴+=，故B 选项错误．
C 、22740t t --=Q ，2274t t ∴-=，2722t t ∴-=，274949221616t t ∴-+=+，2781()416
t ∴-=，故C 选项正确．
D 、23420x x --=Q ，2342x x ∴-=，
24233x x ∴-=，244243939x x ∴-+=+，2210()39
x ∴-=．故D 选项正确．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．D
【解析】
【分析】
根据科学记数法的定义可得到答案．
【详解】
338亿=33800000000=103.3810⨯，
故选D.
【点睛】
把一个大于10或者小于1的数表示为10n a ⨯的形式,其中1≤|a|<10,这种记数法叫做科学记数法.
由题意可知，当天最高温与最低温的温差为8-（-5）=13℃，故选A.
9．C
【解析】
【分析】
从正面看几何体，确定出主视图即可．
【详解】
解：几何体的主视图为
故选C．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图．
10．D
【解析】
试题分析：A．∵∠1=∠3，∴a∥b，故A正确；
B．∵∠2+∠4=180°，∠2+∠1=180°，∴∠1=∠4，∵∠4=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b，故B正确；C．∵∠1=∠4，∠4=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b，故C正确；
D．∠3和∠4是对顶角，不能判断a与b是否平行，故D错误．
故选D．
考点：平行线的判定．
11．D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：因为极差为：1﹣78=20,所以A选项正确;
从小到大排列为：78,85,91,1,1，中位数为91，所以B选项正确；
因为1出现了两次,最多,所以众数是1，所以C选项正确；
因为
9178988598
90
5
x
++++
==，所以D选项错误.
故选D．
考点：①众数②中位数③平均数④极差.
解：－10－4=－1．故选C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．4.8或64 11
【解析】
【分析】
根据题意可分两种情况，①当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质分别求出时间t即可.
【详解】
①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以CP
CB
＝
CQ
CA
，
即162
16
t
-
＝
12
t
，
解得t＝4.8；
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以CP
CA
＝
CQ
CB
，
即162
12
t
-
＝
16
t
，
解得t＝64 11
.
综上所述，当t＝4.8或64
11
时，△CPQ与△CBA相似．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.
14．1
【解析】
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1•x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值．
【详解】∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，
∵x12+x22=1，
∴（x1+x2）2-2x1x2=1，
（2k）2﹣2（k2﹣k）=1，
2
k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k）2﹣1×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1•x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=1﹣0=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．
15．1.1
【解析】
【分析】
求出EC，根据菱形的性质得出AD∥BC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【详解】
∵DE=1，DC=3，
∴EC=3-1=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴DF DE BC CE
=，
∴
1 3
2 DF
=，
∴DF=1.1，
故答案为1.1．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据菱形的性质证明△DEF∽△CEB，然后根据相似三角形的性质可求解.
16．1．
【解析】
试题分析：根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．
试题解析：∵分式的值为0，
∴
，
解得a=1． 考点：分式的值为零的条件．
1733【解析】
【分析】
根据题意得出C 点的坐标（a-1，a-1），然后分别把A 、C 的坐标代入求得a 的值，即可求得a 的取值范围．
【详解】
解:反比例函数经过点A 和点C ．
当反比例函数经过点A 时，即2a =3，
解得：a=±3；
当反比例函数经过点C 时，即2(1)a =3，
解得：a=1±3， 33
故答案为:
33． 【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数y=
k x
（k 为常数，k≠0）的图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．
18．2
【解析】
【分析】
根据新定义运算对式子进行变形得到关于x 的方程，解方程即可得解.
【详解】
由题意得，（x+2）2﹣（x+2）（x ﹣2）=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=2，
故答案为2．
【点睛】
本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）m=-6，点D 的坐标为（-2,3）；（2）1tan BAO 2∠=
；（3）当2x <-或06x <<时，一次函数的值大于反比例函数的值.
【解析】
【分析】
（1）将点C 的坐标（6，-1）代入m y x
=
即可求出m ，再把D （n ，3）代入反比例函数解析式求出n 即可.
（2）根据C （6，-1）、D （-2,3）得出直线CD 的解析式，再求出直线CD 与x 轴和y 轴的交点即可，得出OA 、OB 的长，再根据锐角三角函数的定义即可求得；
（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．
【详解】 ⑴把C （6，-1）代入m y x
=
，得()m 616=⨯-=-. 则反比例函数的解析式为6y x
=-， 把y 3=代入6y x =-，得x 2=-， ∴点D 的坐标为（-2,3）.
