广东省始兴县风中学高三数学 晚修培优1 文

1、设函数)1ln(2)1()(2
x x x f +-+=
（I ）若存在x ∈]1,0[使不等式0)(0≤-m x f 能成立，求实数m 的最小值；
（II ）关于x 的方程]2,0[)(2
在a x x x f ++=上恰有两个相实根，求实数a 的取值范围.
2、已知集合}),1()2()(|)({R x x f x f x f x f M ∈+=++=，3
sin )(x
x g π=。

（1）判断)(x g 与M 的关系，并说明理由；
（2）M 中的元素是否都是周期函数，证明你的结论；
（3）M 中的元素是否都是奇函数，证明你的结论。

3、设函数()y f x =的定义域为R ，当0x < 时，()1f x >，且对任意的实数,x y ∈R ，有
()()()f x y f x f y += 成立 数列{}n a 满足1(0)a f =，且11
()(2)
n n f a f a +=
--(n ∈N)
（1）证明)(x f 在R 上为减函数； （2）求2007a 的值； （3）若不等式12
11
1
(1)(1)(1)21n
k n a a a +++
≥⋅+对一切n ∈N 均成立，求k 的最大值
4、已知二次函数2
()f x ax bx =+的图象过点(4,0)n -且*
(0)2,()f n n N '=∈ （1）求()f x 的解析式； （2）若数列{}n a 满足
111
()n n
f a a +'=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于（2）中的数列{}n a ，求证：①1
5n
k k a =<∑；②11423n
k k k a a +=≤<．
5、已知函数 28718.2,(0,3
10,1)(2
3=∈⎪⎩⎪
⎨⎧≤+>-=e R m x mx x x e x f x 是自然对数的底数）.
（I ）求函数)(x f 的极值； （II ）当
x >0时，设)(x f 的反函数为)(,0),(1
p q f q p x f
-<<-试比较对、
)()()(1
1
1
p f
q f p q f
-----及的大小.
6、已知函数2
2
()ln (0),f x x a x x x
=+
+> (1) 若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；
(2) 若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式
12121
[()()]()22
x x f x f x f ++≥成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的“凹函数”. 试判断当0a ≤时，()f x 是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明.
参考答案及评分标准
1、解：（I ）依题意得m x f ≤min )(
为增函数故时当的定义域为得令)(,0)(]1,0[},1|{)(0
,20)(,12
)1(2)(x f x f x x x x f y x x f x
x x f >'∈∴->=-=='+-
+='
1,1,1)(min 的最小值为即m m x f ≥∴=∴………………………………6分
（II ）依题意得，]2,0[)1ln(2)1(在a x x =+-+上恰有两个相异实根， 令1
1
)()
1ln(2)1()(+-=
'+-+=x x x g x x x g 得 ,0)(,11,0)(,1<'<<->'>∴x g x x g x 时当时当
故)(x g 在[0，1]上是减函数，在]2,1(上是增函数，
)2()1(),2()0(g a g g g ≤<∴>
]9
ln ,4(ln ,3ln 232ln 223
2e e a a ∈-≤<-∴即………………………………12分
2、解：（1）∵3
cos )1(3sin 2)323
sin(
3
sin
)2()(π
ππππ+=+
+=++x x
x
x g x g =)1()1(3
sin
+=+x g x π
∴M x g ∈)( ……4分
（2）因)(x g 是周期为6的周期函数，猜测)(x f 也是周期为6的周期函数 由)1()2()(+=++x f x f x f ，得)2()3()1(+=+++x f x f x f ， ∴)2()1()3()1()2()(+++=++++++x f x f x f x f x f x f ∴0)3()(=++x f x f ， ∴)()3(x f x f -=+，
∴)()3()6(x f x f x f =+-=+，得证)(x f 是周期为6的周期函数， 故M 中的元素都是周期为6的周期函数。

……8分 （3）令3
cos
)(x
x h π=，可证得)1()2()(+=++x h x h x h ……12分
∴M x h ∈)(，但)(x h 是偶函数，不是奇函数， ∴M 中的元素不都是奇函数。

