江苏省南京市高三数学上学期期中试题

南京市2017～2018学年度第一学期期中考试
数 学
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1. 已知集合A ＝{2，3，5}，B ＝{x|2≤x≤4}，则A∩B＝________.
2. 若复数z 满足z(1－i )＝2i ，其中i 是虚数单位，则复数z ＝________.
3. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为奇数的概率是________________________________________________________________________.
4. 某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，则该校高三学生共有________人.
5. 下面是一个算法的伪代码．如果输出的y 值是30，那么输入的x 值是________.
6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6的值为________．
7. 若曲线y ＝x ＋1
x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为
________.
8. 已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8
，3π4上的最大值和最小值分别为a ，b ，则a ＋b 的值为________．
9. 已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x ，那么f (6)的值为________.
10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b －c ＝1
4a ，2sin B ＝3sin C ，
则cos A 的值为________.
11. 已知a >b >0，a ＋b ＝1，则
4a －b ＋1
2b
的最小值等于________. 12. 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝10，BC ＝2，M 为边AB 的中点，P 是△ABC 内(包括边界)一点，则AP →·CM →
的最小值是________.
13. 设函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x 3
＋x 2
，x <e ，
a ln x ， x ≥e 的图象上存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点
的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是
______________．(e 为自然对数的底数)
14. 在平面直角坐标系中，已知⊙O 1与⊙O 2交于P (3，2)，Q 两点，两圆半径之积为13
2.
若两圆均与直线l ：y ＝kx 和x 轴相切，则直线l 的方程为________.
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
设向量a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(－1，1)，c ＝(1，1)，其中x ∈[0，π]． (1) 若(a ＋b )∥c ，求实数x 的值；
(2) 若a ·b ＝12，求函数sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值.
16. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 上一点，G 为PO 的中点.
(1) 若PD ∥平面ACE ，求证：E 为PB 的中点；
(2) 若AB ＝2PC ，求证：CG ⊥平面PBD .
如图，把一块边长为30cm的正六边形铁皮剪去阴影部分，制成一个正六棱柱形的无盖容器．设容器的底面边长为x cm，棱柱的高为h cm，容积为V cm3.
(1) 求出V关于x的函数关系式V(x)；
(2) 当容器的底面边长为多大时，无盖容器的容积最大？最大是多少？
已知椭圆C ：x 2a
2＋y 2
＝1(a >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 为椭圆上关于原点对称的
两点，椭圆C 的离心率为e .
(1) 若点A 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2e ，12，求椭圆C 的方程； (2) 记AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上. ①证明AF 1→·AF 2→
为定值； ②设直线AB 的斜率为k ，若k ≥
3
3
，求e 的取值范围.
设函数f (x )＝x 3
－ax ，a ∈R ，g (x )＝x e x
，h (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧f （x ）， f （x ）>g （x ），
g （x ）， f （x ）≤g （x ）(e 为自然
对数的底数)．
(1) 当a >0时，求函数f (x )的极值；
(2) 若函数h (x )的最小值为－1
e ，求实数a 的取值范围；
(3) 当h (x )＝g (x )时，求实数a 的值.
已知函数f (x )＝ax －3，g (x )＝bx －1＋cx －2
(a ，b ，c 是实数)且g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12－g (1)＝f (0)．
(1) 试求b ，c 所满足的关系式；
(2) 若b ＝0，方程f (x )＝g (x )在(0，＋∞)有唯一解，求实数a 的取值范围； (3) 若b ＝1，集合A ＝{x |f (x )>g (x )且g (x )<0}，试求集合A .
南京市2017～2018学年度第一学期期中考试
数学附加题
21. 【限选题】共2小题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
B. 选修42：矩阵与变换 若点A (2，1)在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1a b －1对应变换的作用下得到点B (4，5)，求矩阵M 的逆矩
阵M －1
.
C. 选修44：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝2
2
t ，y ＝2
2
t ＋42
(t 是参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，选取相同的单位长度，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22. (本小题满分10分)
如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4. (1) 求二面角A 1BC 1B 1的正弦值；
(2) 在线段BC 1上是否存在点D ，使得AD⊥A 1B
？若存在，求出
BD
BC 1
的值；若不存在，请说
明理由．
23. (本小题满分10分)
如图，已知正六棱锥PABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积.
(1) 求概率P(X ＝3)的值； (2) 求X 的分布.
参考答案
1. {2，3}
2. －1－i
3. 3
5 4. 600
5. 2或5
6. 12
7. －2
8. 2－1
9.
