湖北省宜昌市八校联考九年级数学下学期3月月考试题(含解析) 新人教版-新人教版初中九年级全册数学试题

某某省某某市八校联考2016届九年级数学下学期3月月考试题一、选择题
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．若代数式在实数X围内有意义，则x的取值X围是（）
A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≤2
3．某市测得一周PM2.5的日均值（单位：微克/立方米）如下：31，30，34，35，36，34，31，对这组数据下列说法正确的是（）
A．众数是35 B．中位数是34 C．平均数是35 D．方差是6
4．新亚欧大陆桥东起太平洋西岸中国某某，西达大西洋东岸荷兰鹿特丹等港口，横贯亚欧两大洲中部地带，总长约为10900公里，10900用科学记数法表示为（）
×105×104×103D．109×102
5．下列计算正确的是（）
A．2x2﹣4x2=﹣2 B．3x+x=3x2C．3x•x=3x2D．4x6÷2x2=2x3
6．如图所示，该几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
7．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
8．当x=1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
9．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（）
A．70° B．60° C．55° D．50°
10．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（）
A．65° B．130°C．50° D．100°
11．下列调查中，最适合用普查方式的是（）
A．调查一批电视机的使用寿命情况
B．调查某中学九年级一班学生的视力情况
C．调查某某市初中学生每天锻炼所用的时间情况
D．调查某某市初中学生利用网络媒体自主学习的情况
12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b 的大致图象可能是（）
A．B． C． D．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则阴影部分图形的面积为（）
A．4πB．2πC．πD．
14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）
A． B． C． D．
15．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（）
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤
二、解答题（本大题共9小题，计75分）
16．计算：．
17．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．
18．为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C 跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；（2）随机抽取了5名喜欢“跑步”的学生，其中有3名女生，2名男生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
19．小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．
20．如图，直线y=mx+n与双曲线y=相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
21．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD 的延长线交于点P，使∠PED=∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．
22．某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．
（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．
①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？
②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
23．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a=，b=．
如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=，b=．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
拓展应用
（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长．
24．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．
（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值X围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；
（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年某某省某某市八校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
2．若代数式在实数X围内有意义，则x的取值X围是（）
A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≤2
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
3．某市测得一周PM2.5的日均值（单位：微克/立方米）如下：31，30，34，35，36，34，31，对这组数据下列说法正确的是（）
A．众数是35 B．中位数是34 C．平均数是35 D．方差是6
【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．
【分析】根据众数、平均数、中位数和方差的计算公式分别进行计算即可得出答案．
【解答】解：A、31和34出现了2次，出现的次数最多，则众数是31和34，故本选项错误；
B、把这组数据从小到大排列，最中间的数是34，则中位数是34，故本选项错正确；
C、这组数据的平均数是：（31+30+34+35+36+34+31）÷7=33，故本选项错误；
D、这组数据的方差是：[2（31﹣33）2+（30﹣33）2+2（34﹣33）2+（35﹣33）2+（36﹣33）
2]=，故本选项错误；
故选B．
4．新亚欧大陆桥东起太平洋西岸中国某某，西达大西洋东岸荷兰鹿特丹等港口，横贯亚欧两大洲中部地带，总长约为10900公里，10900用科学记数法表示为（）
×105×104×103D．109×102
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】×104．
故选：B．
5．下列计算正确的是（）
A．2x2﹣4x2=﹣2 B．3x+x=3x2C．3x•x=3x2D．4x6÷2x2=2x3
【考点】整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式．
【分析】分别利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式和单项式除以单项式运算法则化简进而判定．
【解答】解：A、2x2﹣4x2=﹣2x2，故此选项错误；
B、3x+x=4x，故此选项错误；
C、3x•x=3x2，正确；
D、4x6÷2x2=2x4，故此选项错误；
故选：C．
6．如图所示，该几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看是一个正方形，正方形的左下角是一个小正方形，故B正确；
故选：B．
7．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【考点】正方形的判定．
【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：B．
8．当x=1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】由x=1时，代数式ax+b+1的值是﹣2，求出a+b的值，将所得的值代入所求的代数式中进行计算即可得解．
【解答】解：∵当x=1时，ax+b+1的值为﹣2，
∴a+b+1=﹣2，
∴a+b=﹣3，
