2-2函数的和、差、积、商的求导法则-PPT课件

一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果u 函 (x),数 v(x)在点 x处可 ,则 导它 们的和、差 (分、 母积 不 )在 、 为 点 x商 处 零也 可,导 并且 (1)[u(x)v(x)]u(x)v(x); (2)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x); (3)[u v((xx))]u(x)v(xv)2(xu)(x)v(x) (v(x)0).
二、计算下列各函数的导数：
1、
y

1
1 x
x2
； 2、
y

10 10
x x

1； 1
3 、 y 2 csc x ； 1 x2
4、 f ( x ) 1 t ,求 f (4) ； 1 t
5 、 y a x b a x b ( a 0 , b 0 ) . b x a
例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs

(cosx) cos2 x

sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
例5 求ysinxh的导. 数
解 y(sixn )h [1(exex)]1(ex ex)cox y 0 23x20
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 2, 4 6 3 9 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
练习题
一、填空题： 1 、 设 y x sin x ， 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2 、 设 y 3 a x e x 2 ， 则 dy = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . x dx 3 、 设 y e x ( x 2 3 x 1 ) , 则 dy = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . dx x 0 4 、 设 y 2 tan x sec x 1 , 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 5、 设 y f (x) 3 x 2 ,则 f ( 0 ) =________. 5 x 5 6 、 曲 线 y sin x 在 x 0 处 的 切 线 与 x 轴 正 向 的 2 夹 角 为 _________.
h 0
h
lim 1ln1( h )
h0h
1x
1, 1 x
当x0时, f (0 )h l i0m (0h ) h ln 1( 0 ) 1, f (0 ) h l 0 ilm n 1 (0 [ h h ) ]ln 1 0 ( ) 1,
f(0)1.
例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
同理可得 (cx o) tcs2x c.
i1
i1
( 2 )[ C (x ) ] f C f(x );
(3)
n
[
fi (x)]
f1(x) f2(x)fn(x)
i1
f1(x) f2(x)fn(x)
nn
fi(x) fk(x);
i1k1 ki
二、例题分析
例1 求 yx32x2sixn 的导 . 数 解 y 3x2 4x co x . s
2
2
同理可得 (cox)s h sin xh(tanx)h 1
cos2hx
例6 设 f(x ) ln 1 x ,( x ),x x 0 0,求 f(x ).
解 当x0时, f(x)1,
当x0时,
f(x ) lilm n 1 x ( h ) ln 1 x ()
h 0
v (x h ) v (x ) h
u (xh )u (x)
v(xh )v(x)
v(x)u (x)
lim h
h
h 0
v(xh )v(x)
u(x)v([xv)( x)u2 (]x)v(x) f(x)在x处可. 导
推论
n
n
(1) [fi(x)]fi(x);
三 、 求 抛 物 线 y ax 2 bx c 上 具 有 水 平 切 线 的 点 .
四、写出曲线 y x 1 与 x 轴交点处的切线方程. x
练习题答案
一 、 1、
sin x x(
2x
cos
证(1)、(2)略.
证(3) 设f(x)u(x),(v(x)0),
v(x)
f(x)lim f(xh )f(x)
h 0
h
u(xh)u(x)
limv(xh) v(x)
h0
h
liu m (xh )v(x)u (x)v(xh ) h 0 v(xh )v(x)h
li[ u m (x h ) u (x )v ( ] x ) u (x )v ( [ x h ) v (x )]
例2 求 ysi2n xln x的导 . 数 解 y 2 sx ic n x o lx n s
y 2 cx o cx s o lx n s 2 sx i( n sx i ) l n x n 2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
f(x)111,x,
x0 x0.
三、小结
注意: [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ); [u(x)] u(x). v(x) v(x)
分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.
思考题
求曲线 y2xx3上与 x轴平行