蒙特卡洛法对交通工程中排队现象的模拟
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& " % " &） （ （ " ! " &） ， （(） ! " ）# !&$ %!（ ’ （(） 式中， （ "& ’ " ； "） " 为平均车头时距， "& !& # " % " ， " " & 为最小车头时距。
间、 服务时间） 显示模拟结果， 在模拟程序设计时， 特地 加入了如下一些主要功能： 初始条件参数的设定； 主参 数的设定； 作图参数及作图类型的选择； 模拟数据的显 示等。 图 + 和图 , 是模拟程序运行结果的两个例子。下 面参照图 + 对上述功能作一简单介绍。
图, 多次 （+&& 次） 模拟结果
(
模拟程序
")!
初始条件参数的设定 作为模拟时的初始条件参数有以下五个： （’） 模拟
为了使人机对话更友好直观、 参数设置更简单方 万方数据 便， 同时为了能选择按不同的参数 （等待队长、 等待时
次数； （(） 干线车辆的最小车头时距； （+） 支线车辆的最
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次模拟的方法 （参见图 #） ； 第二种， 采用多次循环模拟 。 的方法 （参见图 !） 一般情况下， 我们通过对现实系统的模拟是想获 得表征系统在稳定状态下的评价指标。例如， 对于图 （这是一个随机系统） ， 我们想知道的 $ 所示排队系统 是支线车辆的平均等待队长、 平均等待时间或平均服 务时间 （统计量） 等。由于蒙特卡洛法是采用随机抽样 进行模拟的， 所以模拟得到的平均值 （估计值） 也是随 机的， 因此还有必要对该估计值与真值之间的误差作 出估计， 即蒙特卡洛法始终存在模拟精度问题。 另一方面， 对于一个随机系统， 由于模拟时初始条 件参数 （这些确定性参数往往与系统的实际运行状况 不符） 的设置会给系统的初始运行阶段带来一定的偏 差， 在模拟开始后的一段时间 （过渡区） 内， 系统处于非 稳定状态。所以， 在分析处理数据时， 应将过渡区内的 数据全部舍弃。 当按单次模拟方法进行模拟时， 如果将模拟时间 设置得充分长 （足以消除初始条件参数设置给系统带 来的偏差） ， 按概率论中的大数定律， 模拟数据的平均 值会趋近于真值。但是， 单次模拟方法存在一个缺点， 即按这种方法进行模拟后得到的时间历程曲线， 完全 不能反映出系统在何时进入稳定状态。即使模拟时间 取得再长， 理论上也难以确定系统达到稳定状态的时
四川工业学院学报
%’’$ 年
小车头时距； （!） 最小可接受 （可驶入） 空挡； （"） 驶入车 列的车头时距 （当干线车流中出现可同时接纳支线两 辆以上车辆驶入的较大车头时距时， 驶入车辆队列之 间的时间间隔） 。 图 # 中的 “选项” 下拉菜单中设有 “初始参数设定” 菜单项， 用鼠标点击可打开设置对话框， 在该对话框中 即可简单地对上述参数进行设置。 当程序刚起动运行时， 上述 " 个初始参数的默认 值分别为： （$） 模拟次数： （ %） 干线车辆的最小车 $ 次； （#） 支线车辆的最小车头时距： （ !） 头时距： % 秒； % 秒； （ "） 驶入车列的车头 最小可接受 （可驶入） 空挡： ! 秒； 时距： % 秒。 !&! 主参数的设定 模拟时的主参数有三个， 即： 模拟时间、 干线平均 车头时距 （干线车辆平均到达率的倒数） 、 支线平均车 头时距 （支线车辆平均到达率的倒数） 。 