新人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试(有答案解析)(1)

一、选择题
1．已知正方形ABCD 中，对角线4AC =，这个正方形的面积是（ ）
A ．8
B ．16
C ．82
D ．162 2．如图，在ABC 中，D ，
E 分别是,AB AC 的中点，12BC =，
F 是DE 的上任意一点，连接,AF CF ，3DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度为（ ）
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
3．下列说法正确的是（ ）
A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B ．对角线互相垂直的矩形是正方形
C ．有一组邻边相等的菱形是正方形
D ．各边都相等的四边形是正方形 4．已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
A ．90D ∠=；
B ．AB CD =；
C ．A
D BC =； D ．BC CD =． 5．如图，在ABC 中，90A ∠=，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点
E ，作BC 的垂线交BC 于点
F ，若AB CE =，且DFE △的面积为1，则BC 的长为（ ）
A ．5
B ．5
C ．45
D ．10 6．顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形是（ ）
A ．平行四边形
B ．正方形
C ．矩形
D ．菱形 7．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为
E 、
F 、
G 、
H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=︒<<︒时，有以下结论：①180GCF α∠=︒-；
②90HAE α∠=︒+；③HE HG =；④ EH GH ⊥；⑤四边形EFGH 是平行四边形．则结论正确的是（ ）
A ．①③④
B ．②③⑤
C ．①③④⑤
D ．②③④⑤ 8．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()5,0，()1,3--，()2,5-，当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 的坐标为（ ）
A ．()8,2-
B ．()7,3-
C ．()8,3-
D ．()14,0 9．如图，以AB 为斜边的Rt ABC 和Rt ABD △位于直线AB 的同侧，连接CD ．若135,6BAC ABD AB ∠+∠=︒=，则CD 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．32
D ．33
10．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF 是等腰三角形，则∠BDC （ ）
A ．45º
B ．60º
C ．67.5º
D ．75º
11．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在AB 上，且:1:2AE BE =，连接AD ，CE 交于点F ，若60ABC S =△，则DBEF S =四边形（ ）
A ．15
B ．18
C ．20
D ．25
12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( )
A ．若∠ACP=45°， 则CP=5
B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5
C ．若∠ACP=45°，则CP=245
D ．若∠ACP=∠B ，则CP=245
二、填空题
13．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，按以下步骤作图：分别以点A ，C 为圆心，以大于12
AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN 交BC 于点E ，连接AE ．若AB ＝1，BC ＝2，则BE ＝_____．
14．如图，在菱形ABCD 中，13cm AB =，24cm AC =，E ，F 分别是CD 和BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG 的长度为________cm ．
15．如图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 是AB 上一动点，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是________．
16．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC ＝12，BD ＝16，点P 为边BC 上一点，且P 不与写B 、C 重合．过P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，连结EF ，则EF 的最小值等于__________．
17．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，
AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．
18．已知Rt ABC ，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，若PAB △与ABC 全等，PC ________．
19．如图，在正方形ABCD 中，有面积为4的正方形EFGH 和面积为2的正方形PQMN 、点E F P Q 、、、分别在边AB BC CD AD 、、、上，点M N 、在边HG 上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD 的面积为__________．
20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是斜边AB 中点，若∠B ＝30°，AC ＝2，则CD ＝_____．
三、解答题
21．用总长度为4a 的铁丝可围成一个长方形或正方形，小东同学认为围成一个正方形的面积较大．小东同学的看法对不对？请你用数学知识进行说理．
22．如图，BD 为ABC 的角平分线，E 为AB 上一点，BE BC =，连结DE ． （1）求证：BDC BDE ≅△△；
（2）若7AB =，2CD =，90︒∠=C ，求ABD △的面积．
