【数学】四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题(文史类)数学含解析

四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题
数学（文史类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页. 全卷满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵集合，
∴
故选B
2. 设为虚数单位，，若是纯虚数，则
A. 2
B.
C. 1
D.
【答案】C
【解析】∵是纯虚数
∴是纯虚数
∴，即
故选C
3.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
故选B
4. 下列说法中正确的是
A. 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法
B. 线性回归直线不一定过样本中心点
C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1
D. 若一组数据1、、3的平均数是2，则该组数据的方差是
【答案】D
【解析】对于，先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是系统抽样，故错误；对于，线性回归直线一定过样本中心点，故错误；对于，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故错误；对于，若一组数据1、、3的平均数是2，则，则该组数据的方差是
，故正确
故选
5. 执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是
A. 2
B. 1
C.
D.
【答案】A
【解析】模拟执行程序，可得：，
，满足条件，执行循环体，，
满足条件，执行循环体，，
满足条件，执行循环体，，
满足条件，执行循环体，，
满足条件，执行循环体，，
不满足条件，退出循环，输出的值为2
故选A
6. 已知数列满足，，则
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
【答案】C
.....................
∴数列为公比为2的等比数列
∴
故选C
7. 已知实数满足，则的最小值是
A. 5
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：
由，则，平移直线，由图象可知当直线，经过点时，直线的截距最小，此时最小
由得，即，此时
故选D
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
8. 从集合中随机抽取两数，则满足的概率是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵
∴
∵从集合中随机抽取两数
∴所有的数对共有个
∵满足的数对有有，共计1个
∴从集合中随机抽取两数，则满足的概率是
故选D
9. 函数的图象大致是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】的定义域为，
则是偶函数
又
故选
10. 已知函数，则
A. 的最小正周期为
B. 的最大值为2
C. 在上单调递减
D. 的图象关于直线对称
【答案】C
【解析】∵函数
∴的最小正周期为，故错误
的最大值为，故错误
当时，，故的图象不关于直线对称，故错误
由，得，令，可得的一个单调减区间为
，故C正确
故选C
11. 设，当时，不等式恒成立，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵当时，不等式恒成立
∴当时，不等式恒成立
令，则
∵
∴当时，，即在上为减函数
当时，，即在上为增函数
∴，即
令，则
∴当时，，即在上为减函数
当时，，即在上为增函数
∴
∵
∴或
故选A
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为；
（3）若恒成立，可转化为.
12. 设，函数，，，…，，曲线的最低点为，则
A. 存在，使为等腰三角形
B. 存在，使为锐角三角形
C. 存在，使为直角三角形
D. 对任意，为钝角三角形
【答案】D
【解析】∵函数，，，…，
∴，，…，，
∴在上为减函数，在上为增函数
∵曲线的最低点为
∴，则，
∴
∴为钝角，即对任意，为钝角三角形
故选D
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知正方形的边长为2，则______________.
【答案】4
【解析】∵为正方形
∴
故答案为
14. 甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是
_____________.
【答案】乙
【解析】(1)假设甲说的是假话，乙、丙说的是真话，则甲所说与乙相矛盾
（2）若乙说的是假话，甲、丙说的是真话，则甲没申请，丙没申请故申请人为乙
15. 设函数，则满足的的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】①当时，，即
∴或，则
②当时，，
∴
综上可得，满足的的取值范围是
故答案为
16. 已知是等差数列的前项和，，则
_____________.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为
∵
∴
∴
∴
∵是等差数列的前项和
∴
∴
∴故答案为
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：
①；②；③；
④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设是数列的前项和.已知，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由可得时，，两式相减，即可得出
是等比数列，从而求出数列的通项公式；（Ⅱ）写出数列的通项公式，得出数列是等比数列，进而用等比数列求和公式求出数列的前项和.
试题解析：（Ⅰ）∵，
∴当时，，得
当时，
∴当时，，即
又
∴是以为首项，为公比的等比数列.
∴数列的通项公式.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴当时，
∴是以为首项，为公比的等比数列
∴数列的前项和为.
18. 的内角的对边分别为，已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，的中垂线交于点，求的长.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）运用正弦定理进行边角互化，即可求出的值（2）运用余弦定理求得，计算得，再解三角形即可求出结果
解析:（1）∵，∴由正弦定理知，，∵∴，于是，即，∵，∴
（2）由（1）和余弦定理知，
∴，∴
∵在中，，∴，∴
19. 某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1：甲套设备的样本的频数分布表
图1：乙套设备的样本的频率分布直方图
（Ⅰ）将频率视为概率. 若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；
（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；
（Ⅲ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较.
附：
.
【答案】（Ⅰ）700件；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出乙套设备生产的不合格品率，即可得出结论；（Ⅱ）根据表1和图1可得到列联表，然后利用公式，求出结果判断即可；（Ⅲ）由表1和图1可知甲乙的合格品率，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散，即可得出结论.
试题解析：（Ⅰ）由图1知，乙套设备生产的不合格品率约为
∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为（件）.
（Ⅱ）由表1和图1得到列联表
将列联表中的数据代入公式计算得
.
∵
∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
（Ⅲ）由表1和图1知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.
20. 已知函数，曲线在点处的切线方程为：. （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出的导数，利用曲线在点处的切线方程为：，建立方程，即可求出，的值；（Ⅱ）由的解析式求出的解析式，对的导数，判断出的单调性，即可求出函数在上的最小值.
试题解析：（Ⅰ）由切线方程知，当时，
∴
∵.
∴由切线方程知，.
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.
∴函数
设
则，故在上单调递减
∴
∴在上单调递减.
∴函数在上的最小值为.
21. 已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，是否存在正实数，使得？若存在，请求出一个符合条件的，若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出的导数，对进行分类讨论，即可得出的单调性；（Ⅱ）令，判断出的单调性，进而可得出正数，使得.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为，.
当时，，故在上单调递增.
当时，令，得
当时，，故单调递减
当时，，故单调递增
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增
（Ⅱ）存在正数，使得.
即，其中. 证明如下：
设，则
设，则，故在上单调递增
∴，故
∴在上单调递增，故
∴当时，
∴.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22. [选修4-4：极坐标与参数方程]
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为
（为参数）. 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线上一点的极坐标为，其中. 射线与曲线交于不同于极点的点，求的值.
【答案】（Ⅰ）直线：，曲线；（Ⅱ）1.
【解析】试题分析：(1)根据题意将直线参数方程先转化为普通方程，然后再改写为极坐标方程，圆的方程亦是这样完成(2)将其转化为极坐标运算，从而求得长度
解析：（1）直线的普通方程为，极坐标方程为
曲线的普通方程为，极坐标方程为
（2）∵点在直线上，且点的极坐标为
∴，∵，∴
∴射线的极坐标方程为，联立，解得
∴
点睛：本题考查了极坐标与参数方程之间的转换，以及利用极坐标计算长度，根据公式即可将普通方程转化为极坐标方程，在计算长度时也可以将其全部转化为普通方程求解，但是运用极坐标方程将降低计算量，提高正确率
23. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数的最小值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设实数满足，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：写出分段函数，求得在上单调递增，在上单调递减，即可求出的值；计算，利用基本不等式即可得出结论。

解析：（1）∵
∴在上单调递增，在上单调递减，∴的最小值为
（2）由（1）知，
∵，∴
∴。