在图 # 的画面上方设有几个控件对象， 第一行从 左到右依次为设定 “模拟时间” 、 “ 干线平均车头时距” 和 “支线平均车头时距” 的文本框和调值按钮。用鼠标 点击调值按钮即可调整相应的参数， 也可在文本框中 直接输入所需的具体数值。 !&" 作图参数及作图类型的选择 可以选择的作图参数有三种， 即等待队长、 等待时 间、 服务时间。 从左到右分别是名为 “等待 在图 # 上方的第二行， 队长” “等待时间” 、 和 “服务时间” 三个单选钮， 用以选 择作图参数。当某一单选钮被选中时， 作图区域即按 该参数绘出模拟结果； 在图 # 的右上方， 从上到下分别 是 “分布图” 和 “折线图” 单选钮， 它们用以选择作图类 型， 可以将上述三个参数的模拟结果按分布图或折线 “等待队长” 图 （时间历程） 的方式显示。图 # 选择的是 和 “折线图” 单选钮， 所以作图区域按折线图方式显示 等待队长的模拟结果。 需要注意的是， 当模拟次数设定为两次以上时， 模 拟结果显示的将是上述三个参数的平均值的时间历程 图和分布图。图 ! 所示即为模拟次数为 #’’ 次时的平 均等待队长的时间历程图。 !&# 模拟数据的显示 在图 # 的右下方， 设有一 “数据” 按钮， 这个按钮只 有当模拟结束后才成为可用。它用以显示模拟结果的 详细数据列表， 如图 " 所示。 有时， 我们可能会想利用模拟得到的基础数据作 万方数据 此时， 一些进一步的分析， 可用图中右上方的 “复制” 按
"
值的再计算及其置信区间估计等精度分析的功能。 由 于篇幅限制这里不再赘述。 !(" 系统的其它评价指标 本程序可以得到的系统特性评价指标， 上面已经 提到了三个， 即平均等待队长： 平均等待时间： )* ； +* ； 平均服务时间： 除此之外， 模拟程序还计算系统空 +, 。 闲概率 -（支线路口无车辆等待的概率） 。 - " 是在计 " 算等待队长的分布过程中求得的， 所以正如前面介绍， 如果作图参数和作图类型选择的是 “等待队长”和 “分 布图” 单选钮， 那么在模拟结束后， 程序界面左下方汇 总显示各评价指标的方框内将显示出 - " 的值。 另外， 如有必要， 可用上述诸指标通过简单计算得 到系统的其它特性值。 例如： # /! $. +, ". 利用率!： （’） & & !& # / + $. ! , # 式中， 支线车辆的到达率， 服务率， 支线车辆 $. ： ". ： ! #： 的平均车头时距。 平均逗留时间 + ： + & + * 0 + , 平均队长 ) ： ) & ".+ & ) * & ".+ * & + $. ! （(） （)）
第 $" 卷第 ! 期
罗弟亚： 蒙特卡洛法对交通工程中排队现象的模拟
##
刻 （参见图 !） 。为了解决这一问题， 笔者在多次循环 模拟的方法中， 不是简单地将每次模拟的平均值再加 以平均， 而是按下述方法来处理的。 首先， 将模拟时间按秒为单位划分为一个个相等 的小区间， 然后对每一个小区间中的多次模拟数据取 平均值， 最后用小区间中的平均值在全区间范围内求 总平均值。 模拟次数为 " ， 模拟数据为 设每次模拟时间为 ! ， …， #（ #， $， !， ! $% $ & "，
microsoft公司的visualbasic语言是一种能在短时间内比较简单地完成windows应用程序的可视化编程工此次程序开发时使用了该语言的最新版本visualbasic模拟对象的数字模型模拟对象如图1所示即在无交通指挥信号的t型交叉路口支线车辆驶入干线时的排队等候问题干线上的车辆具有优先通行权不受支线车辆的影响支线上的车辆只有在干线车流中出现适当的车辆间隔时才能驶入
