九年级数学秋季教材班第28次课 圆的初步认识

一．圆的初步认识
【知识要点】
1.圆的定义：
(1) 平面内，一条线段绕着它的一个端点旋转一周，另一端点随之形成的图形叫圆。

(2) 平面内，到定点的距离等于定长的点的集合是圆。

定点叫圆的圆心，定长叫圆的半径。

(3) 平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。

表示法：以O为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

确定圆的条件：圆心（位置）和半径（大小）；过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆。

2．轨迹的概念：
（1）某一点按照一定规律运动所形成的图形；
（2）符合某一条件的所有点的集合。

3.圆的相关概念：
（1）弦：连结圆上任意两点的线段.
（2）弦心距：圆心到弦的距离.
（3）弧：圆上任意两点间的部分.
（4）半圆：圆的一条直径把圆分成两段相等的弧,其中每一条弧叫做半圆.
（5）优弧：大于半圆的弧.
（6）劣弧：小于半圆的弧.
（7）等弧：能够重合的两条弧.
（8）弓形：一条弧及其所对的弦围成的封闭图形.
（9）同心圆：圆心相同,半径不等的两个圆叫同心圆.
（10）等圆：圆心不同,半径相等的两个圆叫等圆.
4.点与圆的位置关系
设圆的半径为r,点到圆的距离为d.则
点在圆内r
d>
⇔。

⇔；点在圆外r
⇔；点在圆上r
d=
d<
5.反证法的一般步骤：
（1）假定命题的结论不成立；
（2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；（3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；
（4）肯定原命题的结论是正确的。

例1.圆O 的半径r=10，圆心O 到直线l 的距离OD=6，在直线上有A 、B 、C 三点，AD=6，BD=8，CD=35。

问A 、B 、C 三点对于圆O 的位置关系各是怎样的？
例2．求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上。

例3．用反证法证明。

如图所示，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，求证：BE 、CD 不可能互相平分。

例4．要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图
中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）
A
D
B
E
一、填空
1．在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，以A 为圆心作圆，如果B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A 的半径r 的取值范围是 . 2．一个圆的最大弦长是10cm ,则此圆的半径是 .
3．已知⊙O 的直径为8cm ，点A 、B 、C 与圆心O 的距离分别为4cm 、3cm 、5cm ，则点A 在 ，点B 在 ，点C 在 。

4．有四个命题：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最大的弦是通过圆心的弦；④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。

其中真命题有 个。

5．直线a ⊥b 相交于O 点，AB=m ，当A 、B 分别在a 、b 上移动时，AB 中点P 的轨迹是 .
6．已知⊙O 的半径为1，点P 与点O 的距离为R ，且方程022=+-R x x 有实根，则有P 在⊙O 的 。

