浙教版精选九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系练习题

第2章直线与圆的位置关系
1．2016·湖州如图2－BZ－1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( )
A．25°B．40°C．50°D．65°
图2－BZ－1
2－BZ－2
2．2016·湘西如图2－BZ－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( )
A．相交B．相切
C．相离D．不能确定
3．2017·泰安如图2－BZ－3，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于( )
A．20°B．35°C．40°D．55°
2－BZ－3
图2－BZ －4
4．2017·安顺如图2－BZ －4，⊙O 的直径AB ＝4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC ＝5，则AD 的长为( )
A .65
B .85
C .
75 D .2 35
图2－BZ －5
5．2017·日照如图2－BZ －5，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连结PO 并延长交⊙O 于点C ，连结AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长是( )
A ．5 3
B ．5 2
C ．5
D .5
2
6．2017·宁波如图2－BZ －6，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2 2，以BC 的中点O 为圆心的⊙O 分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则DE ︵
的长为( )
A .π4
B .π2
C ．π
D ．2π
图2－BZ －6
图2－BZ －7
7．2017·杭州如图2－BZ －7，AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________°. 8．2017·镇江如图2－BZ －8，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，CO 交⊙O 于点D .若∠CAD＝30°，则∠BOD ＝________°.
2－BZ －8
图2－BZ －9
9．2017·衢州如图2－BZ －9，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，P 为直线y ＝－3
4
x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是________．
10．2017·德阳如图2－BZ －10，已知⊙C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC ＝5，P 为⊙C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A ，B 且OA ＝OB, ∠APB ＝90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．
图2－BZ －10
11．2016·衢州如图2－BZ －11，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为P ，直线BF 与AD 的延长线交于点F ，且∠AFB＝∠ABC.
(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线；
(2)若CD ＝2 3，OP ＝1，求线段BF 的长．
图2－BZ －11
12．2017·丽水如图2－BZ－12，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E.
(1)求证：∠A＝∠ADE；
(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
图2－BZ－12
13．2017·湖州如图2－BZ－13，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E.已知BC＝3，AC＝3.
(1)求AD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
图2－BZ－13
14．2017·温州如图2－BZ－14，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O(圆心O在△ABC内部)经过B，C两点，交AB于点E，经过点E作⊙O的切线交AC于点F，连结CO并延长交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D.
(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；
(2)若BC＝3，tan∠DEF＝2，求BG的长．
图2－BZ－14
15．2017·金华如图2－BZ－15，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连结OC，AC.
(1)求证：AC平分∠DAO.
(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2 2，求线段EF的长．
图2－BZ－15
详解详析
1．B [解析] 连结OC .
∵⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB ＝90°， ∴AB 是⊙O 的直径．
∵∠A ＝25°，∴∠BOC ＝2∠A ＝50°. ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ， ∴∠D ＝90°－∠BOC ＝40°.
2．A [解析] 过点C 作CD ⊥AB 于点D .
∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ， ∴AB ＝AC 2
＋BC 2
＝5 cm.
∵△ABC 的面积＝12AC ·BC ＝1
2AB ·CD ，
∴3×4＝5CD ，∴CD ＝2.4 cm ＜2.5 cm ， 即d ＜r ，
∴以2.5 cm 为半径的⊙C 与直线AB 的位置关系是相交．故选A.
3．A [解析] 连结OC ，因为CM 为⊙O 的切线，所以OC ⊥MC .因为AM ⊥MC ，所以AM ∥OC ，所以∠MAB ＝∠COB ，∠MAC ＝∠OCA .因为OB ＝OC ，所以∠OCB ＝∠OBC ＝55°，所以∠MAB ＝∠COB ＝180°－2×55°＝70°.因为OA ＝OC ，所以∠OAC ＝∠OCA ＝∠MAC ，所以∠MAC ＝1
2∠MAB ＝35°.因为∠ADC ＋∠ABC ＝180°，所以∠ADC
＝180°－∠ABC ＝180°－55°＝125°，所以∠ACD ＝180°－∠ADC －∠MAC ＝180°－125°－35°＝20°.
4．B [解析] 连结BD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵OC ∥AD ，∴∠A ＝∠BOC ， ∴cos A ＝cos ∠BOC . ∵BC 切⊙O 于点B ， ∴OB ⊥BC ，
∴cos ∠BOC ＝OB OC ＝2
5
，
∴cos A ＝cos ∠BOC ＝2
5
.
又∵cos A ＝AD AB ，AB ＝4，∴AD ＝8
5
.
5．A [解析] 过点O 作OD ⊥AC 于点D ，由已知条件和圆的性质易求OD 的长，再根据勾股定理即可求出
AD 的长，进而可求出AC 的长．
过点O 作OD ⊥AC 于点D ，
∵AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ， ∴AB ⊥AP ，∴∠BAP ＝90°. ∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°， ∴∠AOC ＝120°.
∵OA ＝OC ，∴∠OAD ＝30°.
∵AB ＝10，∴OA ＝5，∴OD ＝12OA ＝5
2，
∴AD ＝OA 2－OD 2
＝5 32，
∴AC ＝2AD ＝5 3.故选A.