它不采用解析手段， 而是利用随机数或某种概率现象 模拟现实问题， 实验性地求得其解， 从而对现实问题进 行分析或作出预测。蒙特卡洛法是 !)(* 年由物理学 家冯 ・ 纽曼 （ 912 :3;<622 ） 等人在与核武器有关的研 究工作中首先提出的， 并以 “蒙特卡洛” 冠名 （蒙特卡洛 是世界著名赌城， 属摩纳哥公国） 。 排队问题， 可以一般性的描述为： “ 顾客需某种服 务到达服务窗口， 如果有窗口空闲， 即可立刻接受服务 并占用相应的服务时间。如果所有窗口都被其他顾客 占用， 则须排队等候” 。排队问题是 &" 世纪初由丹麦 在电话交换设备的规模 工程师爱尔朗 （ = . > . ?@7862A） 研究中提出的， 其后逐渐成为运筹学中的一个重要分 支即排队论， 现在在交通工程、 生产过程、 生物工程以 及通讯和计算机系统设计等领域有着广泛应用。 蒙特卡洛法和排队问题虽然从很早就有研究， 但 由于其计算量庞大， 特别是用蒙特卡洛法进行随机模 拟时， 哪怕为了提高一点精度， 计算量也会成倍甚至上 百倍地增加， 所以过去在实际应用中一直存在相当的 困难。近来随着计算机的大幅普及和高性能化， 我们 使用身边随处可见的个人电脑 （-5 ） 也能容易地进行 模拟计算了。 本文作者针对参考文献 ［ !］ 中介绍排队论模型时
模拟程序采用图形化窗口设计， 人机对话界面友好直观， 操作简单快捷， 对影响排队系统的各种参数 （平均车 头时距、 最小车头时距、 最小可接受空挡等） 能方便地自行设定， 对各统计量 （平均等待队长、 平均等待时间、 平 均服务时间） 的时间历程和分布也全都以图形方式显示， 所有模拟数据均可拷贝保存， 便于进一步做其他分 析。文中特别对模拟的计划实施和结果处理作了详细介绍。 关键词： 交通； 排队论； 随机模拟 中图分类号： ,!!*； +-’)! . %% 文献标识码： /
作者简介： 罗弟亚 （!)$’#） ， 男， 四川省雅安市人， 四川工业学院汽车产品试验站副研究员， 大学， 主要从事汽车试验及研究。
万方数据
第 (& 卷第 + 期
罗弟亚： 蒙特卡洛法对交通工程中排队现象的模拟
-
量为无限大， 并设车辆的到达服从泊松 （ !"#$$"% ） 分布。 当车辆的到达服从泊松分布时， 相邻两辆车的车头时 距服从指数分布， 即： （’） ! &） 式中， （也称为到达 ! 为单位时间的车辆平均到达数 率， 其值等于平等车头时距的倒数） 。 在 （’） 式所表达的指数分布中， 车头时距为 & 时的 概率密度最大。 由于车辆都具有一定的大小， 且在行驶 中必须保持一定的安全车间距离， 所以车头时距为 & 时的概率密度最大这一情况不符合实际。 因此， 应采用 如下原点偏移的指数分布来描述：
（ ! " ）# !
（" $ %!" ，
本程序对干线及支线车辆的车头时距均采用 （ (） 式所示指数分布。 ! ) " 窗口数 如图 ! 所示， * 型交叉路口只有一条支线 与干线相通， 窗口数为 ’， 即只有一条服务通道。
图’
* 型交叉路口的车辆驶入
图+
单次模拟结果
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排队规则
支线车辆排队长度无限制， 按先到先
收到日期： &"""#!!#"%
!
