2021-2022年高二数学上学期期末学分认定考试试题

2021-2022年高二数学上学期期末学分认定考试试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分； 共6页，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回。

参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式:
∑∑=-
=-
-∧
---=
n
i i n
i i i
x x y y x x
b 1
2
1
)()
)((=
12
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
x
nx
==--∑∑， .
样本数据，，，的方差:()()()[]
2222121x x x x x x n
s n -++-+-=
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．以，为直径端点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x、y、10、11、9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．以轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（）A．或 B． C．或 D．
4．圆上到直线的距离等于的点共有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．直线被椭圆所截得的弦的中点的坐标是（）
A． B． C． D．
6．在面积为的△的边上任取一点，则△的面积大于的概率是( ) A．B． C．D．
7．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三
年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（）
A．①、③都可能为分层抽样B．②、④都不能为分层抽样
C．①、②都可能为系统抽样 D．②、③都不能为系统抽样8．命题，命题，则下列正确的是( )
A．∨为真 B．∧为真 C．∨为假 D．为真
9．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的个数有（）个.
（1）命题：“指数函数在上是增函数”的非命题为真时，则；
（2）命题：“若，则中至少有一个不小于”的逆命题是真命题；
（3）命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”；
（4）已知，则“”是“曲线为双曲线”的充要条件.
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知直线与椭圆相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段
AB的长是（）
A． B． C． D．2
12．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面Array的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距
离．平面两两互相垂直，点，点到的距离都是，点是上
的动点，满足到的距离是点到点距离的倍，则点的轨迹
上的点到的距离的最小值为（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 请将答案填在答题卡
相应位置。

13．现有5根竹竿，它们的长度（单位：）分别为,,,,，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差的概率为 ．
14．已知是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为 ．
15．下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为. 在样本中记月收入在，[2000,2500),[2500,3000),[3000,3500),的人数依次为、
、……、．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量 ；图乙输出的 ．（用数字作答）
16．如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分
100150200250300350400
图
于七个点，是椭圆的一个焦点，则
1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知命题：方程所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆；
命题：实数满足不等式．
（Ⅰ）若命题为真，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
某产品的广告支出（单位：万元）与销售收入（单位：万元）之间有如下数据：
根据以上数据算得：4
4
1
1
138,418i i i i i y x y ====∑∑．
（Ⅰ）求出对的线性回归方程，并判断变量与之间是正相关还是负相关；（Ⅱ）若销售收入最少为144万元，则广告支出费用至少需要投入多少万元？19．（本小题满分12分）
已知圆，相互垂直的两条直线、都过点.
（Ⅰ）若圆心为的圆和圆外切且与直线相切，求圆的方程；
（Ⅱ）若、截圆所得的弦长均为，求的值.
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离
21．（本小题满分12分）
P
已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）直线，与圆相切且与抛物线交于不同的两点，，当为直角时，求△的面积．
22．(本小题满分12分)
已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
惠州市xx第一学期期末考试
高二数学试题 (理科）参考答案与评分标准 xx.1
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．【解析】AB 的中点（2，4）为圆心.故选A
2．【解析】由题,222221[(10)(10)(1010)(1110)(910)]2
5x y -+-+-+-+-=
解得，故，选D
3．【解析】设抛物线方程为，圆的圆心坐标为（1，-3），代入抛物线方程解得，所以抛物线的程为.
4．【解析】（x +1）2 + (y+2) 2 = 8，这是一个以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆，圆的圆心到直线
x + y + 1 = 0的距离为d==，画出（x +1）2 + (y+2) 2 = 8和直线x + y + 1 = 0以及
和x + y + 1 = 0的距离为的平行直线，可得与圆有三个交点，故选C 5．【解析】由消去y 得设方程两根为，
则弦的中点的横坐标为，故所求中点坐标为.
6．【解析】只需|PB|>,所以概率
7．【解析】①可以是系统抽样，也可以是分层抽样；②为分层抽样；③可以是系统抽样，也可以是分层抽样；④为系统抽样 8．【解析】命题p 真，命题q 假，故选A.
9．【解析】过点P 作PK 垂直于准线，垂足为K ，则|PF|+|PQ|=|PK|+|PQ|≥|KQ|当且仅当点Q ，P ，K 三点共线时等号成立，此时点P 的坐标为故选C. 10．【解析】（1）非命题为：“指数函数在上是减函数”，则;（2）否命题为：“若a+b<2，则a,b 都小于1”，为假命题，则逆命题假；（3）（4）为真.
11．【解析】由已知，1,2,2
2
1c ====
=b a a c e 所以，椭圆方程为。

