[试卷合集3套]天津市2018年九年级上学期数学期末适应性试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx+c ＝0的两根分别为－3和1；④a －2b+c≥0，其中正确的命题是（ ）
A ．①②③
B ．①④
C ．①③
D ．①③④
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x=-1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x 轴的另一个交点为（-3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x=-1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断；根据a 、c 的符号，以及对称轴可对④做出判断；最后综合得出答案．
【详解】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，过（1，0）点， 把（1，0）代入y=ax 2+bx+c 得，a+b+c=0，因此①正确； 对称轴为直线x=-1，即：12b
a
-
=-整理得，b=2a ，因此②不正确； 由抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）（-3，0），因此方程ax 2+bx+c=0的两根分别为-3和1；故③是正确的；
由a ＞0，b ＞0，c ＜0，且b=2a ，则a-2b+c=a-4a+c=-3a+c ＜0，因此④不正确； 故选：C ． 【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系，能够根据开口判断a 的符号，根据与x 轴，y 轴的交点判断c 的值以及b 用a 表示出的代数式是解题的关键． 2．如图放置的几何体的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示．
【详解】解：左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示． 故选C ． 【点睛】
本题考查简单组合体的三视图． 3．在△ABC 中，若tanA ＝1，sinB ＝，你认为最确切的判断是( )
A ．△ABC 是等腰三角形
B ．△AB
C 是等腰直角三角形 C ．△ABC 是直角三角形
D ．△ABC 是一般锐角三角形
【答案】B
【分析】试题分析：由tanA=1，2
结合特殊角的锐角三角函数值可得∠A 、∠B 的度数，即可判断△ABC 的形状.
【详解】∵tanA=1，sinB=22
∴∠A=45°，∠B=45° ∴△ABC 是等腰直角三角形 故选B.
考点：特殊角的锐角三角函数值
点评：本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
4．已知M(1，2)，则M 关于原点的对称点N 落在（ ） A ．2y x =的图象上 B ．2y x 的图象上 C ．22y x =的图象上 D ．2y x =+的图象上
【答案】A
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数得出N 的坐标，再根据各函数关系式进行判断即可．
【详解】点M （1，2）关于原点对称的点N 的坐标是（-1，-2）， ∴当x=-1时，对于选项A ，y=2×(-1)=-2，满足条件，故选项A 正确； 对于选项B ，y=(-1)2=1≠-2故选项B 错误； 对于选项C ，y=2×(-1)2=2≠-2故选项C 错误； 对于选项 D ，y=-1+2=1≠-2故选项D 错误． 故选A ． 【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，以及函数图象上点的坐标特征，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
5．为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用水量进行统计，结果如下表：
则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是（ ） A ．中位数是5 B ．平均数是5
C ．众数是6
D ．方差是6
【答案】C
【分析】根据中位数的定义、平均数的公式、众数的定义和方差公式计算即可.
【详解】解：A 、按大小排列这组数据，第10，11个数据的平均数是中位数，（6+6）÷2＝6，故本选项错误；
B 、平均数＝（4×4+5×5+6×7+8×3+13×1）÷20＝6，故本选项错误；
C 、6出现了7次，出现的次数最多，则众数是6，故本选项正确；
D 、方差是：S 2＝1
20
[4×（4﹣6）2+5×（5﹣6）2+7×（6﹣6）2+3×（8﹣6）2+（13﹣6）2]＝4.1，故本选项错误； 故选C ． 【点睛】
此题考查的是中位数、平均数、众数和方差的算法，掌握中位数的定义、平均数的公式、众数的定义和方差公式是解决此题的关键.
6．点()34P -，
到x 轴的距离是（ ） A ．3 B ．3-
C ．4
D ．4-
【答案】C
【分析】根据点的坐标的性质即可得.
【详解】由点的坐标的性质得，点P 到x 轴的距离为点P 的纵坐标的绝对值
则点()34P -，
到x 轴的距离是44-= 故选：C. 【点睛】
本题考查了点的坐标的性质，掌握理解点的坐标的性质是解题关键.