⑵将C （6，-1）、D （-2,3）代入y kx b =+，得
6123k b k b +=-⎧⎨-+=⎩，解得122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ∴一次函数的解析式为1y x 22
=-+， ∴点B 的坐标为（0,2），点A 的坐标为（4,0）.
∴OA 4OB 2==，，
在在Rt ΔABO 中， ∴OB 21tan BAO OA 42
∠===. ⑶根据函数图象可知，当x 2<-或0x 6<<时，一次函数的值大于反比例函数的值
【点睛】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．其知识点有解直角三角形，待定系数法求解析式，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
20．①结论一正确，理由见解析；②结论二正确，S 四QEFP =
524
S 【解析】
试题分析：
（1）由已知条件易得△BEQ∽△DAQ，结合点Q是BD的三等分点可得BE：AD=BQ：DQ=1：2，再结合AD=BC即可得到BE：BC=1：2，从而可得点E是BC的中点，由此即可说明甲同学的结论①成立；
（2）同（1）易证点F是CD的中点，由此可得EF∥BD，EF=1
2
BD，从而可得△CEF∽△CBD，则可
得得到S△CEF=1
4
S△CBD=
1
8
S平行四边形ABCD=
1
8
S，结合S四边形AECF=
1
2
S可得S△AEF=
3
8
S，由QP=
1
3
BD，
EF=1
2
BD可得QP：EF=2：3，结合△AQP∽△AEF可得S△AQP=
4
9
S△AEF=
1
6
S，由此可得S四边形QEFP= S△AEF-
S△AQP=5
24
S，从而说明乙的结论②正确；
试题解析：
甲和乙的结论都成立，理由如下：
（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴△BEQ∽△DAQ，
又∵点P、Q是线段BD的三等分点，
∴BE：AD=BQ：DQ=1：2，
∵AD=BC，
∴BE：BC=1：2，
∴点E是BC的中点，即结论①正确；（2）和（1）同理可得点F是CD的中点，
∴EF∥BD，EF=1
2 BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴S△CEF=1
4
S△CBD=
1
8
S平行四边形ABCD=
1
8
S，
∵S四边形AECF=S△ACE+S△ACF=1
2
S平行四边形ABCD=
1
2
S，
∴S△AEF=S四边形AECF-S△CEF=3
8 S，
∵EF∥BD，
∴△AQP∽△AEF，
又∵EF=1
2
BD，PQ=
1
3
BD，
∴QP：EF=2：3，
∴S△AQP=4
9
S△AEF=
1
6
S，
∴S四边形QEFP= S△AEF- S△AQP=3
8
S-
1
6
S=
5
24
S，即结论②正确.
综上所述，甲、乙两位同学的结论都正确.
21．（1）①当1＜x＜3或x＞5时，函数ƒ的值y随x的增大而增大，②P（，）；（2）当3≤h≤4或
h≤0时，函数f的值随x的增大而增大.
【解析】
试题分析：（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点B的坐标，根据图象写出函数ƒ的值y随x的增大而增大（即呈上升趋势）的x的取值；
②如图2，作辅助线，构建对称点F和直角角三角形AQE，根据S△ABQ=2S△ABP，得QE=2PD，证明
△PAD∽△QAE，则，得AE=2AD，设AD=a，根据QE=2FD列方程可求得a的值，并计算P 的坐标；
（2）先令y=0求抛物线与x轴的两个交点坐标，根据图象中呈上升趋势的部分，有两部分：分别讨论，并列不等式或不等式组可得h的取值．
试题解析：（1）①把A（1，0）代入抛物线y=（x﹣h）2﹣2中得：
（x﹣h）2﹣2=0，解得：h=3或h=﹣1，
∵点A在点B的左侧，∴h＞0，∴h=3，
∴抛物线l的表达式为：y=（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线的对称轴是：直线x=3，
由对称性得：B（5，0），
由图象可知：当1＜x＜3或x＞5时，函数ƒ的值y随x的增大而增大；
②如图2，作PD⊥x轴于点D，延长PD交抛物线l于点F，作QE⊥x轴于E，则PD∥QE，
由对称性得：DF=PD，
∵S△ABQ=2S△ABP，∴AB•QE=2×AB•PD，∴QE=2PD，
∵PD∥QE，∴△PAD∽△QAE，∴，∴AE=2AD，
设AD=a，则OD=1+a，OE=1+2a，P（1+a，﹣[（1+a﹣3）2﹣2]），
∵点F、Q在抛物线l上，
∴PD=DF=﹣[（1+a﹣3）2﹣2]，QE=（1+2a﹣3）2﹣2，
∴（1+2a﹣3）2﹣2=﹣2[（1+a﹣3）2﹣2]，
解得：a=或a=0（舍），∴P（，）；
（2）当y=0时，（x﹣h）2﹣2=0，
解得：x=h+2或h﹣2，
∵点A在点B的左侧，且h＞0，∴A（h﹣2，0），B（h+2，0），
如图3，作抛物线的对称轴交抛物线于点C，
分两种情况：
①由图象可知：图象f在AC段时，函数f的值随x的增大而增大，
则，∴3≤h≤4，
②由图象可知：图象f点B的右侧时，函数f的值随x的增大而增大，
即：h+2≤2，h≤0，
综上所述，当3≤h≤4或h≤0时，函数f的值随x的增大而增大．
考点：待定系数法求二次函数的解析式；二次函数的增减性问题、三角形相似的性质和判定；一元二次方程；一元一次不等式组.
