四川省成都市第七中学高考一轮复习提升竞赛数学讲义：10平面向量基础(含解析)

A10.平面向量基础
一、基础知识
1.在数学中,把既有大小,又有方向的量叫做向量.而把只有大小,没有方向的量叫做数量.
2.向量的基本运算.平行四边形法则,三角形法则.
3.平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使得1122.a e e λλ=+我们把不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
二、典型例题与基本方法
1.利用三角形法则或平行四边形法则求作向量的和
(1)如图,已知向量a ,b ,求作向量a +b . (2)若||4,||3a b ==,求a b +的取值范围.
2.化简()()AB DB CD BC +++=
3.已知正方形ABCD 的边长为1,,,,AB a BC b BD c ===则||a b c ++等于
4.设,,,O A B C 是平面内的四个点,OC mOA nOB =+.证明：若1m n +=,则,,A B C 三点共线,反之亦然.
5.已知向量()()()3,1,1,3,,7a b c k ===,若()//a c b -,则k =
6.12,e e 为基底向量,已知向量121212,2,33.AB e ke CB e e CD e e =-=-=-若,,A B D 三点共线, 则k 的值是
7.如图,四边形ABCD 是边长为1的正方形,延长CD 至E ,使得2DE CD =.动点P 从点A 出发, 按 A B C D E A -----沿梯形ABCE 运动一周回到A 点,
AP AB AE λμ=+.则λμ-的取值范围为
8.已知直角梯形ABCD 中,//,90,2,1,AD BC ADC AD BC P ∠=︒==是腰DC 上的动点, 则3PA PB +的最小值为
9.在平面直角坐标系中,O 为原点,()(()1,0,,3,0A B C -,动点D 满足1CD =, 则OA OB OD ++的最大值是
10.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为
2,3
π
点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC xOA yOB =+,其中,x y R ∈,则x y +的最大值是
11.平行四边形ABCD 中,3,2,120,AB AD BAD P ==∠=︒是平行四边形ABCD 内一点,且 1.AP = 若AP xAB y AD =+,则32x y +的最大值为
12.OAB ∆中,设a OA =,b OB =,且13OM a =,1
2
ON b =,点P 为AN 与BM 的交点,将OP 表示成a ,b 的线性组合.
13.已知O 是ABC ∆的外心,,4
C π
∠=
若,(,),OC mOA n R O n B m ∈=+求m n +的取值范围.
B10.练习 姓名：
1.(1)已知向量,,,求作a b c ++.
(2)若||1,||5a b ==.求||a b +的最大值和最小值.
2.若P 为ABC ∆的外心,且PA PB PC +=,则ABC ∆的内角C 等于
3.已知向量()()()1,2,2,3,,1a b c x ==-=,若c 与a b +平行,则x =
4.设向量23,42,32,m a b n a b p a b =-=-=+试用,m n 表示,p 则p =
5.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-,且a b a b +=-,则2a b +=
6.在扇形OAB 中,,3
AOB C π
∠=
为弧AB 上的一个动点.若OC xOA yOB =+,
则x y +的取值范围是
7.已知点O 是ABC ∆内一点,若230,OA OB OC ++=则OAB ∆的面积1S 与ABC ∆的面积2S 的比值
1
2
S S =
8.如图,正方形ABCD 中,M 是BC 的中点,若AC AM BD λμ=+,求λμ+的值.
A10.平面向量基础
一、基础知识
1.在数学中,把既有大小,又有方向的量叫做向量.而把只有大小,没有方向的量叫做数量.
2.向量的基本运算.平行四边形法则,三角形法则.
3.平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使得1122.a e e λλ=+我们把不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
二、典型例题与基本方法
1.利用三角形法则或平行四边形法则求作向量的和
(1)如图,已知向量a ,b ,求作向量a +b . (2)若||4,||3a b ==,求a b +的取值范围.
解：(1)法1如图,在平面内任取一点O ,作OA a =,OB b =. 由向量加法的平行四边形法则得OD a b =+.
法2如图,在平面内任取一点O ,作OA a =,AB b =, 则有向量加法的三角形法则有OB OA AB a b =+=+.
(2)由向量加法的几何意义(即三角形法则)知：
a b a b a b -≤+≤+,故|43|||43a b -≤+≤+,
所以||a b +的取值范围是[1,7].
当,a b 共线同向时||a b +取得最大值7,当||a b +共线反向时||a b +取得最小值1.
2.化简()()AB DB CD BC +++=
解：法1()()AB DB CD BC +++()()AB BC CD DB =+++.AC CB AB =+=
法2()()AB DB CD BC +++()0.AB BC CD DB AB AB =+++=+=
3.已知正方形ABCD 的边长为1,,,,AB a BC b BD c ===则||a b c ++等于 解：|| 2.a b c AB BD BC AD BC ++=++=+=
4.设,,,O A B C 是平面内的四个点,OC mOA nOB =+.证明：若1m n +=,则,,A B C 三点共线,反之亦然. 证明：若1m n +=,由OC mOA nOB =+及OC OA AC =+得OC OA AC mOA nOB =+=+, ∴(1)().AC m OA nOB nOA nOB n OB OA nAB =-+=-+=-= 所以,AC nAB =∴,,A B C 三点共线.