23．如图，ABCD 中，E 、F 是直线AC 上两点，且AE CF =．
求证：（1）BE DF =；
（2）//BE DF ．
24．已知：平行四边形ABCD 中，点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，联结AM 、CN ．
（1）求证：AM ∥CN ；
（2）过点B 作BH AM ⊥，垂足为H ，联结CH ．求证：△BCH 是等腰三角形．
25．如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，,G H 分别是对角线,BD AC 的中点，依次连接,,,E G F H 连接,EF GH ．
（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；
（2）当AB CD =时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若,20,70AB CD ABD BDC =∠=︒∠=︒，则GEF ∠= ︒．
26．正方形ABCD 中，点E 是BD 上一点，过点E 作EF AE ⊥交射线CB 于点F ，连结
CE ．
（1）若AB BE =，求DAE ∠度数；
（2）求证：CE EF =
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理，可得正方形的边长，进而可得正方形的面积．
【详解】
∵正方形ABCD 中，对角线4AC =，
∴AB 2＋BC 2＝AC 2，
∴2AB 2＝42，
∴AB 2＝8．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．C
解析：C
【分析】
根据三角形中位线定理求出DE ，根据题意求出EF ，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】
解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE=12
BC=6， ∵DE=3DF ，
∴EF=4，
∵∠AFC=90°，E 是AC 的中点，
∴AC=2EF=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可．
【详解】
解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，符合题意；
C.一组邻边相等的矩形是正方形，说法错误，不合题意；
D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．
4．D
解析：D
【分析】
由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【详解】
解：由∠A=∠B=∠C=90°可判定四边形ABCD为矩形，
因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，
故选：D．
【点睛】
本题考查正方形的判定．掌握相关判定定理正确推理论证是解题关键．
5．A
解析：A
【分析】
过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到AE=CE，求得DE=1
2
BC，求得DF=
1
2
AH，根据三
角形的面积公式得到DE•DF=2，得到AB•AC=8，求得AB=2（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE∥BC，
∴AE=CE，
∴DE=1
BC，
2
∵DF⊥BC，
∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF=HF，
∴DF=1
AH，
2
∵△DFE的面积为1，
∴1
DE•DF=1，
2
∴DE•DF=2，
∴BC•AH=2DE•2DF=4×2=8，
∴AB•AC=8，
∵AB=CE，
∴AB=AE=CE=1
AC，
2
∴AB•2AB=8，
∴AB=2（负值舍去），
∴AC=4，
∴2222
+=+=
2425
AB AC
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.
【详解】
如图，设矩形ABCD各边的中点依次为E，F，G，H，
∴EF，FG，GH，HE分别是△ABC，△BCD，△CDA，△DAB的中位线，
∴EF=1
2AC，FG=
1
2
BD，GH=
1
2
AC，EH=
1
2
BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
故选D.
【点睛】
本题在矩形背景考查了三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，熟练运用三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定是解题的关键.
7．D
解析：D
【分析】
根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，
∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出
∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，证△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG，推出
∠BFE=∠GFC，EF=EH=HG=GF，求出∠EFG=90°，根据正方形性质得出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，
∴BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，
∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠BCD=180°-α，
∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，
∴①错误；②正确；
∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α，
∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE，
在△FBE、△HAE、△HDG、△FCG中，
BF AH DH CF FBE HAE HDG FCG BE AE DG CG ===⎧⎪∠=∠=∠=∠⎨⎪===⎩
，
∴△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG （SAS ），