22．工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米.
【解析】
解：在Rt△BAE中，∠BAE=680，BE=162米，∴（米）．
在Rt△DEC中，∠DGE=600，DE=176.6米，∴
DE
CE102.08
tan DGE3
==≈
∠
（米）．
∴AC CE AE102.0864.8037.2837.3
=-≈-=≈（米）．
∴工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．
在Rt△BAE和Rt△DEC中，应用正切函数分别求出AE和CE的长即可求得AC的长．
23．(1)PM＝PN，PM⊥PN；(2)△PMN是等腰直角三角形，理由详见解析；(3)49
2
．
【解析】【分析】
（1）利用三角形的中位线得出PM＝1
2
CE，PN＝
1
2
BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用
三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝1
2
BD，PN＝
1
2
BD，即可得
出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）方法1、先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．
方法2、先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可．
【详解】
解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝1
2 BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝1
2 CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN，
（2）由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD ＝∠ACE ，BD ＝CE ，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN ＝
12BD ，PM ＝12CE ， ∴PM ＝PN ，
∴△PMN 是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM ∥CE ，
∴∠DPM ＝∠DCE ，
同（1）的方法得，PN ∥BD ，
∴∠PNC ＝∠DBC ，
∵∠DPN ＝∠DCB+∠PNC ＝∠DCB+∠DBC ，
∴∠MPN ＝∠DPM+∠DPN ＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC ＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC ＝∠ACB+∠ABC ，
∵∠BAC ＝90°，
∴∠ACB+∠ABC ＝90°，
∴∠MPN ＝90°，
∴△PMN 是等腰直角三角形，
（3）方法1、如图2，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角三角形，
∴MN 最大时，△PMN 的面积最大，
∴DE ∥BC 且DE 在顶点A 上面，
∴MN 最大＝AM+AN ，
连接AM ，AN ，
在△ADE 中，AD ＝AE ＝4，∠DAE ＝90°，
∴AM ＝，
在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝10，AN ＝，
∴MN 最大＝＝，
∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14
×（）2＝492． 方法2、由（2）知，△PMN 是等腰直角三角形，PM ＝PN ＝
12BD ， ∴PM 最大时，△PMN 面积最大，
∴点D 在BA 的延长线上，
∴BD ＝AB+AD ＝14，
∴PM ＝7，
∴S△PMN最大＝1
2
PM2＝
1
2
×72＝
49
2
【点睛】
本题考查旋转中的三角形,关键在于对三角形的所有知识点熟练掌握.
24．（1）证明见解析；（2）25 3
.
【解析】
（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BP AB
CD CP
=，即AB•CD=CP•BP，由
AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴BP AB CD CP
=，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴BA BP BC BA
=．
∵AB=10，BC=12，
∴10
1210
BP
=，
∴BP=25
3
．
“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．
25．（1）P(两个小孩都是女孩)＝1
4
；（2）P(三个小孩中恰好是2女1男)＝
3
8
.
【解析】
【分析】
（1）画出树状图即可解题,（2）画出树状图即可解题.
【详解】
(1)画树状图如下：
由树状图可知，生育两胎共有4种等可能结果，而这两个小孩恰好都是女孩的有1种可能，
∴P(两个小孩都是女孩)＝1 4 .
(2)画树状图如下：
由树状图可知，生育两胎共有8种等可能结果，其中这三个小孩中恰好是2女1男的有3种结果，
∴P(三个小孩中恰好是2女1男)＝3 8 .
