乘除法意义的本质及应用举例

乘除法意义的本质及应用举例
乘除法的计算对多数学生来说，应该是一件比较容易的事情，只要稍加训练便可以形成计算能力与计算技巧。

但是，利用乘除法意义去解决实际问题，就不是那么容易了。

如：
（1）如果40千克花生可以榨油16千克。

①那么1千克花生可以榨油多少千克？要榨1千克的油需要多少千克的花生？
②现在有25千克的花生可以榨多少千克的油？
（2）西塘小学六年级同学要植一些树（不超过200棵）。

如果每行植6棵，最后一行缺1棵；如果每行植5棵或4棵，最后一行也都缺1棵。

这批树苗有多少棵？
（3）有两支蜡烛，当第一支燃去4/5，第二支燃去2/3时，剩下的部分一样长。

这两支蜡烛原来长度的比是多少？
第一题是归一类应用题，学生会按题目要求，求哪种量的单一量，就把哪种量归一，就除以哪种量。

第一小问，求1千克花生可以榨油多少千克，要把花生数量归一，就用16÷40；要求榨1千克的油需要多少千克的花生，要把油的数量归一，就用40÷16。

但是，要问学生为什么要这样做，就缄默不语了。

说明孩子对除法意义本质的掌握情况不是很好。

我们可以这样想：
40千克花生可以榨油16千克，那么花生数量就与油的数量建立了对应关系。

当花生的数量减少一半（平均分两份取一份），则对应油的数量也应该减少一半（平均分两份取一份）。

现在要求的是1千克花生的榨油量，就是把花生数量平均分成40份，得到1千克花生数量，那么对应油的数量也应该平均分成40份，才能与1千克花生数量对应，于是得到16÷40。

而要求榨1千克油需要的花生数量，就要把油的数量平均分成16份，得到1千克油的数量，那么对应花生的数量也应该平均分成16份，
才能与1千克油的数量对应，于是得40÷16。

可见，除法意义的本质就是把总数量按某方式进行平均分（缩小），求得其中一个部分的数量。

第二小问是要求25千克花生的出油量，可以先求出1千克花生的出油量16÷40，再求25千克花生的出油量16÷40×25。

这是应用乘法意义的本质：根据一个部分的数量（1千克花生出油量），及与这个数量相关的倍数（25千克花生），去求总数量（25千克花生的出油量）。

从这一角度也说明了乘除法的互逆性。

对于第二题，多数学生都知道用求最小公倍数的方法去解答，到底为什么要求最小公倍数，能回答出来的却很少。

条件告诉我们，不管每行植6棵、5棵、4棵，最后一行都缺1棵，所以，不妨先借来1棵树，这样树的总棵数就正好是6、5、4的倍数，也就是这三个数的公倍数。

这样，我们就可以根据一个部分的数量6棵、5棵、4棵，及与这个数量相关的倍数1倍、2倍、3倍、……，去求得树的总棵数为60棵或120棵或180棵，再从总棵数中去掉借来的1棵，便得到了这个班植树的总棵数59棵或119棵或179棵。

6的倍数：6、12、18、…、60、…、120、…、180、…
5的倍数：5、10、15、…、60、…、120、…、180、…
4的倍数：4、8、12、…、60、…、120、…、180、…
其实，这就是乘法意义的实际应用，只不过后来，为了计算的方便，人们才创造了短除法。

第三题涉及分数乘法的意义：求一个数的几分之几是多少用乘法运算。

其实也可以理解为：求一个数的几分之几倍是多少用乘法运算。

这样，乘法意义就得到了统一。

不妨设第一支蜡烛长度为a，第二支蜡烛长度为b。

那么第一支燃去4/5后还剩1/5，剩下长度就可以表示为1/5 a；第二支燃去2/3后还剩1/3，剩下长度可以表示为1/3 b。

根据两支蜡烛剩下的长度一样长，则1/5 a=1/3 b，于是有a：b=1/3:1/5=5:3。

这就是直接运用乘法意义，建立等量关系，从而使问题得到解决。

因此，数学学习不但要学会沟通知识之间的联系，而且还要建构起统一的知识框架，形成对数学知识最本质的认识，才能形成解决问题的思维能力。