－4 10. －1
4
11. 9 12. －4 13. ⎝
⎛⎦
⎥⎤
0，
1e ＋1 14. y ＝22x
15. (1) a ＋b ＝(sin x －1，3cos x ＋1)． 因为(a ＋b )∥c ，所以sin x －1＝3cos x ＋1，
则sin x －3cos x ＝2，
可得2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12sin x －32cos x ＝2，
故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝1.
因为x ∈[0，π]，所以x －
π
3
∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3
，2π3， 故x －π3＝π2，解得x ＝5π6.
(2) 因为a ·b ＝1
2
，所以－sin x ＋3
cos x ＝12，即sin x －3cos x ＝－12
，
可得2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12sin x －32cos x ＝－12，
故sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＝－14.
因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝π
2，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝
cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3.
由x ∈[0，π]，可得x －
π
3
∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，2π3， 又sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＝－14<0，则x －π3∈
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0，故可得cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π3>0.
因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＝1，
所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－142
＝15
4
. 16. (1) 如图，连结OE.
由四边形ABCD 是正方形知O 为BD 的中点．
因为PD∥平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD∩平面ACE ＝OE ，
所以PD ∥OE.
在△PBD 中，PD ∥DE ，O 为BD 为中点， 所以E 为PB 的中点．
(2) 在四棱锥PABCD 中，AB ＝2PC ， 因为四边形ABCD 是正方形，
所以AC ＝2AB ＝2OC ，则AB ＝2OC ， 所以PC ＝OC.
在△CPO 中，PC ＝OC ，G 为PO 的中点， 所以CG ⊥PO.
因为PC⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， 所以PC⊥BD.
因为四边形ABCD 是正方形，所以AC⊥BD，
因为AC ，PC ⊂平面PAC ，AC ∩PC＝C ， 所以BD⊥平面PAC ，
因为CG ⊂平面PAC ，所以BD⊥CG. 因为PO ，BD ⊂平面PBD ，PO ∩BD ＝O ， 所以CG⊥平面PBD.
17. (1) 由题意可知A 1B 1＝CD ＝x ，CA 1
＝DB 1＝h ，
则AC ＝12(AB －x)＝1
2(30－x)，
h ＝AC·tan 60°＝
3
2
(30－x)， 故V(x)＝Sh ＝6×⎝
⎛⎭⎪⎫
34x 2×32
(30－x)＝94
x 2
(30－x)，0<x<30. (2) V′(x)＝94(60x －3x 2
)，令V′(x)
＝0，得x ＝20.
当x∈(0，20)时，V ′(x)>0；当x ∈(20，30)时，V ′(x)>0，
所以V(x)在(0，20)单调递增，在(20，30)单调递减，
所以当且仅当x ＝20时，V(x)取得最大值9 000.
答：当容器的底面边长为20cm 时，容
器的容积最大，最大容积为9 000 cm 3
.
18. (1) 由题意知4e 2
a 2＋14＝1，即a 2
－1
a 4＝
3
16
， 所以3a 4
－16a 2
＋16＝0，解得a 2
＝4或a 2
＝43
.
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1或3x 2
4＋
y 2
＝1.
(2) 设F 2(c ，0)，A(x 1，y 1)，则F 1(－c ，0)，B(－x 1，－y 1)，
(－∞，－1)上是－1，＋∞)上是单调1)＝－1
e
.
的最小值为－1
e
，
f(x)≤g(x)的解， a≤1－1e
.
⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，1－1e .
，所以g(x)≥f(x)
对一切x∈R 恒成立．
p ′＝2x －e x
，p ″)<0；当x <ln 2，p ″
－2<0，
在R 上单调递减． x ∈R 恒成立等价于 a ≥p (x )在R
则a ∈R ；
a ≤p (x )在R R 上的单调减函数，
x )<p (0)＝－1，所以(0)＝－1，所以a ≤20. (1) 由g ⎝ ⎛－12－g(1)＝f(0)，得(－
， b －c －1＝0. 0，b －c －1＝0，可即ax －3＝－x －2，可在(0，＋∞)上有唯＋1，则h′(x)＝3ax 2，h(x)在(0，＋
∞)上单调递减．
又h(0)＝1>0，h(1)＝a －2<0，h(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存性定理，知h(x)在(0，1)内存在唯一零点，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；
当a>0时，令h′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2a
， 所以h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，在(2a ，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min ＝h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＝1－4a 2.