∴∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，③正确；
∴四边形EFGH 是菱形，
∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE ，
∴∠EFG=90°，
∴四边形EFGH 是正方形，⑤正确；
∴EH ⊥GH ，④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
8．A
解析：A
【分析】
以AC 为对角线，可得AD ∥BC ，AD=BC ；以AB 为对角线，可得AD ∥BC ，AD=BC ；以AD 为对角线，可得AB ∥CD ，AB=CD ．
【详解】
解：①以AD 为对角线时，可得AB ∥CD ，AB ＝CD ，
∴A 点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B 点，
∴C 点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)；
②以AC 为对角线时，可得AD ∥BC ，AD=BC ，
∴B 点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B 点，
∴C 点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)；
③以AB 为对角线时，可得AD ∥BC ，AD=BC ，
∴C 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A ，
∴B 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)；
综上可知，D 点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．
9．C
解析：C
【分析】
取AB 的中点O ，连结OD ，OC ，根据直角三角形的性质可得OA OD OB OC ===，可得BAC OCA ∠=∠，ABD ODB ∠=∠，OCD ODC ∠=∠，在四边形ABCD 中，根据四边形的内角和为360︒，135BAC ABD ∠+∠=︒，可得出90OCD ODC ∠+∠=︒，由OC OD =，可证得COD ∆是等腰直角三角形，由6AB =，根据勾股定理，即可得出CD 的长．
【详解】
取AB 的中点O ，连结OD ，OC ，
∵Rt ABD ∆和Rt ABC ∆的斜边为AB ， ∴12OD AB =，12
OC AB =， ∴OA OD OB OC ===， ∴BAC OCA ∠=∠，ABD ODB ∠=∠，OCD ODC ∠=∠，
在四边形ABCD 中，360BAC OCA ABD ODB OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒， ∵135BAC ABD ∠+∠=︒，
∴90OCD ODC ∠+∠=︒，
∵OC OD =，
∴45OCD ODC ∠=∠=︒，
∴COD ∆是等腰直角三角形，
∵6AB =，
∴3OC OD ==， ∴22223332CD OC OD ++=，
故选：Ｃ．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质和以及勾股定理，解题的关键是正确做出辅助线．
10．C
解析：C
【分析】
由翻折可知：△BDF ≌△BCD ，所以∠EBD=∠CBD ，∠E=∠C=90°，由于△EDF 是等腰三角
形，易证∠ABF=45°，所以∠CBD=1
2
∠CBE=22.5°，从而可求出∠BDC=67.5°．
【详解】
解：由翻折的性质得，∠DBC=∠EBD，
∵矩形的对边AD∥BC，∠E=∠C=90°，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠EBD=∠ADB，
∵△EDF是等腰三角形，∠E=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DFE=45°，
∵∠EBD+∠ADB=∠DFE，
∴∠DBF=1
2
∠DFE=22.5°，
∴∠CBD =22.5°，
∴∠BDC=67.5°，
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．
11．D
解析：D
【分析】
过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，根据三角形中位线的定理可得CG＝EG，通过
△DGF≅△AEF，可得AF=DF，再利用三角形的面积可求解．
【详解】
过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，
∵D为BC的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴BE＝2GD，CG＝EG，
∵:1:2
AE BE ，
∴AE=GD，
∵DG ∥AB ，
∴∠AEF=∠DGF ，∠EAF=∠GDF ，
∴△DGF ≅△AEF ，
∴AF=DF ，
∵60ABC S =△，
∴S △ABD ＝30，S △AED ＝10，
∴S △AEF ＝5，
∴S 四边形DCEF ＝S △ABD −S △AEF ＝30−5＝25，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
四个选项，A 、C 选项CP 为顶角的平分线， B 、D 选项CP 为底边上的高线，
根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线等于245
，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，可得正确的为D 选项． 【详解】
解：∵∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8，
∴22228610AB AC BC +=+=，
当CP 为AB 的中线时，152CP AB =
=， 若∠ACP=45°，如图1，则CP 为直角∠ACB 的平分线，
∵BC≠AC ，
∴CP 与中线、高线不重合，不等于5，故A 选项错误；
若∠ACP=∠B ，如图2
∵∠ACB =90°,
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠ACP =90°，
∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，
∵BC≠AC，
∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；
当CP为AB的高线时，
11
22
ABC
S AC BC AB PC =⋅=⋅
△
,
即11