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-4x+4的图像与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点，正方形ABCD 的顶点C,D 在第一象限，顶点D 在反比例函数()y 0k
k x
=
≠ 的图像上，若正方形ABCD 向左平移n 个单位后，顶点C 恰好落在反比例函数的图像上，则n 的值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【分析】由一次函数的关系式可以求出与x 轴和y 轴的交点坐标，即求出OA ，OB 的长，由正方形的性质，三角形全等可以求出DE 、AE 、CF 、BF 的长，进而求出G 点的坐标，最后求出CG 的长就是n 的值． 【详解】如图过点D 、C 分别做DE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴，垂足分别为E,F ．
CF 交反比例函数的图像于点G ． 把x=0和y=0分别代入y=-4x+4 得y=4和x=1 ∴A(1,0),B(0,4) ∴OA=1，OB=4
由ABCD 是正方形，易证 △AOB ≌△DEA ≌△BCF （AAS ） ∴DE=BF=OA=1,AE=CF=OB=4 ∴D(5，1)，F(0,5)
把D 点坐标代入反比例函数y=k
x
，得k=5 把y=5代入y=
5
x
,得x=1,即FG=1 CG=CF-FG=4-1=3,即n=3 故答案为B ． 【点睛】
本题考查了反比例函数的图像上的坐标特征，正方形的性质，以及全等三角形判断和性质，根据坐标求出线段长是解决问题的关键． 8．若反比例函数()1
10a y a x x
-=
><，图象上有两个点()()1122,,x y x y ，，设()1212()m x x y y =--，则 y mx m =-不经过第( )象限．
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
【答案】C
【分析】利用反比例函数的性质判断出m 的正负，再根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：∵()1
10a y a x x
-=><，， ∴a-1＞0， ∴()1
10a y a x x
-=
><，图象在三象限，且y 随x 的增大而减小， ∵图象上有两个点（x 1，y 1），（x 2，y 2），x 1与y 1同负，x 2与y 2同负， ∴m=（x 1-x 2）（y 1-y 2）＜0，
∴y=mx-m 的图象经过一，二、四象限，不经过三象限， 故选：C ． 【点睛】
本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．如图，A 为反比例函数y=
k
x
的图象上一点，AB 垂直x 轴于B ，若S △AOB =2，则k 的值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．﹣2
D ．1
【答案】A
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S=
1
2
|k|． 【详解】由于点A 是反比例函数图象上一点,则S △AOB =1
2
|k|=2； 又由于函数图象位于一、三象限，则k=4. 故选A. 【点睛】
本题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k 的几何意义．
10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠CDB ＝25°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 的度数为（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【答案】A
【分析】首先连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，又由圆周角定理，可求得∠COB的度数，继而可求得答案．
【详解】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
即∠OCE＝90°，
∵∠COB＝2∠CDB＝50°，
∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线性质，三角形的外角性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】由图象与x轴有交点，可以推出b2-4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由对称轴为x==-1可以判定②错误；由x=-1时，y>0，可知③错误．把x＝1，x＝﹣3代入解析式，整理可知④正确，然后即可作出选
【详解】①∵图象与x轴有交点，对称轴为x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，故本选项正确，
②∵对称轴为x＝＝﹣1，
∴2a＝b，
∴2a-b＝0，
故本选项错误，
③由图象可知x＝﹣1时，y>0，∴a﹣b+c>0，故本选项错误，
④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，
两边相加整理得5a+c＝b，
∵c>0,
即5a＜b，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与各系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
12．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）
A．3B．（3m C．4 m D．（3）m
【答案】B
【解析】如图，由平移的性质可知，楼梯表面所铺地毯的长度为：AC+BC，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2m，
∴AB=2BC=4m，
∴22
-=
4223
+（m）.
∴AC+BC=423
点睛：本题的解题的要点是：每阶楼梯的水平面向下平移后刚好与AC重合，每阶楼梯的竖直面向右平移后刚好可以与BC重合，由此可得楼梯表面所铺地毯的总长度为AC+BC.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝_____．
【答案】100°
【分析】根据旋转角可得∠CAE=40°，然后根据∠BAE=∠BAC+∠CAE，代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，
∴∠CAE=40°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+40°=100°．
故答案是：100°．
【点睛】
考查了旋转的性质，解题的关键是运用旋转的性质（图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等）得出∠CAE=40°．
14．如图，已知∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE，AD＝3，AE＝2，CE＝4，则BD为_____．
【答案】1
【解析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵∠BAD ＝∠CAE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ， ∵∠ABC ＝∠ADE ， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴
AB AD ＝AC
AE
， ∴
AB AD
AC AE
=， ∴△ABD ∽△ACE ，
∴
BD AD
CE AE =， ∴3
42
BD =， ∴BD ＝1， 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质定理，找对应角或对应边的比值是解题的关键. 15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：
下面有四个论断：
①抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，
； ②240b ac -=；
③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．
其中，正确的有___________________． 【答案】①③．
【解析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可. 【详解】由二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），y 与x 的部分对应值可知：
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x 轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；
∴①抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；
②b 2﹣4ac ＝0，结论错误，应该是b 2﹣4ac>0；
③关于x 的方程ax 2+bx+c ＝﹣2的解为x 1＝1，x 2＝3，结论正确； ④m ＝﹣3，结论错误，
∴其中，正确的有. ①③
故答案为：①③ 【点睛】
本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键. 16．如图，在平面直角坐标系中，函数y kx =与2
y x
=-的图象交 于,A B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函数4
y x
=
的图象于点C ,连接BC ，则ABC ∆的面积为_______.