【点睛】
本题考查了画树状图求解概率,中等难度,画出树状图找到所有可能性是解题关键. 26．（134（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点G；连接GR交MN于点P即可得到结果．【详解】
(1)22
3534
MN=+=;
（2）取格点S，T，得点R；取格点E，F，得点G；连接GR交MN于点P
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计作图，轴对称-最短距离问题，正确的作出图形是解题的关键．
27．（1）证明见解析（2）30°
919
【解析】
试题分析：
（1）连接OP，PB，由已知易证∠OBP=∠OPB=∠QBP，从而可得BP平分∠OBQ，结合BQ⊥CP于点Q，PE⊥AB于点E即可由角平分线的性质得到PQ=PE；
（2）如下图2，连接OP，则由已知易得∠CPO=∠PEC=90°，由此可得∠C=∠OPE，设EF=x，则由∠GAB=30°，∠AEF=90°可得3x，在Rt△BEF中，由tan∠BFE=33BE=33x，从而可
得AB=43x，则OP=OA=23x，结合3x可得3x，这样即可得到sin∠OPE=
1
2 OE
OP
，
由此可得∠OPE=30°，则∠C=30°；
（3）如下图3，连接BG，过点O作OK⊥HB于点K，结合BQ⊥CP，∠OPQ=90°，可得四边形POKQ 为矩形．由此可得QK=PO，OK∥CQ从而可得∠KOB=∠C=30°；由已知易证PE=33Rt△EPO 中结合（2）可解得PO=6，由此可得OB=QK=6；在Rt△KOB中可解得KB=3，由此可得QB=9；在△ABG 中由已知条件可得BG=6，∠ABG=60°；过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N，由∠ABG=∠CBQ=60°，可得∠GBN=60°，从而可得解得GN=33BN=3，由此可得QN=12，则在Rt△BGN中可解得QG=319，由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分线，由此可得QM：GM=QB：GB=9：6由此即可求得QM的长了.
试题解析：
（1）如下图1，连接OP，PB，∵CP切⊙O于P，
∴OP⊥CP于点P，
又∵BQ⊥CP于点Q，
∴OP ∥BQ ，
∴∠OPB=∠QBP ，
∵OP=OB ，
∴∠OPB=∠OBP ，
∴∠QBP=∠OBP ，
又∵PE ⊥AB 于点E ，
∴PQ=PE ；
（2）如下图2，连接OP ，∵CP 切⊙O 于P ，
∴90OPC OPQ ∠=∠=︒
∴90C COP ∠+∠=︒
∵PD ⊥AB
∴ 90PEO AEF BEF ∠=∠=∠=︒
∴90EPO COP ∠+∠=︒
∴C EPO ∠=∠
在Rt FEA ∆中,∠GAB=30°
∴设EF=x ，则tan303AE EF x =÷︒=
在Rt FEB ∆中,tan ∠3∴·tan 33BE EF BFE x =∠= ∴43AB AE BE x =+= ∴23AO PO x == ∴3EO AO AE x =-=
∴在Rt ∆PEO 中, 1sin 2
EO EPO PO ∠=
= ∴C EPO ∠=∠=30°；
(3)如下图3，连接BG ，过点O 作OK HB ⊥于K ，又BQ ⊥CP ，
∴90OPQ Q OKQ ∠=∠=∠=︒，
∴四边形POKQ 为矩形，
∴QK=PO,OK//CQ ，
∴C KOB ∠=∠=30°，
∵⊙O 中PD ⊥AB 于E ，3，AB 为⊙O 的直径，
∴PE= 123 根据(2)得30EPO ∠=︒，在Rt ∆EPO 中，cos PE EPO PO ∠=
， ∴cos 33cos306PO PE EPO =÷∠=︒=，
∴OB=QK=PO=6，
∴在Rt KOB ∆中，sin KB KOB OB ∠=
， ∴01sin30632
KB OB =⋅=⨯
=， ∴QB=9，
在△ABG 中，AB 为⊙O 的直径，
∴∠AGB=90°，
∵∠BAG=30°，
∴BG=6，∠ABG=60°， 过点G 作GN ⊥QB 交QB 的延长线于点N ，则∠N=90°，∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°，
∴BN=BQ·cos ∠GBQ=3，GN=BQ·sin ∠GBQ=3
3
∴QN=QB+BN=12，
∴在Rt △QGN 中，2212(33)319+=，
∵∠ABG=∠CBQ=60°，
∴BM 是△BQG 的角平分线，
∴QM ：GM=QB ：GB=9：6，
∴QM=
9919
319
155
⨯=.
点睛：解本题第3小题的要点是：（1）作出如图所示的辅助线，结合已知条件和（2）先求得BQ、BG的长及∠CBQ=∠ABG=60°；（2）再过点G作GN⊥QB并交QB的延长线于点N，解出BN和GN的长，这样即可在Rt△QGN中求得QG的长，最后在△BQG中“由角平分线分线段成比例定理”即可列出比例式求得QM的长了.。