8610
22
PC
⨯⨯=⨯⋅，解得
24
5
PC=,
故D选项正确，C选项错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．
二、填空题
13．【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线可得EA=EC再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论【详解】解：在矩形ABCD中∠B=90°根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线∴EA=EC∴EA=C
解析：3 4
【分析】
根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，可得EA=EC，再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：在矩形ABCD中，∠B=90°，
根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴EA=CE=BC-BE=2-BE，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得222
EA AB BE
=+，
∴222
21
BE BE
-=+
（），
解得BE=3
4
，
故答案为3
4
．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
14．10【分析】连接对角线BD交AC于点O证四边形BDEG是平行四边形得EG＝BD利用勾股定理求出OD的长BD＝2OD即可求出EG【详解】解：连接BD 交AC于点O如图：∵菱形ABCD的边长为13cm∴A
解析：10
【分析】
连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG＝BD，利用勾股定理求出OD的长，BD＝2OD，即可求出EG．
【详解】
解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13cm，
∴AB//CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13cm，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴ EF//BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24cm，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝1
AC＝12cm，OB＝OD，
2
又∵AB//CD，EF//BD，
∴DE//BG，BD//EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13cm，CO＝12cm，
∴OB＝OD22
13125
-=cm，
∴BD＝2OD＝10cm，
∴EG＝BD＝10cm；
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
15．2【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O当OD⊥AB时OD最小即DE最小根据直角三角形勾股定理即可求解【详解】解：如图∵平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O又AB=AC=4
解析：2
【分析】
平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥AB时，OD最小，即DE最小，
根据直角三角形勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图
∵平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O ，又AB=AC=4
∴OC=OA=12
AC=2 当OD ⊥AB 时，OD 最小，即DE 最小．
∵OD ⊥BA ，∠BAC=45°，
∴∠AOD=45°
∴△ADO 为等腰直角三角形
在Rt △ADO 由勾股定理可知 OD= 222 ∴2
故答案为：2
【点睛】
本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，即平行四边形对角线互相平分，正确理解DE 最小值的条件是关键．
16．48【分析】连接由菱形的性质解得再根据勾股定理解得继而证明四边形为矩形得到根据垂线段最短解得当时有最小值最后根据三角形面积公式解题即可
【详解】连接四边形是菱形四边形为矩形当时有最小值此时的最小值为故 解析：4.8
【分析】
连接OP ，由菱形的性质解得118,622
BO BD OC AC ====，再根据勾股定理解得10BC =，继而证明四边形OEPF 为矩形，得到FE OP =，根据垂线段最短解得当OP BC ⊥时，OP 有最小值，最后根据三角形面积公式解题即可．
【详解】
连接OP ，
四边形ABCD 是菱形，12,16AC BD ==
,AC BD ∴⊥
118,622BO BD OC AC ==== 22643610BC OB OC ∴=+=+=
,,PE AC PF BD AC BD ⊥⊥⊥
∴四边形OEPF 为矩形，
FE OP ∴=
当OP BC ⊥时，OP 有最小值，
此时1122
OBC S OB OC BC OP =⋅=⋅ 68 4.810
OP ⨯∴== EF ∴的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
【点睛】
本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．18-【分析】过A 作AE ⊥y 轴于EAD ⊥x 轴于D 构造正方形AEOD 再证△AEB ≌△ADC （SAS ）得BE=CD 由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出
OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】
解析：18-a ．
【分析】
过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，构造正方形AEOD ，再证△AEB ≌△ADC （SAS ），得BE=CD ，由EB=EO-BO=9-a ，可求CD=9-a ，求出OC=OD+CD=9+9-a =18-a 即可．
【详解】
过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，
∵点()9,9A ，
AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，
四边形AEOD 为正方形，
∵AB AC ⊥，∠EAD=90°，
∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAE=∠CAD ，
∵AB AC =，AE=AD ，
∴△AEB ≌△ADC （SAS ），
∴BE=CD ，
∵EB=EO-BO=9-a ，
∴CD=9-a ，
OC=OD+CD=9+9-a =18-a ，
故答案为：18-a ．
【点睛】
本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．
18．5cm 或cm 或cm 【分析】利用勾股定理列式求出AB 然后分①点P 与点C 在AB 的两侧时AP 与BC 是对应边时四边形ACBP 是矩形然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP 与AC 是对应边时根据对称性可知AB ⊥P
解析：5cm 或245cm 或75cm ． 【分析】
利用勾股定理列式求出AB ，然后分①点P 与点C 在AB 的两侧时，AP 与BC 是对应边时，四边形ACBP 是矩形，然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP 与AC 是对应边时，根据对称性可知AB ⊥PC ，再利用三角形的面积列式计算即可得解；②点P 与点C 在AB 的同侧时，利用勾股定理求出BD ，再根据PC=AB-2BD 计算即可得解．
【详解】
解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，
由勾股定理得，2222435AB AC BC cm =
+=+=，
如图，
①点P 与点C 在AB 的两侧时，若AP 与BC 是对应边，则四边形ACBP 1是矩形，
∴P 1C=AB=5cm ，
若AP 与AC 是对应边，则△ABC 和△ABP 关于直线AB 对称，
∴AB ⊥PC
设AB 与P 2C 相交于点D ，则S △ABC =12×5•CD=12×3×4， 解得CD=125
， ∴P 2C=2CD=2×125=245
， ②点P 3与点C 在AB 的同侧时，
由勾股定理得，22221293()55
BD BC CD =-=-=， 过点P 3作P 3E ⊥AB ，垂足E ，连接P 3C ，如图，
则有12×5•P 3E=12
×3×4， ∴P 3E=
125
∴P 3E=CD 又P 3E ⊥AB ，CD ⊥AB ，
∴P 3E//CD ，
∴四边形P 3CDE 是平行四边形，
又∠CDE=90°
∴四边形P 3CDE 是矩形，
∴P 3C=DE
∵3P AB △≌ABC
∴P 3A=BC ，∠P 3AB=∠CBA
又∠P 3EA=∠CDB=90°
∴△P 3AE ≌△CBD
∴AE=BD
∴P 3C=AB-2BD=5-2×95=75
， 综上所述，PC 的长为5cm 或
245cm 或75cm ． 故答案为：5cm 或245
cm 或75cm ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，勾股定理，轴对称性，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
19．【分析】连接交于交于交于依据轴对称图形的性质即可得到的长进而得到正方形的面积【详解】解：如图连接交于交于交于正方形中有面积为4的正方形和面积为2的正方形又组成的图形为轴对称图形为对称轴为等腰直角三角 解析：279242+ 【分析】 连接BD ，交PQ 于R ，交HG 于S ，交EF 于K ，依据轴对称图形的性质，即可得到BD 的长，进而得到正方形ABCD 的面积．
【详解】
解：如图，连接BD ，交PQ 于R ，交HG 于S ，交EF 于K ，
正方形ABCD 中，有面积为4的正方形EFGH 和面积为2的正方形PQMN ， 2EH EF ∴==，2MQ QP ==，
又组成的图形为轴对称图形，
BD ∴为对称轴，
BEF ∴∆、DPQ ∆为等腰直角三角形，四边形EKSH 、四边形MSRQ 为矩形， 112EK BK EF ∴===，11222
DR QR PQ ===，2KN EH ==，2RS MQ ==， 1312223222BD ∴=+++
=+， ∴正方形ABCD 的面积22113279(32)222242BD ==⨯+
=+， 故答案为：279242
+．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
20．【分析】先由所对的直角边是斜边的一半求解再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案【详解】解：∠ACB ＝90°∠B ＝30°AC ＝2D 是斜边AB 中点故答案为：【点睛】本题考查的是含的直角三角形
解析：2.
【分析】
先由30所对的直角边是斜边的一半求解,AB 再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【详解】 解： ∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，
24AB AC ∴==，
D 是斜边AB 中点，
1 2.2
CD AB ∴== 故答案为：2.
【点睛】
本题考查的是含30的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
21．对，见解析
【分析】
设长方形的长为x ，则宽为4222
a x a x -=-，由长方形面积公式求得(2)S x a x =-长方形，2S a =正方形，由两者左侧
22(2)()0S S a x a x a x -=--=->正方形长方形，即S S >正方形长方形即可．
【详解】
解：小东同学的看法对，理由如下，
设长方形的长为x ，则宽为4222
a x a x -=-， 2x a x ≠-，
x a ∴≠，
长方形面积为：(2)S x a x =-长方形，
若铁丝围成正方形，则其边长为a ，
2S a =正方形，
∴()()2
222220S S a x a x a ax x a x -=--=-+=->正方形长方形， 即S S >正方形长方形，
所以正方形的面积较大．
小东同学认为围成一个正方形的面积较大．小东同学的看法对．
【点睛】
本题考查周长一定，围成的长方形中，正方形面积最大问题，掌握求长方形与正方形面积公式，作差后利用公式因式分解是解题关键．
22．（1）证明见解析；（2）7
【分析】
（1）根据角平分线的性质可得DBC DBE ∠=∠，再根据已知条件BE BC =，BD BD =，即可证明；
（2）根据（1）中结果，得2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒，即可求得ABD △的面积．