……14分
3、解:(1)令1x =-,0y =，得(1)(1)(0)f f f -=-,(0)1f =,故1(0)1a f ==
当0x >时,0x -<,(0)()()1f f x f x =-=,进而得0()1f x <<
设12,x x ∈R ，且12x x <,
则210x x ->,21()1f x x -<,121121()()()()f x f x f x f x x x -=-+-
121()[1()]0f x f x x =-->
故12()()f x f x >,函数()y f x =在R 上是单调递减函数
（2）由11
()(2)
n n f a f a +=
--,得1()(2)1n n f a f a +--=
故1(2)(0)n n f a a f +--=,120n n a a +--=,12n n a a +-=(n ∈N )
因此,{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列 由此得21n a n =-, 40132007=a
(3) 由12
111
(1)(1)(1)n
a
a a +
++
≥, 知111
(1)(1)(1)a k +
++
≤
恒成立
设111
(1)(1)(1)()a F n +
++
=
,则()0F n >,
且
111
(1)(1)(1)(1)a F
n +
++
+=
又
(1)1()F n F n +=>,即(1)()F n F n +>,故(
)F n 为关于n 的单调增函
数,
()(1)F n F ≥=
所以,k ≤,即k 4、解:（1）由()2f x ax b '=+，∴2
21640
b n
n a nb =⎧⎨-=⎩ ……… 2分
解之得1,22a b n ==，即2*1
()2()2
f x x nx n N =+∈； ……… 4分
（2）由
1112n n n a a +=+，∴1112n n n a a +-= 由累加得2114
n n n a -=-
∴*
2
4()(21)
n a n N n =
∈-；
……… 8分
（3）①1111
1
(1)1(1)4
k a k k k k
k k =
<
=----+
（2k ≥） ………
10分
当2n ≥时，
1
111
111
4[(1)()(
)]552231n
k
k a n n n
=≤+-+-++-=-<-∑….12分 ②111111
1
1()()
22
2
2
k k a a k k k k +=
=
-
-+-+
，
………
14分
5．解：（I ）∵当x >0时，),0(1)(+∞-=在x
e x
f 上单调递增，且01)(>-=x
e x
f ； 当x ≤0时，23
3
1)(mx x x f +=
，此时).2(2)(2m x x mx x x f +=+='…………1分 （1）若m =0时，]0,(31)(,0)(32-∞=≥='在则x x f x x f 上单调递增，且031)(3≤=x x f .
又0)0(=f ，可知函数)(x f 在R 上单调递增，无极值.…………………………1分
（2）当m <0，令.200)2()(m x x m x x x f -<>⇒>+='或（舍去）
函数]0,(3
1)(23
-∞+=
在mx x x f 上单调递增，
同理，函数)(x f 在R 上单调递减，无极值， ………………1分
（3）若.200)2()(,0-<>⇒>+='>x x m x x x f m 或令
函数]2,(3
1)(23
m mx x x f --∞+=
在上单调递增，在（－2m ，0]上单调递减. 此时函数)(x f 在x =－2 m 处取得极大值：03
4
438)2(333>=+-=
-m m m m f ； 又)(x f 在（0，+∞）上单调递增，故在x =0处取得极小值：f (0)=0.
综上可知，当m >0时，)(x f 的极大值为
3
3
4m ，极小值为0；当m ≤0时，)(x f 无极值. …3分
（II ）当x >0时，设y =f （x ）=e x
－1).1ln(1+=⇒=+⇒y x e y x
).0)(1ln()(1
>+=∴-x x x f
（1）比较)()(1
p q f p q f ---与的大小.
记).0(1)1ln()()()(1>-+-=-=-x x e x f x f x g x
),0(1
1)(+∞+-
='在x e x g x
上是单调递增函数， 01
1)0()(0
=+-
='>'∴x e g x g 恒成立. ∴函数),0()(+∞在x g 上单调递增.
.01)10ln()0()(0=-+-=>∴e g x g
当0<p <q 时，有q －p >0，.01)1ln()(>-+--=-∴-p q e
p q g p
q ).()(),1ln(11p q f p q f p q e
p
q ->-+->-∴--即………………① …3分 （2）比较)()()(1
11p f q f p q f -----与的大小.
),1ln()1ln()1ln(.
0]11
)
(ln[,111)(.0].
11
1)
(ln[11)(ln 11ln 1
1ln
1)1)(1(ln )1ln()1ln()1ln()]1ln()1[ln()1ln(22+-+>+-∴>++->++-∴<<++-=+++-=++-+=+++--+=+++-=+++-+-=+-+-+-p q p q q p q p q p q p q p p q p q q p q p q p q pq q p p p q pq q p p q p q p q p q p q 故
).()()ln(1
1
p f
q f
p q --->-∴………………②
（注：也可用分析法或考察函数).,(),1ln()1ln()1ln()(+∞∈+++-+-=p x p x p x x h
求导可知)(x h 在（),+∞p 上单调递增，)()(p h x h >∴恒成立. 而0)(,0)(>∴=x h p h 在
),(+∞∈p x 上恒成立. 0)(),,(>∴+∞∈q h p q 恒成立.）
∴由①②可知，当0<p <q 时，有).()()()(1
1
1
p f
q f
p q f
p q f ---->->-……3分
6、解：（Ⅰ）由()2
2
ln f x x a x x
=+
+，得()'222a f x x x x =-+ ……………………2分
欲使函数为[1,)+∞上单调增函数，则()'0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，即不等式2220a
x x x
-
+≥在[1,)+∞上恒成立.也即222a x x
≥-在[1,)+∞上恒成立.………………4分
令22()2x x x ϕ=
-，上述问题等价于max ()a x ϕ≥，而22
()2x x x
ϕ=-为在[1,)+∞上的减函数，则max ()(1)0x ϕϕ==，于是0a ≥为所求. ………………………………………………6分
（Ⅱ）证明：由()2
2ln f x x a x x
=++ 得
()()()()1222121212111ln ln 222
f x f x a
x x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭
()2
212121212
12x x x x a x x x x +=
+++………………………………7分 2
12121212
4ln 222x x x x x x f a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ………………………………………8分
而()()2
2222212121212112242x x x x x x x x +⎛⎫⎡⎤+≥++= ⎪⎣⎦⎝⎭
① ………………………10分 又()(
)2
2
2
1212
121224x x x x x x x x +=++≥， ∴
121212
4
x x x x x x +≥+ ② …………11分
122x x +≤
∴12
ln ln 2
x x +≤， ∵0a ≤ ∴2
ln ln 2
121x x a x x a +≥ ③ …………………………………13分
由①、②、③得(
)2
221212121212
1422x x x x x x a a x x x x ++⎛⎫+++++ ⎪+⎝⎭即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，
从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分。