模拟对象的数字模型
模拟对象如图 ! 所示， 即在无交通指挥信号的 +
［!］ 型交叉路口， 支线车辆驶入干线时的排队等候问题
干线上的车辆具有优先通行权， 不受支线车辆的影响， 支线上的车辆只有在干线车流中出现适当的车辆间隔 时才能驶入。车辆之间的时间间隔称为车头时距， 支 线车辆到达路口时， 干线车辆车头时距的残余部分称 为空挡。当支线车辆到达路口后， 首先判断当前车头 时距或空挡是否能够驶入， 如不能， 则须等待下一个车 头时距。 一般情况下， 排队系统存在四个主要因素即： “顾 客” 到达规律、 提供服务的 “窗口” 数、 排队规则、 服务时 间， 对于图 ! 所示的排队系统， 四要素采用如下模型。 到达规律 ! " ! “顾客” “顾客” 这里指支线车辆。对道路上行驶的车辆而 言， 可以认为其数量无限， 即干线和支线车辆的总体容
图" 模拟数据
钮将数据复制到 ()*+,-. 的剪贴板中， 然后利用其它 工具或方法加以分析。例如， 可以将数据粘贴到电子 表格软件 /0123 中， 然后利用 /0123 提供的数理分析和 图表工具进行分析、 作图。
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关于模拟的几个问题
模拟的实行方案 本程序设计了两种模拟实行方案： 第一种， 采用单
!"#$%&’ "( )*+,#&% -%*./$0*12 "( )+*/%+/ &%3 4/+,%"’"52
文章编号：!"""#$%&& （&""!） "’#""’(#"$
蒙特卡洛法对交通工程中排队现象的模拟
罗弟亚
（四川工业学院汽车测试站， 四川 成都 *!""’)）
摘
要： 本文作者采用蒙特卡洛法对 + 型交叉路口支线车辆驶入干线时的排队现象进行随机模拟。
接受服务的原则， 即先到达交叉路口的车辆先驶入干 服务时间 这里所说的服务是指支线上排队等
待的车辆队列中的第一辆车对干线车流中的车头时距 或空挡作出判断， 然后开始驶入并最终汇入到干线车 流中。于是， 与之相对应的服务时间是指当支线车辆 队列中的某一辆车轮为第一辆时的时刻到其完全驶入 干线车流时所需的时间。 图 ’ 所示排队系统的等待时间及服务时间的定义 如图 ( 所示。
"
Байду номын сангаас
前言
蒙特卡洛 （ 01234 56781 ） 法是一种随机模拟方法，
提到的一个具体例子， 尝试开发了面向个人电脑使用 的模拟程序。模拟程序采用图形界面 （ B,C ） 编程方 法， 比原来的字符界面程序 （ DEF 程序） 在人机对话方 面显得更加友好直观， 操作设置也更为简单方便。 0G# H71I1J4 公司的 9GI;68 /6IGH 语言是一种能在短时间内 比较简单地完成 KG2L1MI 应用程序的可视化编程工 具， 此次程序开发时使用了该语言的最新版本 9GI;68 /6IGH * . "。
间、 服务时间） 显示模拟结果， 在模拟程序设计时， 特地 加入了如下一些主要功能： 初始条件参数的设定； 主参 数的设定； 作图参数及作图类型的选择； 模拟数据的显 示等。 图 + 和图 , 是模拟程序运行结果的两个例子。下 面参照图 + 对上述功能作一简单介绍。
图, 多次 （+&& 次） 模拟结果
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模拟程序
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初始条件参数的设定 作为模拟时的初始条件参数有以下五个： （’） 模拟
为了使人机对话更友好直观、 参数设置更简单方 万方数据 便， 同时为了能选择按不同的参数 （等待队长、 等待时
次数； （(） 干线车辆的最小车头时距； （+） 支线车辆的最