若,,A B C 三点共线,则存在非零常数,λ使得,AC AB λ=
即()AO OC AO OB λ+=+,∴(1)(1)OC AO OB OA OB λλλλ=-+=-+, 令1,m n λλ=-=,知1m n +=.∴当,,A B C 三点共线时1m n +=.
5.已知向量()()()3,1,1,3,,7a b c k ===,若()//a c b -,则k = 解：5
6.12,e e 为基底向量,已知向量121212,2,33.AB e ke CB e e CD e e =-=-=-若,,A B D 三点共线, 则k 的值是 解：2
7.如图,四边形ABCD 是边长为1的正方形,延长CD 至E ,使得2DE CD =.动点P 从点A 出发, 按 A B C D E A -----沿梯形ABCE 运动一周回到A 点,
AP AB AE λμ=+.则λμ-的取值范围为
解：设12,.AB e AD e ==21211(2)2.AE AD DE e e e e =+=+-=-12112(2)(2).AP AB AE e e e e e λμλμλμμ=+=+-=-+
若P 在线段AB 上,则0,[0,1],[0,1].μλλμ=∈-∈
若P 在线段BC 上,则12,[0,1].AP AB tBP e te t =+=+∈所以21,,t λμμ-==于是1[1,2].t λμ-=+∈ 若P 在线段CE 上,则12121123=(13),[0,1].AP AB BC CP e e tCE e e te t e e t =++=++=+--+∈ 所以213,1,t λμμ-=-=于是23[1,2].t λμ-=-∈-
若P 在线段AE 上,则0,[0,1].λμ=∈于是[1,0].λμμ-=-∈- 所以λμ-的取值范围为[1,2].-
8.已知直角梯形ABCD 中,//,90,2,1,AD BC ADC AD BC P ∠=︒==是腰DC 上的动点, 则3PA PB +的最小值为 解：5
9.在平面直角坐标系中,O 为原点,()(()1,0,,3,0A B C -,动点D 满足1CD =, 则OA OB OD ++的最大值是
解：1
10.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为
2,3
π
点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC xOA yOB =+,其中,x y R ∈,则x y +的最大值是
解：设OC 交AB 与M .则(1).OM OA OB λμλμ=++=设.OC tOM =于是,.x t y t λμ== 所以.OC
x y t OM
+==
则x y +的最大值是2. 11.平行四边形ABCD 中,3,2,120,AB AD BAD P ==∠=︒是平行四边形ABCD 内一点,且 1.AP = 若AP xAB y AD =+,则32x y +的最大值为 解：2
12.OAB ∆中,设a OA =,b OB =,且13OM a =,1
2
ON b =,点P 为AN 与BM 的交点,若OP 表示成a ,b 的线性组合.
解：设,MP mMB NP nNA ==,则OP OM MP OM mMB =+=+111
()(1).333
a m
b a m a mb =
+-=-+ OP ON NP ON nNA =+=+111
()(1)222
b n a b na n b =+-=+-,
所以1
(1)3m n -=且1(1)2m n =
-,从而21,55m n ==,所以1255
OP a b =+.
13.已知O 是ABC ∆的外心,,4
C π
∠=
若,(,),OC mOA n R O n B m ∈=+求m n +的取值范围.
解：C 在优弧AB 上,,(1).OC OA OB λμλμ'=++=
.OC tOC t OA t OB λμ'==+().m n t λμ+=+数形结合知道m n +
的取值范围为[
B10.练习 姓名：
1.(1)已知向量a ,b ,c ,求作a b c ++.
(2)若||1,||5a b ==.求||a b +的最大值和最小值. 解：(1)略 (2) [4,6].
2.若P 为ABC ∆的外心,且PA PB PC +=,则ABC ∆的内角C 等于 解：120︒.
3. 已知向量()()()1,2,2,3,,1a b c x ==-=,若c 与a b +平行,则x = 解：()1,5a b +=-,又//()c a b +,则1.5
x =-.
4.设向量23,42,32,m a b n a b p a b =-=-=+试用,m n 表示,p 则p = 解：设,p xm yn =+则32(23)(42)(24)(32).a b x a b y a b x y a x y b +=-+-=++--得243
.322
x y x y +=⎧⎨
--=⎩
解得7,4
13.8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
则713.48m p n -+
= 5.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-,且a b a b +=-,则2a b += 解：5
6.在扇形OAB 中,,3
AOB C π
∠=
为弧AB 上的一个动点.若OC xOA yOB =+,
则x y +的取值范围是
解：[1,
3
7.已知点O 是ABC ∆内一点,若230,OA OB OC ++=则OAB ∆的面积1S 与ABC ∆的面积2S 的比值
1
2
S S = 解：1.2
8.如图,正方形ABCD 中,M 是BC 的中点,若AC AM BD λμ=+,求λμ+的值. 解：1
,,2
AC AB AD AM AB BM AB AD BD AD AB =+=+=+
=-； 所以()
()122AC AM BD AB AD AD AB AB AD λλμλμλμμ⎛⎫⎛⎫
=+=++-=-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
所以由平面向量基本定理得1,
1,2
λμλ
μ-=⎧⎪
⎨+=⎪⎩53λμ+=.。