(优辅资源)版湖北省高一数学下学期第一次半月考试题

2015—2016学年下学期高一年级
第一次半月考数学试卷
考试时间：2016年3月3日
一．选择题（每小题5分，共12小题） 1．化简﹣+所得的结果是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． cos24°cos36°-cos66°co s54°的值等于( )
A ．0
B ．
C ．
D ．﹣
3．设是的相反向量，则下列说法错误的是（ ）
A ．与的长度必相等
B ．∥
C ．与一定不相等
D ．+= 4．已知角α顶点在原点，始边为x 轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点（m ，m ），
则sin2α=（ ） A ．±
43 B ．43 C ．±23 D ．2
3
5．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且
，则r+s 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．﹣3
D ．0 6．已知函数f （x ）=2cosx （sinx+cosx ），则下列说法正确的是( )
A ．f （x ）的最小正周期为π2
B ．f （x ）的图象关于直线8
π
=x 对称
C ．f （x ）的图象关于点)0,8(π
-
对称 D ． f （x ）的图象向左平移4
π
个单位长度后得到一个偶函数图象
7．已知31)6sin(=+πα，则=+)3
2cos(π
α（ ）
A ．98
B ．97
C ．98-
D ．9
7-
8．设︒
︒-=2sin 232cos 21a ,22tan141tan 14b ︒︒=
-，2
50cos 1︒-=c ，则有( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b 9．使函数f(x)=sin(2x+θ)+)2cos(3θ+x 是奇函数，且在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡4,0π上是减函数的θ的一个值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．为得到函数)3
2cos(π
+=x y 的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（ ）
A ．向左平移
65π个长度单位 B ．向右平移65π个长度单位 C ．向左平移125π个长度单位 D ．向右平移12
5π
个长度单位
11．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AC AB AM 4
1
43+=，则△ABM 与△ABC 的面
积之比等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知奇函数)(x f 在]0,1[-上为单调递减函数，又βα,为锐角三角形两内角，则（ ）
A ．)(cos )(cos βαf f >
B ．)(sin )(sin βαf f >
C ．)(cos )(sin βαf f >
D ．)(sin )(cos αβf f > 二．填空题（每小题5分，共4小题）
13．计算： =+︒
︒
1140cos 210sin 14．若[)π,0∈x ，则2
2
sin <
x 的x 取值范围为 15．已知f （x ）=x 2
+（sinθ﹣cosθ）x+si nθ（θ∈R）的图象关于y 轴对称，则θθ2cos 2sin +的值
为
16．给出下列命题：①存在实数α，使1cos sin =αα；②函数)2
3sin(x y +=π
是偶函数；③直线8
π=
x 是函数)24
5sin(
x y +=π
的一条对称轴；④若βα,是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >．⑤对于向量、、，若∥，∥，则∥；
其中正确命题的序号是
三．解答题（写出必要的文字叙述与解答过程，共70分）
17．（10分）已知)3tan()2
cos()23sin()cos()23cos()5sin()(παπ
απααππ
ααπα-⋅+⋅-
+⋅+
⋅-=
f
（1）化简)(αf ； （2）若α是第三象限角，且5
1
)23cos(=-απ，求)(αf 的值．
18．（12分）已知.2
0,71)sin(,1413sin π
αββαα<<<=-=
（1）求)2sin(βα-的值； （2）求β的值.