联立方程组得所以.
12．【解析】由，并设,则点到面的距离为,点到的距离是,
由题意得：
2
22)00()3()3(2||-+-+-=y x x 化简得：
362433422
-+-=-x x y ）（
求得：，所以的最小值为.
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13． 14．16 15． (2分），（3分） 16．35
13【解析】从5根中选取2根一共10种，满足条件的有（2.5,2.8）,(2.6,2.9)
两种，所以长度恰好相差0.3m 的概率为.
14【解析】由于=164|)QF |-|QF (||)PF |-|PF (|1212==+a .
15【
解析】100005000008.04000=⨯=n ,
600040001000065432=-=++++=A A A A A S .
16【解析】由于a 2|F P |2|F P ||F P ||F P ||F P ||F P ||F P |4536271==+=+=+并且所以.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.（本小题满分10分）
解:（1）方程所表示的曲线为焦点 在x 轴上的椭圆
分3013 >+>-∴t t
解得：
(2)命题p 是命题q 的充分不必要条件
是不等式0))(1()1(2<-+=---a t t a t a t 的解的真子集......7分 法一：因方程0))(1()1(2=-+=---a t t a t a t 的两根为， (9)
分
故只需……10分
法二：令，因，故只需……9分
解得……10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）由表中数据得：
，
12284256
34.5
4
y
+++
==，……………2分
∴
4
1
422222
2
2
1
4
4184 2.534.5
14.6
(1234)4 2.5
4
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
=
=
-
-⨯⨯
===
+++-⨯
-
∑
∑
，……………5分
34.514.6 2.52
a y bx
=-=-⨯=-，…………………7分
∴ 线性回归方程为，且变量与之间是正相关；…………………9分
（2）依题意有：，解得：，………………11分
∴ 广告支出费用至少需投入10万元。

…………………12分
19．（本小题满分12分）
解: 圆即,圆心为,半径为.……1分
(Ⅰ)设圆的方程为 ……………………2分 依题意得222
1221(2)(2)2
r m r ⎧-=⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩………………3分
解得32m r ⎧=⎪⎨=⎪⎩
或32
m r ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………5分 ∴圆的方程为或.……6分
（Ⅱ）法一: 显然，、的斜率都是存在的，设，则……7分 则由题意，得圆心到直线、的距离均为………………8分 ∴ ，………10分
解得………………………11分
即,解得或 ………………………………………12分
法二: 设圆的圆心为，、被圆所截得弦的中点分别为，
则||||2
CE CF ===…………………………………8分 因为, 所以四边形是正方形，……………………………………9分
所以2||2||212AC CE ==⋅=……………11分 即,解得或 ………………………12分
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、
、、、、，
从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC …………4分
设的夹角为，则
,14
73723
||||cos ==⋅=PB AC θ ∴与所成角的余弦值为 …………6分
（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则，…………8分
由面可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧
=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.
0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x
即点的坐标为， 从而点到和的距离分别为 …………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1） 设抛物线方程为，由已知得：， ……2分 所以抛物线的标准方程为； ……3分 （Ⅱ）因为直线与圆相切，所以t t k k t 211|
1|222+=⇒=++， ……4分
把直线方程代入抛物线方程并整理得：， ……5分 由016)2(16161622>++=+=∆t t t t k 得或， ……6分 设，则 ……7分
22212122121)())((t t x x kt x x k t kx t kx y y =+++=++=∴ ……8分 ∵为直角∴，解得或（舍去）， ……9分 ∵)3)(1(4||1||22212t t k x x k MN ++=-+=， ……10分 点到直线的距离为， ……11分
∴7163234=+=∆t t S MON ． ……12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）由△是等腰直角三角形，得c 2＝2＝4, a 2＝8
故椭圆方程为 ……4分
（2）①若直线的斜率存在，设方程为，依题意．
设，，
由 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+,
,14822m kx y y x 得 ()222124280k x kmx m +++-=． ……6分 则2121222
428,1212km m x x x x k k -+=-=++． ……7分 由已知，可得，所以8222211=-++-+x m kx x m kx 即。

所以，整理得…………9分
故直线AB 的方程为2)2
1(,221-+=-+=x k y k kx y 即 所以直线AB 过定点…………10分
若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为，设 由已知，得，此时AB 方程为，显然过点。

综上所述，直线AB 过定点…………12分28377 6ED9 滙31502 7B0E 笎23381 5B55 孕 >v32395 7E8B 纋 21317 5345 卅M37753 9379 鍹Kt25167 624F 扏。