6．B [解析] 连结OE ，OD ， 设⊙O 的半径为r ，
∵⊙O 分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点， ∴OE ⊥AC ，OD ⊥AB ， ∴四边形ADOE 是正方形．
∵O 是BC 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ＝AE ＝1
2AC ，
∴AC ＝2r ， 同理可知：AB ＝2r ， ∴AB ＝AC ，∴∠B ＝45°.
∵BC ＝2 2，∴由勾股定理，得AB ＝2， ∴r ＝1，
∴DE ︵＝90π×1180＝π2.
故选B.
7．50 [解析] ∵AT 是⊙O 的切线，∴∠TAB ＝90°.∵∠ABT ＝40°，∴∠ATB ＝50° .
8．120 [解析] 由AC 与⊙O 相切，得∠CAO ＝90°，而∠CAD ＝30°，故∠OAD ＝60°.由OA ＝OD ，得∠OAD ＝∠ODA ＝60°，故∠BOD ＝∠OAD ＋∠ODA ＝60°＋60°＝120°.
9．2 2 [解析] 连结PA ，PQ ，AQ .则PQ 2
＝PA 2
－AQ 2
，PQ ＝PA 2
－AQ 2
.又AQ ＝1，故当PA 有最小值时PQ 最小．过点A 作AP ′⊥MN 于点P ′，则AP ′＝3，即PA 的最小值为3，故PQ 最小＝32
－12
＝2 2.
10．4
11．解：(1)证明：∵∠AFB ＝∠ABC ，∠ABC ＝∠ADC ，∴∠AFB ＝∠ADC ， ∴CD ∥BF ，∴∠APD ＝∠ABF . ∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF . 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴直线BF 是⊙O 的切线． (2)如图，连结OD .
∵CD ⊥AB ，∴PD ＝1
2CD ＝ 3.
又∵OP ＝1，∴OD ＝2.
∵∠PAD ＝∠BAF ，∠APD ＝∠ABF ＝90°， ∴△APD ∽△ABF ，
∴
AP AB ＝PD BF ，∴34＝3BF ，∴BF ＝4 33
. 12．解：(1)证明：如图，连结OD ， ∵DE 是⊙O 的切线，∴∠ODE ＝90°， ∴∠ADE ＋∠BDO ＝90°.
∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°. ∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠BDO .
∴∠A＝∠ADE.
(2)如图，连结CD，∵∠ADE＝∠A，
∴AE＝DE.
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°.
∴EC是⊙O的切线，
∴DE＝EC，∴AE＝EC.
∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20.
在Rt△ADC中，DC＝202－162＝12.
设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2＋122，
在Rt△ABC中，BC2＝(x＋16)2－202，
∴x2＋122＝(x＋16)2－202，解得x＝9，
∴BC＝122＋92＝15.
13．解：(1)在Rt△ABC中，∵BC＝3，AC＝3，∴AB＝AC2＋BC2＝2 3.
∵BC⊥OC，
∴BC是⊙O的切线．
又∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴BD＝BC＝3，
∴AD＝AB－BD＝2 3－3＝ 3.
(2)在Rt△ABC中，
∵sin A ＝BC AB ＝32 3＝1
2，
∴∠A ＝30°.
∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，
∴OD ⊥AB ，
∴∠AOD ＝90°－∠A ＝60°.
∵OD
AD ＝tan A ＝tan30°，∴OD 3＝3
3，
∴OD ＝1，∴S 阴影＝60π×12360＝π
6.
14．解：(1)证明：如图，连结OE .
∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，
∴∠B ＝45°，
∴∠COE ＝2∠B ＝90°.
∵EF 是⊙O 的切线，
∴OE ⊥EF ，
∴∠FEO ＝90°，∴∠FEO ＋∠COE ＝180°，
∴EF ∥CD .
又∵ED ∥AC ，
∴四边形CDEF 是平行四边形．
(2)如图，过点G 作GH ⊥BC ，垂足为H .
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴∠DEF＝∠1.
又∵GH⊥BC，∴∠GHB＝∠ACB＝90°，∴AC∥GH，∴∠1＝∠2，∴∠DEF＝∠2.又∵tan∠DEF＝2，
∴在Rt△CHG中，tan∠2＝CH
GH
＝2. ∵在Rt△BHG中，∠B＝45°，
∴GH＝BH，
∴CH
BH
＝2.
又∵BC＝3，∴CH＝2，BH＝1.
在Rt△BHG中，由勾股定理，得BG＝ 2.
15．解：(1)证明：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAO.
(2)①∵OC∥AD，∴∠EOC＝∠DAO＝105°，
∴∠OCE＝180°－∠EOC－∠E＝180°－105°－30°＝45°.
②如图，过点O作OG⊥CE于点G，
∴FG＝CG.
在Rt△OGC中，OC＝2 2，∠OCE＝45°，
∴OG ＝CG ＝OC sin45°＝2 2×22＝2， ∴FG ＝CG ＝2.
在Rt △OGE 中，OG ＝2，∠E ＝30°， ∴EG ＝OG tan E ＝233
＝2 3，
∴EF ＝EG －FG ＝2 3－2.。