【答案】6
【分析】根据正比例函数y=kx 与反比例函数2
y x
=-
的图象交点关于原点对称，可得出A 、B 两点坐标的关系，根据垂直于y 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A 、C 两点坐标的关系，设A 点坐标为（x ，
-2x
），表示出B 、C 两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】∵正比例函数y=kx 与反比例函数2
y x
=-的图象交点关于原点对称，
∴设A 点坐标为(x,−2x ),则B 点坐标为(−x, 2x ),C(−2x,−2
x
)，
∴S ABC =1
2×(−2x−x)⋅(− 2x −2x )=12×(−3x)⋅(−4x
)=6.
故答案为6. 【点睛】
此题考查正比例函数的性质与反比例函数的性质，解题关键在于得出A 、C 两点.
17．如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，⊙O 是△ABC 的内切圆，现将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，点F ，G 分别在AD ，BC 上，连结OG ，DG ，若OG ⊥DG ，且⊙O 的半径长为1，则BC+AB 的值______．
【答案】4+23
【分析】如图所示：设圆O 与
BC 的切点为M ，连接OM ．由切线的性质可知OM ⊥BC ，然后证明△OMG ≌△GCD ，得到OM=GC=3，CD=GM=BC ﹣BM ﹣GC=BC ﹣3．设AB=a ，BC=a+3，AC=3a ，从而可求得∠ACB=20°，从而得到
3
3
AB BC =
，故此可求得AB=31+，则BC=3+2．求得AB+BC=4+23． 【详解】解：解：如图所示：设圆0与BC 的切点为M ，连接OM ．
∵BC 是圆O 的切线，M 为切点， ∴OM ⊥BC ．
∴∠OMG=∠GCD=90°． 由翻折的性质可知：OG=DG ． ∵OG ⊥GD ，
∴∠OGM+∠DGC=90°． 又∵∠MOG+∠OGM=90°， ∴∠MOG=∠DGC ． 在△OMG 和△GCD 中，
90OMG DCG MOG DGC OG DG ∠=∠=︒
⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△OMG ≌△GCD ． ∴OM=GC=3．
CD=GM=BC-BM-GC=BC-3． ∵AB=CD ， ∴BC-AB=3．
设AB=a ，则BC=a+3． ∵圆O 是△ABC 的内切圆， ∴AC=AB+BC-3r ． ∴AC=3a ． ∴
1
2
AB AC =． ∴∠ACB=20°．
∴31,233AB BC AB =+=+=+，
∴423AB BC +=+． 故答案为：423+．
考点：3、三角形的内切圆与内心；3、矩形的性质；2、翻折变换（折叠问题）
18．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，E 、F 分别为AC 、AD 上两动点，连接CF 、EF ，则CF ＋EF 的最小值为_____．
【答案】
245
【分析】作BM ⊥AC 于M ，交AD 于F ，根据三线合一定理求出BD 的长和AD ⊥BC ，根据三角形面积公式求出BM ，根据对称性质求出BF ＝CF ，根据垂线段最短得出CF ＋EF ≥BM ，即可得出答案． 【详解】作BM ⊥AC 于M ，交AD 于F ，
∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝DC ＝3，AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ， ∴B 、C 关于AD 对称， ∴BF ＝CF ，
根据垂线段最短得出：CF ＋EF ＝BF ＋EF ≥BF ＋FM ＝BM ， 即CF ＋EF ≥BM ， ∵S △ABC ＝12×BC ×AD ＝1
2
×AC ×BM ， ∴BM ＝
6424
55BC AD AC
，
即CF ＋EF 的最小值是24
5
，
故答案为：24
5
．
【点睛】
本题考查了轴对称−最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y ＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D 的坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(
3
2
-，
15
4
)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，
D3(﹣2，﹣7)．
【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；
(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P 的坐标；
(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．
【详解】解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
∴点A(1，0)，
∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，
∴
30
9330
a b
a b
++
⎧
⎨
-+
⎩
＝
＝
，解得：
1
2
a
b
-
⎧
⎨
-
⎩
＝
，
＝
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，
∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，
∴
223
1
y x x
y x
⎧--+
⎨
-
⎩
＝
＝
，解得：1
1
4
5
x
y
-
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
，2
2
1
x
y
＝
，
＝
⎧
⎨
⎩
∴点B(﹣4，﹣5)，
如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，则点F(m，m﹣1)，
∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA
＝1
2
(﹣m2﹣
3m+4)(m+4)+
1
2
(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)
＝-
5
2
（m+
3
2
）2+
125
8
，
∴当m＝
3
2
-时，P最大，
∴点P(
3
2
-，
15
4
).