【详解】
（1）∵BD 平分ABC ∠，
∴DBC DBE ∠=∠，
∴在BDC 和BDE 中，
BD BD =，DBC DBE ∠=∠，BE BC =，
∴BDC ≌BDE ；
（2）∵BDC ≌BDE ，
∴2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒， ∴1172722
ABD S AB DE =
⋅=⨯⨯=△． 【点睛】
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握运用以上知识点．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可；
（2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可．
【详解】
证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形， ,//AD BC AD BC ∴=，
DAC BCA ∴∠=∠，
DAF BCE ∴∠=∠，
AE CF =，
AF EC ∴=，
在ΔFAD 和ΔECB 中，
AF CE FAD ECB AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ΔΔ()FAD ECB SAS ∴≅，
BE DF ∴=；
（2）
ΔΔFAD ECB ≅，
F E ∠=∠∴，
//BE DF ∴．
【点睛】 本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△FAD ≌△ECB 是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB ∥CD ，AB=CD ，又由点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，即可得CM=AN ，继而可判定四边形ANCM 是平行四边形，则可证得AM ∥CN ．
（2）由AM ∥CN ，BH ⊥AM ，点N 为边AB 的中点，可证得BH ⊥CN ，ME 是△BAH 的中位线，则可得CN 是BH 的垂直平分线，继而证得△BCH 是等腰三角形．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD 且AB CD =．
∵点M 、N 分别是边CD 、AB 的中点， ∴12CM CD =，1AN AB 2
=
． ∴CM AN =．
又∵AB ∥CD ，
∴四边形ANCM 是平行四边形
∴AM ∥CN ．
（2）设BH 与CN 交于点E ，
∵AM ∥CN ，BH ⊥AM ，
∴BH ⊥CN ，
∵N 是AB 的中点，
∴EN 是△BAH 的中位线，
∴BE=EH ，
∴CN 是BH 的垂直平分线，
∴CH=CB ，
∴△BCH 是等腰三角形．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
25．（1）见解析；（2）GH EF ⊥，见解析；（3）25︒
【分析】
（1）利用中位线性质得//EG AB ，且12
GE AB =，//HF AB ，且12HF AB =，可推出//EG HF ，且EG HF =，可证四边形EGFH 是平行四边形；
（2由G F 、分别是BD BC 、的中点，可得12GF CD =，由（1）知12GE AB =，由AB CD =，可证GE GF =，由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，可证四边形EGFH 是菱形即可；
（3）先证四边形EGFH 是平行四边形；再证四边形EGFH 是菱形，由EG ∥AB ，GF ∥CD ，可求∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°利用平角可求∠DGF=180°-∠BGF=110°，利用两角和求∠EGF=130°利用菱形性质求∠GEH=180°-∠EGF=50º，由FE 平分∠GEH ，∠GEF=25︒即可．
【详解】
证明：（1）E G 、分别是AD BD 、的中点，
//EG AB ∴，且12
GE AB =， 同理可证：//HF AB ，且12HF AB =
， //EG HF ∴，且EG HF =，
∴四边形EGFH 是平行四边形；
（2）GH EF ⊥，
理由：G F 、分别是BD BC 、的中点，
12
GF CD ∴=， 由（1）知12
GE AB =， 又AB CD =，
GE GF ∴=， 又四边形EGFH 是平行四边形，
∴四边形EGFH 是菱形，
GH EF ∴⊥；
（3）E G 、分别是AD BD 、的中点，F H 、分别是BC AC 、的中点，
//EG AB ∴，//HF AB ，12
GE AB =， //EG HF ∴，
同理可证//EH GF ，12GF CD =， ∴四边形EGFH 是平行四边形，
∵AB CD =，
GE GF ∴=，
∴四边形EGFH 是菱形，
20,70ABD BDC ∠=︒∠=︒，EG ∥AB ，GF ∥CD ，
∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，
∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，
∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，
∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，
∵FE 平分∠GEH ，
∴∠GEF=
11502522
GEH ∠=⨯︒=︒． 故答案为：25︒．
【点睛】 本题考查平行四边形，菱形判断与性质，求菱形内角，掌握平行四边形的判定方法，菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键．
26．（1）22.5︒；（2）见解析.
【分析】
（1）用正方形对角线平分对角，等腰三角形性质计算即可；
（2）借助正方形的性质，证明三角形全等，运用等角对等边证明即可.
【详解】
（1）∵ABCD 为正方形，∴45ABE ∠=︒．
又∵AB BE =，
∴()11804567.52
BAE ∠=⨯︒-︒=︒． ∴9067.522.5DAE ∠=︒-︒=︒
（2）证明：∵正方形ABCD 关于BD 对称，
∴ABE CBE △△≌，
∴BAE BCE ∠=∠．
又∵90ABC AEF ∠=∠=︒，
∴BAE EFC ∠=∠，
∠=∠，
∴BCE EFC
=．
∴CE EF
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，等腰三角形的判定，运用正方形的性质，证明三角形的全等是解题的关键.。