∴（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）=（﹣3﹣1）×（1+3）=﹣16．
故选：A．
9．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（）
A．70° B．60° C．55° D．50°
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质求出∠C的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，∠1=30°，
∴∠C=40°．
∵∠3是△CDE的外角，
∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．
故选A．
10．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（）
A．65° B．130°C．50° D．100°
【考点】切线的性质．
【分析】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．
故选C．
11．下列调查中，最适合用普查方式的是（）
A．调查一批电视机的使用寿命情况
B．调查某中学九年级一班学生的视力情况
C．调查某某市初中学生每天锻炼所用的时间情况
D．调查某某市初中学生利用网络媒体自主学习的情况
【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、调查一批电视机的使用寿命情况，调查局有破坏性，适合抽样调查，故A 不符合题意；
B、调查某中学九年级一班学生的视力情况，适合普查，故B符合题意；
C、调查某某市初中学生每天锻炼所用的时间情况，调查X围广，适合抽样调查，故C不符合题意；
D、调查某某市初中学生利用网络媒体自主学习的情况，适合抽样调查，故D不符合题意；故选：B．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b 的大致图象可能是（）
A．B． C． D．
【考点】根的判别式；一次函数的图象．
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求
出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则阴影部分图形的面积为（）
A．4πB．2πC．πD．
【考点】扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．
【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD 的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=（垂径定理），
故S△OCE=S△ODE，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°（圆周角定理），
∴OC=2，
故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．
故选：D．
14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据题意，分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△PAB∽△ADE，即可判断出y=（3＜x≤5），据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个即可．
【解答】解：（1）当点P在AB上移动时，
点D到直线PA的距离为：
y=DA=BC=4（0≤x≤3）．
（2）如图1，当点P在BC上移动时，，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=，
∵∠PAB+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠PAB=∠DAE，
在△PAB和△ADE中，
∴△PAB∽△ADE，
∴，
∴，
∴y=（3＜x≤5）．
综上，可得
y关于x的函数大致图象是：
．
故选：D．
15．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；
②a bc＞0；
③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（）
A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b=﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
二、解答题（本大题共9小题，计75分）
16．计算：．
【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．
【分析】首先计算乘方、特殊角的三角函数，利用平方差计算（2﹣）（2+），然后再计算有理数的加减即可．
【解答】解：原式=1+﹣（4﹣3），
=1+﹣1，
=．
17．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣1．
【考点】分式的化简求值．
【分析】分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将，代入化简后的式子求出即可．
【解答】解：
=÷（+）
=÷
=×
=，
把，代入原式====．
18．为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C 跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；（2）随机抽取了5名喜欢“跑步”的学生，其中有3名女生，2名男生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数；用抽查的总人数减去A、B、D的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数，再除以被调查的学生数，求出所占的百分比，再画图即可；
（2）用A表示男生，B表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
15÷10%=150（名）．
本项调查中喜欢“跑步”的学生人数是；150﹣15﹣45﹣30=60（人），
所占百分比是：×100%=40%，
画图如下：
（2）用A表示男生，B表示女生，画图如下：
共有20种情况，同性别学生的情况是8种，
则刚好抽到同性别学生的概率是=．
19．小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】关键三角形外角的性质求得∠DAF=30°，得出AF=DF=10，在Rt△FGA中，根据正弦函数求出AG的长，加上BG的长即为旗杆高度．
【解答】解：如图，∵∠ADG=30°，∠AFG=60°，
∴∠DAF=30°，
∴AF=DF=10，
在Rt△FGA中，
AG=AF•sin∠AFG=10×=5，
∴+5．
+5）米．
20．如图，直线y=mx+n与双曲线y=相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由题意，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；（2）得出点C和点D的坐标，根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）把x=﹣1，y=2；x=2，y=b代入y=，
解得：k=﹣2，b=﹣1；
把x=﹣1，y=2；x=2，y=﹣1代入y=mx+n，
解得：m=﹣1，n=1；
（2）直线y=﹣x+1与y轴交点C的坐标为（0，1），所以点D的坐标为（0，﹣1），
点B的坐标为（2，﹣1），所以△ABD的面积=．
21．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD 的延长线交于点P，使∠PED=∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）如图，连接OE．欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可；
（2）由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4，结合已知条件证得结论；
（3）设EF=x，则CF=2x，在RT△OEF中，根据勾股定理得出52=x2+（2x﹣5）2，求得EF=4，进而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根据勾股定理求得AE=6，然后根据△AEB∽△EFP，得出=，求得PF=，即可求得PD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径，
