2019年高考数学仿真押题试卷六含解析201905160128

专题06高考数学仿真押题试卷（六）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的． 1．复数21i
z i
-=+（其中i 是虚数单位），则z 的共轭复数(z = ) A ．
1322
i - B ．1322
i --
C ．
1322i + D ．1322
i -+
【解答】解：
，
∴13
22
z i =
+． 【答案】C ．
2．已知全集U R =，集合，
，则()(U A
B =ð )
A ．{|4}x x >
B ．{|0x x …或4}x >
C ．{|04}x x <…
D ．{|4x x <或2}x e …
【解答】解：全集U R =，集合，
，
则， 则
或4}x >，
【答案】B ．
3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，654S =，则数列{}n a 的公比为( ) A ．1
3
B ．
12
C ．2
D ．3
【解答】解：依题意可得1q ≠，
，，
3
∴+=，
q
19
∴=，
2
q
【答案】C．
4．如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本（单位：万元）及其构成比例，则下列判断正确的是(
)
A．乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大
B．由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大
C．甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点
D．乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高
【解答】解：三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大，故A错误，
虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故B错，
甲企业其他费用开支确实最低，故C正确，
甲企业的工资和其他费用开支额为4000万元，乙企业为5400万元，丙企业为6000万元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故D错误，
【答案】C．
5．已知函数()
x∈，2]时，
f x满足：①对任意x R
∈，，成立；②当(0
，则(2019)(
f=)
A．1 B．0 C．2 D．1
-
【解答】解：，
f x是奇函数，
∴函数()
，
，
()f x ∴是以4为周期的周期函数，
（1）1=．
【答案】A ． 6．在ABC ∆中，若，则ABC ∆是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
【解答】解：
，
，
，化简可得：222c a b =+，
ABC ∴∆是直角三角形．
【答案】B ．
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的表面积为( )
A ．(12π-
B ．(12π-
C ．(10π-
D ．(8π-
【解答】解：由三视图知该几何体是一个三棱锥，放入棱长为2的正方体中，如图所示；
设三棱锥内切球的半径为r ，则由等体积法得
，
解得1r =-，
所以该三棱锥内切球的表面积为
．
【答案】A ．
8．在平行四边形ABCD 中，2AB =，4AD =，4AB AD =，E 为AB 的中点，则(CE BD = ) A ．4-
B ．8-
C ．12-
D ．16-
【解答】解：由2AB =，4AD =，4AB AD =，
所以
，
【答案】C ． 9．已知
在区间[,]64
ππ
上单调递增，则ω的取值范围是( )
A ．(0，2
]3
B ．(0，2][73，26
]3
C ．[7，
D ．(0，250
][,19]33
【解答】解：，
由，k Z ∈， 得
，k Z ∈，
即，即函数的单调递增区间为526[
k ππω
-
，26]k π
πω
+，k Z ∈，
()f x 在区间[,]64
ππ
上单调递增，
∴
，即125283k k ωω-⎧⎪⎨+⎪⎩
…
…，
即，
0ω>，
∴当0k =时253ω
-剟，此时203ω<…， 当1k =时，267
3
ω
剟，
当2k =时，
，此时不成立， 综上ω的范围是203ω<…或26
73ω
剟， 即(0，2][73，26
]3
，
【答案】B ．
10．已知函数(2)y f x =+是R 上的偶函数，对任意1x ，2[2x ∈，)+∞，且12x x ≠都有成，
若
，2(
b f =，22
2
()ln c f e
=，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．b a c <<
B ．a c b <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
【解答】解：根据题意，函数(2)y f x =+是R 上的偶函数，则函数()f x 的图象关于直线2x =对称，
又由对任意1x ，2[2x ∈，)+∞，且12x x ≠都有
成立，则函数()f x 在[2，)+∞上为增函数，
则，，22
2
ln e
=
又由
，
故b a c <<； 【答案】A ． 11．将集合
，x ，}y N ∈中的所有元素按照从小到大的顺序排列成一个数表，如图所示，
则第61个数是( )
A ．2019
B ．2050
C ．2064
D ．2080
【解答】解：第1行一个数，第2行2个数，第3行3个数，则第n 行n 个数， 奇数行从左到右是递增，偶数行从左到右是递减的， 则元素的个数为
，
因为当10n =时，1055S =，当11n =时，1166S =，
所以第61个数是第11行第6个数字，
且01322=+，02522=+，12622=+，03922=+，131022=+，131222=+， 所以第61个数，
【答案】D ．
12．已知，，若函数()f x 和()g x 的图象有两个交点，则实数k 的取值范围是(
)
A ．(0,1)
B ．(,1)e e +
C ．(,)e +∞
D ．(,)e l ++∞
【解答】解：设，