(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴点E(﹣1，﹣2)，
如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，联立
53
3
y x
y x
+
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
得D1(0，3)，
同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，
综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解． 20．如图，已知抛物线y ＝﹣2
14
x +bx+4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为A （﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C 的坐标，连接AC 、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-14x 2+32
x+2，x=1；（2）C （0，2）；y=−1
2x+2；（1）Q 1（1，0），Q 2（1，11），Q 1（1，
11）．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=−
2b
a
求出对称轴方程； （2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C 坐标；令y=0，可求出点B 坐标．再利用待定系数法求出直线BD 的解析式；
（1）本问为存在型问题．若△ACQ 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-14
x 2
+bx+2的图象经过点A （-2，0）， ∴-
1
4
×（-2）2+b×（-2）+2=0，
解得：b=
32
， ∴抛物线解析式为 y=-14x 2+3
2
x+2， 又∵y=-14x 2+32x+2=-14（x-1）2+25
4
，
∴对称轴方程为：x=1． （2）在y=-
14x 2+3
2
x+2中，令x=0，得y=2， ∴C （0，2）； 令y=0，即-
14x 2+3
2
x+2=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2， ∴A （-2，0），B （8，0）． 设直线BC 的解析式为y=kx+b ，
把B （8，0），C （0，2）的坐标分别代入解析式，得：
804k b b +=⎧⎨
=⎩
， 解得124
k b ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的解析式为：y=−
1
2
x+2． ∵抛物线的对称轴方程为：x=1， 可设点Q （1，t ），则可求得：
==
=
i ）当AQ=CQ
25+t 2=t 2-8t+16+9， 解得t=0， ∴Q 1（1，0）；
ii ）当AC=AQ
=t 2=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ 不能构成等腰三角形； iii ）当AC=CQ
=， 整理得：t 2-8t+5=0，
解得：t=2±11，
∴点Q坐标为：Q2（1，2+11），Q1（1，2-11）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（1，0），Q2（1，2+11），Q1（1，2-11）．
【点睛】
本题考查二次函数综合题，综合性较强，有一定难度，注意分类讨论是本题的解题关键．
21．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+1；（2）当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，1）．
【解析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，得到△EFC∽△EMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO
OB
OA
==1，∴OB＝1OA＝1．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝1，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0），代入解析式为
930
3
a b c
a b c
c
++=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪=
⎩
，解得：
1
2
3
a
b
c
=-
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=
⎩
，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1；
（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x+1，∴对称轴为l 2b
a
=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：
①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；
②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴
1
3
EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝1ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t+1）．
∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t+1，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t+1＝1（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝1（与t ＜0矛盾，舍去）．
当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+1＝1，∴P （﹣2，1）．
综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，1）． 【点睛】
本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝1ME ． 22．已知y 是x 的反比例函数，下表给出了x 与y 的一些值．
x
… -4 -2 -1 1 3 4 … y
…
-2
6
3
…
（1）求出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表；
（3）根据上表，在下图的平面直角坐标系中作出这个反比例函数的图象．
【答案】（1）y=6
x
；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）将x=1，y=6代入反比例函数解析式即可得出答案；
（2）根据（1）求出的解析式分别代入表中已知的数据求解即可得出答案；（3）根据（2）中给出的数据描点连线即可得出答案.
【详解】解：（1）∵y是x的反比例函数
∴设y =k x
∵当x=1时，y=6 ∴6=k
∴这个反比例函数的表达式为
6
y
x =.
（2）完成表格如下：
x …-3 2 …
y …-1.5 -3 -6 2 1.5 …
（3）这个反比例函数的图象如图：
【点睛】
本题考查的是反比例函数，比较简单，需要熟练掌握画函数图像的方法.