∴∠CED=90°．
∵OC=OE，
∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，
∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥EP，
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠CED=90°，
∴∠3=∠4（同角的余角相等）．
又∵∠PED=∠1，
∴∠PED=∠4，
即ED平分∠BEP；
（3）解：设EF=x，则CF=2x，
∵⊙O的半径为5，
∴OF=2x﹣5，
在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2，解得x=4，
∴EF=4，
∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，
∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=6，
∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴=，即=，
∴PF=，
∴PD=PF﹣DF=﹣2=．
22．某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．
（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．
①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？
②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；
（2）①由题意列出关于x，y的方程即可；
②把函数关系式配方即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：；
（2）①由题意得：y=（x﹣20）【100﹣5（x﹣30）】
∴y=﹣5x2+350x﹣5000，
②∵y=﹣5x2+350x﹣5000=﹣5（x﹣35）2+1125，
∴当x=35时，y最大=1125，
∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．
23．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，
AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a= 2，b= 2．
如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a= 2，b= 2．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
拓展应用
（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得到AP=BP=AB=2，根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF=AB=，再由勾股定理得到结果；
（2）连接EF，设∠ABP=α，类比着（1）即可证得结论．
（3）连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC=2，∠EAH=∠FCH根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE=BF=CF=AD=，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH=FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得即可得到结果．
【解答】解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，
∴AP=BP=AB=2，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF∥AB，EF=AB=，
∴∠PFE=∠P EF=45°，
∴PE=PF=1，
在Rt△FPB和Rt△PEA中，
AE=BF==，
∴AC=BC=2，
∴a=b=2，
如图2，连接EF，
同理可得：EF=×4=2，
∵EF∥AB，
∴△PEF～△ABP，
∴，
在Rt△ABP中，
AB=4，∠ABP=30°，
∴AP=2，PB=2，
∴PF=1，PE=，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
AE=，BF=，
∴a=2，b=2，
故答案为：2，2，2，2；
（2）猜想：a2+b2=5c2，
如图3，连接EF，
设∠ABP=α，
∴AP=csinα，PB=ccosα，
由（1）同理可得，PF=PA=，PE==，
AE2=AP2+PE2=c2sin2α+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2α，
∴=c2sin2α+，=+c2cos2α，
∴+=+c2cos2α+c2sin2α+，
∴a2+b2=5c2；
（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=2，
∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=AD，BF=BC，
∴AE=BF=CF=AD=，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=3，AP=PF，
在△AEH和△CFH中，
，
∴△AEH≌△CFH，
∴EH=FH，
∴EQ，AH分别是△AFE的中线，
由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，
∴AF2=5﹣EF2=16，
∴AF=4．
24．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．
（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值X围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；
（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先联立抛物线与直线的解析式得出关于x的方程，再由直线BC和抛物线有两个不同交点可知△＞0，求出a的取值X围，令x=0求出y的值即可得出A点坐标，把抛物线的解析式化为顶点式的形式即可得出M点的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线MA的解析式，联立两直线的解析式可得出N点坐标，进而可得出P点坐标，根据S△PCD=S△PAC﹣S△ADC可得出结论；
（3）分点P在y轴左侧与右侧两种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1）由题意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．
∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．
∵a≠0，
∴a＞﹣且a≠0．
令x=0，得y=a，
∴A（0，a）．
由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．
（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（0，a），M（﹣1，1+a），
∴，解得，
∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，
联立得，，解得，
∴N（，﹣）．
∵点P是点N关于y轴的对称点，
∴P（﹣，﹣）．
代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2+a+a，解得a=或a=0（舍去）．∴A（0，），C（0，﹣），M（﹣1，），|AC|=，
∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=|AC|•|x p|﹣|AC|•|x0|
=••（3﹣1）
=；
（3）①当点P在y轴左侧时，
∵四边形AP是平行四边形，
∴AC与PN互相平分，N（，﹣），
∴P（﹣，）；
代入y=﹣x2﹣2x+a得，=﹣a2+a+a，解得a=，
∴P1（﹣，）．
②当点P在y轴右侧时，
∵四边形ACPN是平行四边形，
∴NP∥AC且NP=AC，
∵N（，﹣），A（0，a），C（0，﹣a），
∴P（，﹣）．
代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2﹣a+a，解得a=，
∴P2（，﹣）．
综上所述，当点P1（﹣，）和P2（，﹣）时，A、C、P、N能构成平行四边形．。