二、选择
1.下列说法正确的是（ ）
A.弦是直径。

B.半圆是弧。

C. 过圆心的线段是直径。

D.圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆。

2．下列说法正确的是（ ）
A.两个半圆是等弧。

B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧。

C.同圆中优弧与劣弧的差必是优弧。

D.由弦和弧组成的图形叫弓形。

3．两圆的圆心都是O,半径分别是r 、R （r<R ）,若r<OP<R ，则有点P 在( )
A.大圆外，小圆外
B. 大圆内，小圆外
C.大圆外，小圆内
D. 大圆内，小圆内
4．用反证法证明命题“若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离d 大于r ，则点P 在⊙O 的外部”，首先应假设（ ）
A ．r d <
B ．r d ≤
C ．点P 在⊙O 外
D ．点P 在⊙O 上或点P 在⊙O 内 5．下列说法正确的是（ ）
A ．“垂直”的反面是“斜交”
B ．“成正比例”的反面是“成反比例”
C ．“不等”的反面是“相等”
D ．“点A 在⊙O 内”的反面是“点A 在⊙O 外” 6．已知在ABC ∆中，AB=AC ，求证：︒<∠90B ，下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤，正确的顺序是（ ）
（1）所以︒>∠+∠+∠180A C B ，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以︒<∠90B （3）假设︒≥∠90B
（4）那么由AB=AC 得︒≥∠+∠︒≥∠=∠18090C B ，C B 所以 A ．（1）（2）（3）（4） B ．（3）（4）（2）（1） C ．（3）（4）（1）（2） D ．（4）（3）（2）（1）
7．AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，再以OC 为半径作同心圆，称作小⊙O ，点P 是AB 上异于A ，B ，C 的任意一点，则点P 的位置是（ ）
A ．在大⊙O 上
B ．在大⊙O 的外部
C ．在小⊙O 的内部
D ．在小⊙O 外且在大⊙O 内 8．⊙O 的半径r=10cm ，圆心到直线l 的距离OM=8cm ，在直线l 上有一点P ，且PM=6cm ，则点P （ ）
A ．在⊙O 内
B ．在⊙O 上
C ．在⊙O 外
D ．可能在⊙O 内也可能在⊙O 外
9．在ABC ∆中，︒=∠90B ，AB=BC=4 cm ，D 是AB 边的中点，以C 为圆心，4 cm 长为半径作圆，则A ，B ，C ，D 四点中在圆内的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 10．下列说法中，错误的是（ ）
A ．半圆是弧
B ．半径相等的圆是等圆
C ．过圆心的线段是直径
D ．弓形是弦及弦所对的弧组成的图形 【能力提升】
1．若有无数多个点A 1、A 2、A 3、…、A n …(n 为自然数)都与O 点等距，即OA 1＝OA 2＝OA 3＝…＝OA n ＝…则A 1、A 2、A 3…，A n …所成的集合就是⊙O 对吗？为什么？
2．如图，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB=AC ，求证：∠1=∠2. 3.如图，已知AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径OE 、OF 分别交AB 于C 、D ，且AC=BD 。

求证：CE=DF 。

4．已知，入图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

A
中考专项复习
——一元二次方程及应用
【回顾与思考】
【例题经典】
掌握一元二次方程的解法
例1解方程：
（1）3x2+8x-3=0；（2）9x2+6x+1=0；（3）x-2=x（x-2）；（4）x2
会判断一元二次方程根的情况
例2不解方程判别方程2x2+3x-4=0的根的情况是（）
A．有两个相等实数根； B．有两个不相等的实数根；
C．只有一个实数根； D．没有实数根
【点评】根据b2-4ac与0的大小关系来判断
一元二次方程的应用
例3某印刷厂1•月份印刷了书籍60•万册，•第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？
【基础训练】
1．方程x2-9=0的解是（）
A．x1=x2=3 B．x1=x2=9 C．x1=3，x2=-3 D．x1=9，x2=-9
2．下列方程中肯定是一元二次方程的是（）
A．-ax2+bx+c=0 B．3x2-2x+1=mx2
C．x+1
x
=1 D．（a2+1）x2-2x-3=0
3．一元二次方程x2-2x-3=0的两个根分别为（）
A．x1=1，x2=-3 B．x1=1，x2=3
C．x1=-1，x2=3 D．x1=-1，x2=-3
4．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ •）
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
5．•已知一元二次方程有一个根是2，•那么这个方程可以是_______（填上你认为正确的一个方程即可）．
6．方程（x-2）（x-3）=6的解为______．
7．已知某工厂计划经过两年的时间，•把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数约是________．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为_____万台．8．若一个等腰三角形三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为_____．
【能力提升】
9．方程（m+1）|m|+1+（m-3）x-1=0．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
10．解下列方程：
（1）x2-12x-4=0；（2）x2+2x=2；
（3）x2-4x-12=0；（4）（x+1）2-4=0
11．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．•某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
12．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000•元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
请你利用方程解决这一问题．
【应用与探究】
13．填空：
（1）方程x2+2x+1=0的根为x1=____，x2=_____，则x1+x1=______，x1·x2=_____；
（2）方程x2-3x-1=0的根为x1=____，x2=_____，则x1+x2=______，x1·x2=_____；
（3）方程3x2+4x-7=0的根为x1=_____，x2=_____，则x1+x2=______，x1·x2=_____．
由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题
已知x2-4x+C=0的一个根求方程的另一个根及C的值．。