23．如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
()1求证：ACF GCA
∽；
()2求12
∠+∠的度数．
【答案】（1）见解析；（2）45°.
【分析】（1）设正方形的边长为a，求出AC2a，再求出△ACF与△GCA中∠ACF的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF与△GCA相似；（2）根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，
∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°． 【详解】()1设正方形的边长为a ，则AC 2a =，
∴
CF AC 2
AC CG 2
==
， 又∵ACF GCA ∠∠=， ∴ACF GCA ∽；
()2解：由()1得：
ACF GCA ∽，
∴1CAF ∠∠=，
∴12CAF 2ACB 45∠∠∠∠∠+=+==． 【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解题关键． 24．如图所示，直线y=12x+2与双曲线y=k
x
相交于点A(2，n)，与x 轴交于点C ． (1)求双曲线解析式；
(2)点P 在x 轴上，如果△ACP 的面积为5，求点P 的坐标.
【答案】（1）6y x =；（2）（23-，0）或22,03⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【分析】（1）把A 点坐标代入直线解析式可求得n 的值，则可求得A 点坐标，再把A 点坐标代入双曲线解析式可求得k 的值，可求得双曲线解析式；
（2）设P （x ，0），则可表示出PC 的长，进一步表示出△ACP 的面积，可得到关于x 的方程，解方程可求得P 点的坐标．
【详解】解：（1）把A （2，n ）代入直线解析式得：n=3， ∴A （2，3），
把A 坐标代入y=
k
x
，得k=6， 则双曲线解析式为y=6
x ．
（2）对于直线y=1
2
x+2，
令y=0，得到x=-4，即C（-4，0）．设P（x，0），可得PC=|x+4|．
∵△ACP面积为5，
∴1
2
|x+4|•3=5，即|x+4|=2，
解得：x=-2
3
或x=-
22
3
，
则P坐标为
2
3
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
，或
22
3
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，动点Q在边AB上，连接CQ，将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN，延长QN交直线CD于点M．
（1）求证：MC＝MQ
（2）当BQ＝1时，求DM的长；
（3）过点D作DE⊥CQ，垂足为点E，直线QN与直线DE交于点F，且DF1
DE3
=，求BQ的长．
【答案】（1）见解析；（2）2.1；（3）733
-或2
【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=90°，AB=CD=6，CD∥AB，得出∠MCQ=∠CQB，由折叠的性质得出
△CBQ≌△CNQ，求出BC=NC=4，NQ=BQ=1，∠CNQ=∠B=90°，∠CQN=∠CQB，得出∠CNM=90°，
∠MCQ=∠CQN，证出MC=MQ．
（2）设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=1+x，在Rt△CNM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
（3）分两种情况：①当点M在CD延长线上时，由（1）得：∠MCQ=∠CQM，证出∠FDM=∠F，得出MD=MF，
过M作MH⊥DF于H，则DF=2DH，证明△MHD∽△CED，得出
1
6
MD DH
CD DE
==，求出MD=
1
6
CD=1，MC=MQ=7，
由勾股定理得出MN即可解决问题．
②当点M在CD边上时，同①得出BQ=2即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB
即∠MCQ=∠CQB，
∵△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN，
∴∠CQN=∠CQB，
即∠MCQ=∠MQC，
∴MC=MQ．
（2）∵四边形ABCD是矩形，△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN，∴∠CNM=∠B=90°，
设DM=x，则MQ=MC=6+x，MN=1+x，
在Rt△CNM中，MB2=BN2+MN2，
即（x+6）2=42+（x+1）2，
解得：x=5
2
，
∴DM=5
2
，
∴DM的长2.1．
（3）解：分两种情况：
①当点M在CD延长线上时，如图所示：
由（1）得∠MCQ=∠MQC，
∵DE⊥CQ，
∴∠CDE=∠F，
又∵∠CDE=∠FDM，
∴∠FDM=∠F，
∴MD=MF．
过M点作MH⊥DF于H，则DF=2DH，
又
1
3 DF
DE
＝，
∴
1
6 DH
DE
＝，
∵DE⊥CQ MH⊥DF，∴∠MHD=∠DEC=90°，∴△MHD∽△DEC
∴
1
6 MD DH
DC DE
＝＝，
∴DM=1，MC=MQ=7，
∴MN＝2222
=74=33
MC NC
--
∴BQ＝NQ＝733
-
②当点M在CD边上时，如图所示，类似可求得BQ=2．
综上所述，BQ的长为733
-或2．
【点睛】
此题考查四边形综合题，翻折变换的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握各性质定义和需要进行分类讨论．
26．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AE＝5，AC＝4，求BE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）5
3
．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE ＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，等量代换得到∠OED＝∠F，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】证明：（1）连接OD，