若h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＝0，即a ＝2，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)≥0，当且仅当x ＝2
a 时，h(x)
＝0，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；
若h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a >0，则当x∈(0，
＋∞)时，h(x)>0
恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上不存在零点；
若h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a <0，因为h(0)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＝1>0，
所以h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 和⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ，3a 内各有一个
零点，即函数h(x)的零点不唯一．
综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}．
方法二：由方法一可知a ＝3x －1－x －3
.
令x －1＝t ，则由题意可得a ＝3t －t 3
在(0，＋∞)上有唯一解．
令h(t)＝3t －t 3
(t>0)，则由h′(t)＝3－3t 2
＝0，可得t ＝1，
当0<t<1时，由h′(t)>0，可知h(t)在(0，1)上是单调增函数；
当t>1时，由h′(t)<0，可知h(t)是在(1，＋∞)上是单调减函数，
故当t ＝1时，h(t)取得最大值2； 当0<t<1时，h(t)>h(0)＝0， 所以f(x)＝g(x)在(0，1)无解； 当t>1时，因为h(3)＝0，所以当t>3时，h(t)<0，
由零点存在性定理可知h(t)在(1，＋∞)只有一个零点．
故当a ＝2或a≤0时，方程f(x)＝g(x)
在(0，＋∞)有唯一解．
从而所求a 的取值范围是{a|a ＝2或a≤0}．
(3) 由b ＝1，b －c －1＝0，可得c ＝0. 由A ＝{x|f(x)>g(x)且g(x)<0}得
ax －3>1x
且x<0，即ax 2
－3x －1<0且x<0.
当a>0时，A ＝⎝
⎛⎭⎪⎫
3－9＋4a 2a ，0； 当a ＝0时，A ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，0； 当a<－9
4时，A ＝(－∞，0)；
当－
9
4
≤a<0时，A ＝(－∞，3＋9＋4a 2a )∪(3－9＋4a
2a
，0)． 数学附加题
21. B. 由题意知M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，则⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
2＋a 2b －1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
45， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，2b －1＝5，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，
所以M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤123－1.
由|M |＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪123－1＝－7得M －1
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1727
37
－17. C. 因为ρ＝2cos θ－2sin θ，
即ρ2
＝2ρcos θ－2ρsin θ，
所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2
－2
x ＋2y ＝0，即⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －222＋⎝
⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1，
所以圆心的直角坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2
2
，－22.
因为直线的普通方程为x －y ＋42＝0， 所以圆心C 到直线l 距离是⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
22＋22＋422
＝5， 故直线l 上的点向圆C 引的切线长的最
小值是52
－12
＝2 6.
22. (1) 如图，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则，0，0)，B(0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)．
设平面A 1BC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.
取z ＝3，则x ＝0，y ＝4，
所以平面A 1BC 1的一个法向量为n 1＝(0，4，3)．
同理可得平面BB 1C 1的一个法向量为n 2
＝(3，4，0)，
所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝16
25
.
因为〈n 1，n 2〉∈[0，π]， 所以二面角A 1BC 1B 1的正弦值为341
25
.
(2) 假设存在．
设D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，且BD →
＝
λBC 1→
，0≤λ≤1，则(x ，y －3，z )＝λ(4，
－3，4)，
所以x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，
所以AD →
＝(4λ，3－3λ，4λ． 因为AD ⊥A 1B ，所以AD →·A 1B →
＝0，
即9－25λ＝0，解得λ＝9
25.
因为9
25∈[0，1]，所以在线段BC 1上存
在点D ，使得AD ⊥A 1B ，此时
BD BC 1＝λ＝925
. 23. (1) 从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，
共有C 3
7＝35(种)取法． 其中X ＝3的三角形如△ABF，这类三角形共有6个，
所以P(X ＝3)＝6
35
.
(2)由题意，X 的可能取值为3，2，6，23，3 3.
其中X ＝3的三角形如△ABF，这类三角形共有6个；
其中X ＝2的三角形有两类，如△PAD(3个)，△PAB(6个)，共有9个；
其中X ＝6的三角形如△PBD，这类三角形共有6个；
其中X ＝23的三角形如△CDF，这类三角形共有12个；
其中X ＝33的三角形如△BDF，这类三角形共有2个，
因此P(X ＝3)＝635，P(X ＝2)＝9
35，P(X
＝6)＝635，P(X ＝23)＝12
35
，P(X ＝33)＝2
35
. 所以随机变量X 的概率分布列为
X 3
2 6 2
3 3 3 P
635
935
635
1235
235。