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次模拟的方法 （参见图 #） ； 第二种， 采用多次循环模拟 。 的方法 （参见图 !） 一般情况下， 我们通过对现实系统的模拟是想获 得表征系统在稳定状态下的评价指标。例如， 对于图 （这是一个随机系统） ， 我们想知道的 $ 所示排队系统 是支线车辆的平均等待队长、 平均等待时间或平均服 务时间 （统计量） 等。由于蒙特卡洛法是采用随机抽样 进行模拟的， 所以模拟得到的平均值 （估计值） 也是随 机的， 因此还有必要对该估计值与真值之间的误差作 出估计， 即蒙特卡洛法始终存在模拟精度问题。 另一方面， 对于一个随机系统， 由于模拟时初始条 件参数 （这些确定性参数往往与系统的实际运行状况 不符） 的设置会给系统的初始运行阶段带来一定的偏 差， 在模拟开始后的一段时间 （过渡区） 内， 系统处于非 稳定状态。所以， 在分析处理数据时， 应将过渡区内的 数据全部舍弃。 当按单次模拟方法进行模拟时， 如果将模拟时间 设置得充分长 （足以消除初始条件参数设置给系统带 来的偏差） ， 按概率论中的大数定律， 模拟数据的平均 值会趋近于真值。但是， 单次模拟方法存在一个缺点， 即按这种方法进行模拟后得到的时间历程曲线， 完全 不能反映出系统在何时进入稳定状态。即使模拟时间 取得再长， 理论上也难以确定系统达到稳定状态的时
四川工业学院学报
%’’$ 年
小车头时距； （!） 最小可接受 （可驶入） 空挡； （"） 驶入车 列的车头时距 （当干线车流中出现可同时接纳支线两 辆以上车辆驶入的较大车头时距时， 驶入车辆队列之 间的时间间隔） 。 图 # 中的 “选项” 下拉菜单中设有 “初始参数设定” 菜单项， 用鼠标点击可打开设置对话框， 在该对话框中 即可简单地对上述参数进行设置。 当程序刚起动运行时， 上述 " 个初始参数的默认 值分别为： （$） 模拟次数： （ %） 干线车辆的最小车 $ 次； （#） 支线车辆的最小车头时距： （ !） 头时距： % 秒； % 秒； （ "） 驶入车列的车头 最小可接受 （可驶入） 空挡： ! 秒； 时距： % 秒。 !&! 主参数的设定 模拟时的主参数有三个， 即： 模拟时间、 干线平均 车头时距 （干线车辆平均到达率的倒数） 、 支线平均车 头时距 （支线车辆平均到达率的倒数） 。 在图 # 的画面上方设有几个控件对象， 第一行从 左到右依次为设定 “模拟时间” 、 “ 干线平均车头时距” 和 “支线平均车头时距” 的文本框和调值按钮。用鼠标 点击调值按钮即可调整相应的参数， 也可在文本框中 直接输入所需的具体数值。 !&" 作图参数及作图类型的选择 可以选择的作图参数有三种， 即等待队长、 等待时 间、 服务时间。 从左到右分别是名为 “等待 在图 # 上方的第二行， 队长” “等待时间” 、 和 “服务时间” 三个单选钮， 用以选 择作图参数。当某一单选钮被选中时， 作图区域即按 该参数绘出模拟结果； 在图 # 的右上方， 从上到下分别 是 “分布图” 和 “折线图” 单选钮， 它们用以选择作图类 型， 可以将上述三个参数的模拟结果按分布图或折线 “等待队长” 图 （时间历程） 的方式显示。图 # 选择的是 和 “折线图” 单选钮， 所以作图区域按折线图方式显示 等待队长的模拟结果。 需要注意的是， 当模拟次数设定为两次以上时， 模 拟结果显示的将是上述三个参数的平均值的时间历程 图和分布图。图 ! 所示即为模拟次数为 #’’ 次时的平 均等待队长的时间历程图。 !&# 模拟数据的显示 在图 # 的右下方， 设有一 “数据” 按钮， 这个按钮只 有当模拟结束后才成为可用。它用以显示模拟结果的 详细数据列表， 如图 " 所示。 有时， 我们可能会想利用模拟得到的基础数据作 万方数据 此时， 一些进一步的分析， 可用图中右上方的 “复制” 按
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值的再计算及其置信区间估计等精度分析的功能。 由 于篇幅限制这里不再赘述。 !(" 系统的其它评价指标 本程序可以得到的系统特性评价指标， 上面已经 提到了三个， 即平均等待队长： 平均等待时间： )* ； +* ； 平均服务时间： 除此之外， 模拟程序还计算系统空 +, 。 闲概率 -（支线路口无车辆等待的概率） 。 - " 是在计 " 算等待队长的分布过程中求得的， 所以正如前面介绍， 如果作图参数和作图类型选择的是 “等待队长”和 “分 布图” 单选钮， 那么在模拟结束后， 程序界面左下方汇 总显示各评价指标的方框内将显示出 - " 的值。 另外， 如有必要， 可用上述诸指标通过简单计算得 到系统的其它特性值。 例如： # /! $. +, ". 利用率!： （’） & & !& # / + $. ! , # 式中， 支线车辆的到达率， 服务率， 支线车辆 $. ： ". ： ! #： 的平均车头时距。 平均逗留时间 + ： + & + * 0 + , 平均队长 ) ： ) & ".+ & ) * & ".+ * & + $. ! （(） （)）