19．（12分）已知函数)0,0)(cos()sin(3)(><<+-+=
ωπϕϕωϕωx x x f 为偶函数，
且函数)(x f y =图象的两相邻对称轴间的距离为
2
π
． （Ⅰ）求)8
(π
f 的值；
（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．
20．（12分）已知21,e e 是平面内两个不共线的非零向量，212e e +=，
21e e λ+-=，212e e +-=，且A ，E ，C 三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）设点G 是ABC ∆的重心，请用21,e e 表示．
21．（12分）已知函数g （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，|φ|＜
2
π
，ω＞0）的图象如图所示，函x x x g x f 2sin 2
3
2cos 23)()(-+
= （1）如果)3
,6(,21π
π-
∈x x ，且g （x 1）=g （x 2），求g （x 1+x 2）的值；
（2）当]3
,6[π
π-
∈x 时，求函数f （x ）的最大值、最小值； （3）已知方程f （x ）﹣k=0在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0π上只有一解，则k 的取值集合．
22．（12分）已知定义在())(,00,-∞+∞U 上的奇函数()f x 满足(2)0f =,且在(),0-∞上
是增函数;又定义行列式
1214233
4
a a a a a a a a =-; 函数sin 3cos ()sin g m
θ
θ
θθ
-=
(其中
02
π
θ≤≤
)．
(1)求()2g π
的值； (2) 若函数()g θ的最大值为4，求m 的值;
(3) 若记集合{}|M m θ=>恒有g()0,[]{}|0N m f θ=<恒有g(),求N M ⋂．
参考答案：
1--------5 CBCDD 6-----------10 BBDBC 11---12 DD 13. 0 14. 15. 1 16.②③ ．
17. 解：（1）
=
=cosα．
（2）∵，∴，
又∵α为第三象限角，∴，∴．
18.解：（1）98355)2sin(=
-βα； （8分） （2）3
π
β= （4分） 19. 解：（Ⅰ）
==．
∵f（x ）为偶函数，∴对x∈R，f （﹣x ）=f （x ）恒成立，
∴．即
，整理得．
∵ω＞0，且x∈R，所以．
又∵0＜φ＜π，故．∴．
由题意得，所以ω=2．故f （x ）=2cos2x ．∴．
（Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横
坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到
的图象．
∴．
当（k∈Z），
即（k∈Z）时，g （x ）单调递减，
因此g （x ）的单调递减区间为（k∈Z）．
20. 解：（1）∵，，
∴==+=．
∵A ，E ，C 三点共线， ∴存在m∈R，使得，
∵， ∴=．
∵是平面内两个不共线的非零向量，
∴，∴，∴实数λ的值为．
（2）12542333
GE BA BC e e =-=-u u u r u u u r u u u r u r u u r
（借助AC 中点）
21. 解：（1）由图象得，A=1，2
T =
，则
，所以ω=2，
把点
代入得，sin （2×+φ）=0，则2×+φ=kπ，
解得（k∈Z），由﹣π＜ϕ＜0得，，所以，
因为，且g （x 1）=g （x 2），所以由图得，，
则；
（2）由（1）得，f （x ）=g （x ）+cos2x ﹣sin2x
==，
因为，所以，
当时，即时，y max =2，当时，即时，；
（3）由（2）得，f （x ）=，
因为x∈，所以∈，则，
即，
因为方程f （x ）﹣k=0在上只有一解，则k 的取值集合是（﹣，]∪{﹣2}．
22.
解(1)
2
2
()sin (3cos )cos cos 31g m m m θθθθθ=--=-+-+2
2(cos )3124m m m θ=--+-+
m g 31)2
(-=∴π
（2）[]0,cos 0,12πθθ⎡⎤
∈∴∈⎢⎥
⎣⎦
因为
()g θ的最大值只可能在cos 0(0)2m θ=≤,cos 1(1)2
m
θ=≥,cos (01)22m m θ=<<处取.
若cos 0θ=，()4g θ=，则有134,1m m -==-，此时1
22
m =-，符合; 若cos 1θ=，()4g θ=，则有24,2m m -==-,此时
12
m
=-，不符合;
若cos 2
m
θ=，()4g θ=，则有2314,64m m m -+==+6m =-
此时32m =+32m
=-不符合 . 1m ∴=- ．
(3) ()f x 是定义在())(,00,-∞+∞U 上的奇函数且满足(2)0f = (2)0f ∴-= 又()f x 在)((,0),0,-∞+∞上均是增函数, 由[]()0f g θ< 得()2g θ<-或2()0g θ>> 又{}|M m θ=>恒有g()0[]{}{}|0| g() 2 2>g()>0 N m f m θθθ=<=<-恒有g()恒有或
所以=⋂N M {}|2m θ<<恒有0g()
即不等式20cos cos 312m m θθ<-+-+<在0,2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立
当221cos (3cos )6(3cos )103cos 3cos m θθθθθ
----+-->=
-- 1010(3cos )()6(3cos )()63cos 3cos θθθθ⎡⎤
=---+=--++⎢⎥--⎣⎦
[][]0,,cos 0,1,3cos 2,32πθθθ⎡⎤
∈∴∈-∈⎢⎥⎣⎦
10197(3cos )(
)3cos 3θθ∴≥-+≥-，即101(3cos )(
)61,3cos 3θθ⎡⎤⎡
⎤--++∈--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣
⎦,此时1
3
m >-
当221cos (3cos )6(3cos )83cos 3cos m θθθθθ
---+--<=
-- 88(3cos )()6(3cos )()63cos 3cos θθθθ⎡⎤
=---+=--++⎢⎥--⎣
⎦
8
6(3cos )()3cos θθ∴≥-+≥-8(3cos )()60,63cos θθ⎡⎤
⎡--++∈-⎢⎥⎣-⎣
⎦,此时0m <
综上所得1
(,0)3
m ∈-。