则函数()f x 和()g x 的图象有两个交点， 即()y h x =的图象与直线y k =有两个交点，
又， 设
，
则
，即()y h x ='为增函数，
由h '（1）0=，
即当01x <<时，h '（1）0<，当1x >时，h '（1）0>， 即()h x 在(0,1)为增函数，在(1,)+∞为减函数， 所以()min h x h =（1）1e =+， 又0x +→，()h x →+∞， x →+∞，()h x →+∞，
所以当()y h x =的图象与直线y k =有两个交点时， 实数k 的取值范围是1k e >+， 【答案】D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知x ，y 满足约束条件：，则2z x y =+的最大值是 3 ．
【解答】解：作出x ，y 满足约束条件：对应的平面区域如图：（阴影部分），
由2z x y =+得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，
由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线2y x z =-+的截距最大， 此时z 最大．
由
，解得5(3A ，1
)3
-，
代入目标函数2z x y =+得3z =． 即目标函数2z x y =+的最大值为3． 故答案为：3．
14．甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴．甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是 乙 ．
【解答】解：①设会弹钢琴的是甲，则甲、乙说的是真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是甲， ②设会弹钢琴的是乙，则丙说的是真话，与题设相符，故会弹钢琴的是乙， ③设会弹钢琴的是丙，则乙、丙说的时真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是丙， 综合①②③得：会弹钢琴的是乙， 故答案为：乙
15．已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的偶函数，且(1)f x -为奇函数，当[0x ∈，1]时，3()1f x x =-，则
29(
)2f = 78
- 【解答】解：根据题意，(1)f x -为奇函数，则函数()f x 关于点(1,0)对称，则有，
又由函数()f x 为偶函数，则，
则有
，变形可得
，则函数()f x 是周期为4的周期函数，
；
故答案为：78
-
16．四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，，1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表
面积为 4π ．
【解答】解：如图，在四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，，1CB CD ==，
可得90BCD ∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1 则长方体的对角线长为，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1．
其表面积为2414ππ⨯=． 故答案为：4π．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S ，公比1q >，且21a +为1a ，3a 的等差中项，314S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：2()
1I a +是1a ，3a 的等差中项，
，
，
，
化为
，1q >，解得2q =，12a ∴=．
2n n a ∴=．
．
∴数列{}n b 的前n 项和
．
．
．
解得：
．
18．为了让税收政策更好的为社会发展服务，国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育大病医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，决定自2019年1月1日起施行，某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下22⨯列联表：
（1）根据列联表，能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关？
（2）为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难，该企业拟员工贡献积分x （单位：分）
给予相应的住房补贴y （单位：元），现有两种补贴方案，方案甲：
；方案乙：
．已知这8名员工的贡献积分为2分，3分，6分，7分，7分，11分，12分，12分，
将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A 类员工”．为了解员工对补贴方案的认可度，现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，求恰好抽到3名“A 类员工”的概率．
附：，其中．
参考数据：
【解答】解：（1）根据列联表可以求得2K 的观测值：
，
故有99%的把握认为满意程度与年龄有关．
（2）据题意，该8名员工的贡献积分及按甲乙两种方案所获补贴情况为：
由表可知，“A 类员工“有5名，
设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，恰好抽到3名” A 类员工“的概率为P ，
则．
19．如图①，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，
，M
为DF 中点．现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体．在图②中，
（Ⅰ）证明：EF MC ⊥；
（Ⅱ）求二面角M AB D --的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）由题意知在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，