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罗弟亚： 蒙特卡洛法对交通工程中排队现象的模拟
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它不采用解析手段， 而是利用随机数或某种概率现象 模拟现实问题， 实验性地求得其解， 从而对现实问题进 行分析或作出预测。蒙特卡洛法是 !)(* 年由物理学 家冯 ・ 纽曼 （ 912 :3;<622 ） 等人在与核武器有关的研 究工作中首先提出的， 并以 “蒙特卡洛” 冠名 （蒙特卡洛 是世界著名赌城， 属摩纳哥公国） 。 排队问题， 可以一般性的描述为： “ 顾客需某种服 务到达服务窗口， 如果有窗口空闲， 即可立刻接受服务 并占用相应的服务时间。如果所有窗口都被其他顾客 占用， 则须排队等候” 。排队问题是 &" 世纪初由丹麦 在电话交换设备的规模 工程师爱尔朗 （ = . > . ?@7862A） 研究中提出的， 其后逐渐成为运筹学中的一个重要分 支即排队论， 现在在交通工程、 生产过程、 生物工程以 及通讯和计算机系统设计等领域有着广泛应用。 蒙特卡洛法和排队问题虽然从很早就有研究， 但 由于其计算量庞大， 特别是用蒙特卡洛法进行随机模 拟时， 哪怕为了提高一点精度， 计算量也会成倍甚至上 百倍地增加， 所以过去在实际应用中一直存在相当的 困难。近来随着计算机的大幅普及和高性能化， 我们 使用身边随处可见的个人电脑 （-5 ） 也能容易地进行 模拟计算了。 本文作者针对参考文献 ［ !］ 中介绍排队论模型时
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万方数据
第 (& 卷第 + 期
罗弟亚： 蒙特卡洛法对交通工程中排队现象的模拟
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量为无限大， 并设车辆的到达服从泊松 （ !"#$$"% ） 分布。 当车辆的到达服从泊松分布时， 相邻两辆车的车头时 距服从指数分布， 即： （’） ! &） 式中， （也称为到达 ! 为单位时间的车辆平均到达数 率， 其值等于平等车头时距的倒数） 。 在 （’） 式所表达的指数分布中， 车头时距为 & 时的 概率密度最大。 由于车辆都具有一定的大小， 且在行驶 中必须保持一定的安全车间距离， 所以车头时距为 & 时的概率密度最大这一情况不符合实际。 因此， 应采用 如下原点偏移的指数分布来描述：
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摘
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接受服务的原则， 即先到达交叉路口的车辆先驶入干 服务时间 这里所说的服务是指支线上排队等
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蒙特卡洛 （ 01234 56781 ） 法是一种随机模拟方法，
提到的一个具体例子， 尝试开发了面向个人电脑使用 的模拟程序。模拟程序采用图形界面 （ B,C ） 编程方 法， 比原来的字符界面程序 （ DEF 程序） 在人机对话方 面显得更加友好直观， 操作设置也更为简单方便。 0G# H71I1J4 公司的 9GI;68 /6IGH 语言是一种能在短时间内 比较简单地完成 KG2L1MI 应用程序的可视化编程工 具， 此次程序开发时使用了该语言的最新版本 9GI;68 /6IGH * . "。