∵BC 切⊙O 于点D ，
∴OD ⊥BC ，
∴∠ODC ＝90°，
又∵∠ACB ＝90°，
∴OD ∥AC ，
∴∠ODE ＝∠F ，
∵OE ＝OD ，
∴∠OED ＝∠ODE ，
∴∠OED ＝∠F ，
∴AE ＝AF ；
（2）∵OD ∥AC
∴△BOD ∽△BAC ， ∴BO OD AB AC
=， ∵AE ＝5，AC ＝4， 即
2.5 2.554
BE BE +=+， ∴BE ＝53． 【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 27．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度．（精确到1m ．参考数据：sin340.56︒≈，cos340.83︒=，tan340.67︒≈3 1.73≈）
【答案】51
【解析】由三角函数求出82.1tan34CE AC m ︒=
≈，得出61.1BC AC AB m =-=，在Rt BCD ∆中，由三角函数得出3105.7CD BC m =
≈，即可得出答案． 【详解】解：90ACE ︒∠=，34CAE ︒∠=，55CE m =，
tan CE CAE AC
∴∠=
， 5582.1tan340.67CE AC m ︒∴==≈， 21AB m =，
61.1BC AC AB m ∴=-=，
在Rt BCD ∆中，tan 603CD BC
︒==， 3 1.7361.1105.7CD BC m ∴=≈⨯≈，
105.75551DE CD EC m ∴=-=-≈，
答：炎帝塑像DE 的高度约为51m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【答案】C
【解析】试题分析：由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得：BC BD
，然后由圆周角定理可得∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．
故选C．
考点：圆周角定理；垂径定理．
2．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（）
A．141°B．144°C．147°D．150°
【答案】B
【解析】先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG的度数．
【详解】(6﹣2)×180°÷6＝120°，
(5﹣2)×180°÷5＝108°，
∠APG＝(6﹣2)×180°﹣120°×3﹣108°×2
＝720°﹣360°﹣216°
＝144°，
故选B．
【点睛】
本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：(n﹣2)•180 (n≥3)且n为整数)．
3．已知x=-1是方程2x2+ax-5=0的一个根，则a的值为（）
A．-3B．-4C．3D．7
【答案】A
【解析】把x=-1代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把x=-1代入方程得：2-a-5=0，
解得：a=-1．
故选A．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF⊥BD垂足为F．则下列结论错误的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．
【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，
∴AB∥CD∥EF
∴△ABE∽△DCE，
∴，故选项B正确，
∵EF∥AB，
∴，
∴，故选项C，D正确，
故选：A．
【点睛】
考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，
得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（ ）
①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP=45
；④S 四边形ECFG =2S △BGE ．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B 【解析】解：∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CF=BE ，在△ABE 和△BCF 中，∵AB=BC ，∠ABE=∠BCF ，BE=CF ，∴Rt △ABE ≌Rt △BCF （SAS ），∴∠BAE=∠CBF ，AE=BF ，故①正确；
又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE ⊥BF ，故②正确；
根据题意得，FP=FC ，∠PFB=∠BFC ，∠FPB=90°．
∵CD ∥AB ，∴∠CFB=∠ABF ，∴∠ABF=∠PFB ，∴QF=QB ，令PF=k （k ＞0），则PB=2k
在Rt △BPQ 中，设QB=x ，∴x 2=（x ﹣k ）2+4k 2，∴x=52k ，∴sin=∠BQP=BP QB =45
，故③正确； ∵∠BGE=∠BCF ，∠GBE=∠CBF ，∴△BGE ∽△BCF ，∵BE=
12BC ，5BC ，∴BE ：BF=15，∴△BGE 的面积：△BCF 的面积=1：5，∴S 四边形ECFG =4S △BGE ，故④错误．
故选B ．
点睛：本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．
6．将抛物线22y x =向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A ．2y 2(x 1)3=++
B ．22(1)3y x =--
C ．22(1)
3y x =+-
D ．2y 2(x 1)3=-+ 【答案】D
【分析】由题意可知原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【详解】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），
∴平移后抛物线的顶点为（1，3），
∴得到的抛物线解析式为y=2（x-1）2+3，。