E ，
F 分别为AB ，CD 的中点，EF AB ∴⊥，EF CD ⊥，
∴折叠后，EF DF ⊥，EF CF ⊥，
，EF ∴⊥平面DCF ，
又MC ⊂平面DCF ，EF MC ∴⊥．
解：（Ⅱ）平面BEFC ⊥平面AEFD ，平面BEFC ⋂平面AEFD EF =，且EF DF ⊥，
DF ∴⊥平面BEFC ，DF CF ∴⊥，DF ∴，CF ，EF 两两垂直，
以F 为坐标原点，分别以FD ，FC ，FE 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，
1DM =，1FM ∴=，
(1M ∴，0，0)，(2D ，0，0)，(1A ，0，2)，(0B ，1，2)，
∴(0MA =，0，2)，(1AB =-，1，0)，(1DA =-，0，2)，
设平面MAB 的法向量(m x =，y ，)z ，
则，取1x =，得(1m =，1，0)，
设平面ABD 的法向量(n x =，y ，)z ，
则，取1z =，得(2n =，2，1)，
，
∴二面角M AB D --
20．已知椭圆
的短轴长为1
3
．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆C 的左，右焦点分别为1F ，2F ，左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且12//F M F N ，记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，若12320k k +=，求直线1F M 的方程．
【解答】解：()I 由题意可得：2b =1
3
c a =，222a b c =+．
联立解得：b =1c =，3a =．
∴椭圆C 的标准方程为：22
198
x y +=．
()(3II A -，0)，(3,0)B ，1(1,0)F -，2(1,0)F ，
设1F M 的方程为：1x my =-，1(M x ，1)y ，1(0)y >，直线1F M 与椭圆的另一个交点为2(M x '，2)y ．
，根据对称性可得：2(N x -，2)y -．
联立，化为：，
，
，
，∴
，即，
联立解得：1212889m y m =
+，2
211289
y m -=+， 10y >，20y <，0m ∴>．
，m ∴=
∴直线1F M 的方程为1x y =
-，即．
21．已知函数
，a R ∈．
（Ⅰ）若()0f x …，求实数a 取值的集合；
（Ⅱ）证明：．
【解答】()I 解：．(0)x >．
当0a …时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，又f （1）0=．
因此01x <<时，()0f x <．
当0a >时，可得函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增， x a ∴=时，函数()f x 取得极小值即最小值，
则f （a ）．
令g （a ）1lna a =+-，g （1）0=．
g '（a ），可知：1a =时，函数g （a ）取得极大值即最大值，而g （1）)=．
因此只有1a =时满足f （a ）．
故1a =．
∴实数a 取值的集合是{1}．
()II 证明：由()I 可知：1a =时，()0f x …，即1
1lnx x
-
…在0x >时恒成立． 要证明：，即证明：
，即．
令
，0x >．
，令
，
()2x u x e '=-，令
，解得2x ln =．
可得：2x ln =时，函数()u x 在(0,2)ln 内单调递减，在(2,)ln +∞上单调递增． 即函数()h x '在(0,2)ln 内单调递减，在(2,)ln +∞上单调递增． 而
．(2)h ln h '<'（1）0=．
∴存在0(0,2)x ln ∈，使得0()0h x '=，
当0(0,)x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当0(x x ∈，1)时，()0h x '<，()h x 单调递减．当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．
又，h （1），
∴对0x ∀>，()0h x …恒成立，即
．
综上可得：，成立．
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t α
α=⎧⎨=⎩
为参数，α倾斜角），曲线C 的参数方程为
为参数，[0β∈，])π，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线C 恰有一个公共点P ，求点P 的极坐标．
【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为为参数，[0β∈，])π，
转换为直角坐标方程为：
．
直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t α
α=⎧⎨=⎩
为参数，α倾斜角），
转换为极坐标方程为：θα=． （2）由（1）可知：曲线C 为半圆弧，
若直线l 与曲线C 恰有一个公共点P ，则直线l 与半圆弧相切． 设(,)P ρθ，由题意知：1
sin 2
θ=， 故：6
π
θ=
，
故：22224ρ+=，
解得：ρ=
所以：点)6P π
．
[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数的最大值为3，其中0m >．
（Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若a ，b R ∈，0ab >，2
2
2
a b m +=，求证：33
1a b b a
+…．
【解答】解：（Ⅰ）0m >，
，
∴当2x m -…时，()f x 取得最大值3m ．
1m ∴=．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，221a b +=，∴
．
，当且仅当a b =时等号成立．
102
ab ∴<…
， 令1
()2h t t t
=-，102t <…，
则()h t 在(0，1
]2
上单调递减，
，
∴当102ab <…
时，121ab ab
-…， ∴33
1a b b a +…．。