北京市10区高三上学期期末数学(理)试题分类汇编：数列 Word版含答案.pdf

北京市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
数列
一、填空、选择题
1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
【解析】因为成等比数列，即，即，所以，选C.
2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知数列等差数列，是等比数列，则的值为 .
【解析】因为是等差数列。

是等比数列，因为，所以，所以。

3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】因为，，所以，解得，所使用，解得，选C.
4.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，.
【答案】 (第一个空2分，第二个空3分)
满足且对任意的，都有，则的前项和_____.
【答案】
【解析】由可得，所以。

所以。

由得，令，得，即数列是公比为2的等比数列，所以。

6.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】数列满足（且），则“”是“数列成等差数列”的
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，即，所以数列成等差数列。

若数列成等差数列，设公差为，则，即，若，则，若，则 ，即，此时。

所以是数列成等差数列的充分不必要条件，选A.
7.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】在等比数列中，，则公比
【答案】
【解析】在等比数列中，所以，即。

所以，所以，即数列是一个公比为2的等比
数列，所以。

8..【北京市西城区2013届高三上学期期末理】设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则______． 【答案】6
【解析】设公比为，因为，所以，则，所以，又，即，所以。

二、解答题
1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，
（）设数列，求；
（）若中最大的项为50， 比较的大小；
（）若，求函数的最小值．解: (I) 因为数列，
所以，
所以 …………………4分
(II) 一方面，，
根据的含义知，
故，即 ，
当且仅当时取等号.
因为中最大的项为50，所以当时必有，
所以
即当时，有； 当时，有 …9分
（III）设为中的最大值.
由（II）可以知道，的最小值为.
根据题意，
下面计算的值.
，
最小值为. ………………………………………….14分
将（）排成行列.对于行列的任意两个数（），称这些比值的最小值为这的“特征值”.
（Ⅰ）时，（Ⅱ）表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（Ⅲ）排成行列特征值，求证：.
证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.
可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.
得到数表的不同特征值是或 ………………………………3分
714582369（Ⅱ）当时，数表为
此时，数表的“特征值”为 ……………………………………………………4分
13159101426711153481216
当时,数表为
此时，数表的“特征值”为. ………………………………………………………5分
21161116172227121318233891419244510152025
当时,数表为
此时，数表的“特征值”为. …………………………………………………………6分
猜想“特征值”为. ……………………………………………………………7分
（Ⅲ）这个较大的数中，要么至少有两个数在一个数表的同一行（或列）中个较大的数在这个数表的不同行列中.这个较大的数，至少有两个数在数表的同一行（或列）（）为该行（或列）中最大的两个数，则，
因为
所以，从而 …………………………………………10分
②当这个较大的数在这个数表的不同行列中在同行（或列）中，设为与在同行、同列中的两个最大数中的较小的一个.则有.
综上可得. ………………………………………………………………13分
3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】已知为等比数列，其前项和为，且.
（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
【答案】 解：（Ⅰ）当时，.………………………………………1分
当时，.…………………………………………………3分
因为是等比数列，
所以，即..……………………………………5分
所以数列的通项公式为.…………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.
则. ①
. ②
①-②得 …………………9分
.…………………………………………………12分
所以.……………………………………………………………13分
4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】已知数列的前项和为,且 .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；
（Ⅲ）设是否存在，使得
成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）当时, ……………… 1分
当时, .…… 2分
而当时,
∴． ………………4分
∴……
………………7分
∵
∴单调递增，故． ………………8分
令，得，所以. ……………… 10分
（Ⅲ）
（1）当为奇数时，为偶数， ∴，．
………………1 2分
（2）当为偶数时，为奇数， ∴，（舍去）．
综上，存在唯一正整数，使得成立．
……………………1 4分
5.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形．
（）求、的坐标；
（）求数列的通项公式；
（）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值并证明；若不存在，说明理由．
?B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，
直线B0A1的方程为y=x．
由 得，即点A1的坐标为（2，2），进而得．…..3分
（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得 ，即 ．（*） …………………………..5分 和均在曲线上，，
，代入（*）式得，
， ………………………………………………………..7分
数列是以为首项，2为公差的等差数列，
其通项公式为()． ……………………………………………....8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，
， ……………………………………………………9分
，．
==．….……………..…………10分
． ……………………….11分
（方法一）-=．
当n=1时不符合题意，
当n=2时，符合题意，
猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有．（）
观察知，欲证（）式，只需证明当n≥2时，n+1<2n
以下用数学归纳法证明如下：
(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边；
(2)假设n=k（k≥2）时，(k+1)<2k,
当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,
对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n ，即<成立．
综上，满足题意的n的最小值为2. ……………………………………………..13分
（方法二）欲证成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n．
，
并且，
当时，.
6.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形数列使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．
（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；
（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；
（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?
(解题中可用以下数据 :)
【答案】（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列。

因为，显然有，
由得
解得.
所以当时，
是数列的保三角形函数. …………………3分
（Ⅱ）由，得，
两式相减得，所以 …………………5分
经检验，此通项公式满足.
显然,
因为,
所以是三角形数列. ……… ……8分
（Ⅲ）,
所以单调递减.
由题意知，①且②,
由①得，解得,
由②得，解得.
即数列最多有26项.
7.【北京市顺义区2013届高三上学期期末理】已知为等差数列,且.
(I)求数列的前项和;
(II)求数列的前项和.
解:(I)设等差数列的公差为,
因为,
所以
解得,…………………………………………………………2分
所以,……………………………………………3分
因此………………………………………4分
记数列的前项和为,
当时,,
当时,,
当时,
=,
又当时满足此式,
综上,…………………………………………8分
(II)记数列的前项和为.
则,
,
所以.
由(I)可知,,
所以,
故.………………………………………………13分
8.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中． 记，，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）设直线的斜率为，判断的大小关系；
（Ⅲ）证明：当时，．
（Ⅰ）解：， ………………………………2分
； ………………………………4分
（Ⅱ）解：，． ………………………………6分
因为　，
所以　． ………………………………8分
（Ⅲ）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明． …………9分
事实上，当时，
．
下面证明．
法一：对任何，
………………10分
……………………………………11分
…………………………12分
所以　．…………………………13分
法二：对任何，
当时，
；………………………………………10分
当时，
综上，． ………………………………………13分
9.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合．
对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．
（），使得；
（，使得？说明理由；
（Ⅲ）给定正整数，对于所有的，求的取值集合．
（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．
………………3分
（Ⅱ）解：不存在，使得． ………………4分
证明如下：
假设存在，使得．
因为， ，
所以，，，，，，，这个数中有个，个．
令．
一方面，由于这个数中有个，个，从而． ①
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示， 从而． ②
①、②相矛盾，从而不存在，使得． ………………8分
（Ⅲ）解：记这个实数之积为．
一方面，从“行”的角度看，有；
另一方面，从“列”的角度看，有．
从而有． ③ ……………10分
注意到， ．
下面考虑，，，，，，，中的个数：
由③知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为， 所以． ………………12分
对数表：，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
依此类推，将数表中的由变为，得到数表．
即数表满足：，其余．
所以 ，．
所以．
由的任意性知，的取值集合为．………13分
，
，，
…。