2020年山东省济南市济钢高级中学高三数学文模拟试卷含解析

2020年山东省济南市济钢高级中学高三数学文模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
是一个符合题目要求的
1. 如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是（）
A.9
B.10
C.12
D. 18
参考答案：
A
2. 已知等差数列的前n项和为，若，，则的公差为（）
A．－1 B．1 C.2 D．3
参考答案：
B
∵，∴，则，∴，故选B.
3. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以平面为投影面，则得到主视图可以为（☆ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
4. 如图是七位评委为甲、乙两名比赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0﹣9中的一个），甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，若a1=a2，则m=（）A．6 B．5 C．4 D．3
参考答案：
A
【考点】茎叶图．
【分析】根据样本平均数的计算公式，代入数据得甲和乙的平均分，列出方程解出即可．
【解答】解：由题意得：
79+84×5+90+m=77+85×5+93，
解得：m=6，
故选：A．
5. 已知点P是椭圆上的动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且，则的取值范围是( )
．[0,3) B．(0,2) C．[2，3) D．(0,4]
参考答案：
B
6. 某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为
（）
A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20
参考答案：
D
7. 如图所示的程序框图输出的结果为30，则判断框内的条件是（）
A．？B．C．D．参考答案：
B
当S=0，n=1时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=2，n=2；
当S=2，n=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=6，n=3；
当S=6，n=3时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=14，n=4；
当S=14，n=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=30，n=5；
当S=30，n=5时，满足退出循环的条件，
故判断框内的条件是n＜5？，
故选：B．
8. 已知函数，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）
A．B．（0，1] C．[0，1] D．
参考答案：
D
【考点】分段函数的应用．
【分析】画出函数f（x）中两个函数解析式对称的图象，然后求出能使函数值为2的关键点，进而可得实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数，∴函数f（x）的图象如下图所示：∴函数f（x）在[﹣1，k）上为减函数，在[k，a]先减后增函数，
当﹣1＜k≤，x=时，，
由于当x=1时，﹣x3﹣3x+2=0，
当x=a（a≥1）时，﹣a3﹣3a+2≤2，可得1≤a
故若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，
则a∈[1，]，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值域，数形结合思想，难度中档．9. 列判断错误的是（）
A. “”是””的充分不必要条件
B.命题“”的否定是“ ”
C.若均为假命题，则为假命题
D.若，则
参考答案：
D
略
10. 已知函数为R上的单调递增函数，则实数的取值范围
是__________. A.
B.
C.
D.
参考答案：
A 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若，内角A ，B 的对边分别为a ，b ，则三角形ABC 的形状
为 ．
参考答案：
等腰三角形或直角三角形 【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】用诱导公式化简已知，利用正弦定理将acosA=bcosB 中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可．
【解答】解：∵在△ABC 中，acos （π﹣A ）+bsin （+B ）=0，
∴acosA=bcosB，
∴由正弦定理得：a=2RsinA ，b=2RsinB ， ∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B ， ∴sin2A=sin2B，
∴2A=2B 或2A=π﹣2B ，
∴A=B 或A+B=
，
∴△ABC 为等腰或直角三角形， 故答案为：等腰三角形或直角三角形
【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题． 12. （5分）若曲线y=1nx 的一条切线与直线y=﹣x 垂直，则该切线方程为 ．
参考答案：
x ﹣y ﹣1=0
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用．
分析： 利用切线与直线y=﹣x 垂直，得到切线的斜率，也就是曲线在点M 处的导数，通过计算，得出点M 的坐标，再利用点斜式求出切线方程即可． 解答： 设点M （x 0，y 0）
∵切线与直线y=﹣x 垂直 ∴切线的斜率为1
∴曲线在点M 处的导数y′=
=1，即x 0=1．
当x 0=1时，y 0=0，利用点斜式得到切线方程：y=x ﹣1； 切线的方程为：x ﹣y ﹣1=0 故答案为：x ﹣y ﹣1=0．
点评： 本题主要考查了导数的几何意义，以及两条直线垂直，其斜率的关系，同时考查了运算求解的能力，属于基本知识的考查． 13. （2009辽宁卷理）等差数列
的前项和为
，且
则
参考答案：
解析：∵S n ＝na 1＋n(n －1)d
∴S 5＝5a 1＋10d,S 3＝3a 1＋3d
∴6S 5－5S 3＝30a 1＋60d －(15a 1＋15d)＝15a 1＋45d ＝15(a 1＋3d)＝15a 4
14. 在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b ，若2asinB=
b ，则角A 等于 ．
参考答案：
60°
【考点】正弦定理．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinB 不为0求出sinA 的值，再由A 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数．
【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：2sinAsinB=
sinB ，
∵sinB≠0，
∴sinA=，
∵A为锐角，
∴A=60°．
故答案为：60°．
15. 已知数列{a n}满足a1=1，a n=log n（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1?a2…a k为正整数的k （k∈N*）叫做“易整数”．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为．
参考答案：
2036
【考点】数列的函数特性．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意，及对数的换底公式知，a1?a2?a3…a k=log2（k+1），结合等比数列的前n项和进行求解即可．
【解答】解：∵a n=log n（n+1），
∴由a1?a2…a k为整数得1?log23?log34…log k（k+1）=log2（k+1）为整数，
设log2（k+1）=m，则k+1=2m，
∴k=2m﹣1；
∵211=2048＞2015，
∴区间[1，2015]内所有“易整数”为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，24﹣1，…，210﹣1，
其和M=21﹣1+22﹣1+23﹣1+24﹣1+…+210﹣1=﹣10=211﹣2﹣10=2036．
故答案为：2036．
【点评】本题以新定义“易整数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用．16. 如果函数在区间上有且仅有一条平行于轴的对称轴，则的
取值范围是
．
参考答案：略17. 春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．
参考答案：
28
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=ax2﹣（a2+b）x+alnx（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=﹣1，b=0时，证明：f（x）+e x＞﹣﹣x+1（其中e为自然对数的底数）．
参考答案：
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）法一：问题转化为证明e x﹣lnx﹣1＞0，设g（x）=e x﹣lnx﹣1（x＞0），问题转化为证明?x＞0，g（x）＞0，根据函数的单调性证明即可；
法二：问题转化为证明x﹣1≥lnx（x＞0），令h（x）=x﹣1﹣lnx（x＞0），根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）当b=1时，
…（1分）
讨论：1°当a≤0时，
此时函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间…（2分）
2°当a＞0时，令或a
①当，?′a=1ê±￡?此时
此时函数f（x）单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间…（3分）
②当，即a＞1时，此时在和（a，+∞）上函数f'（x）＞0，
在上函数f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递增区间为和（a，+∞）；
单调递减区间为…（4分）
③当，即0＜a＜1时，此时函数f（x）单调递增区间为（0，a）和；
单调递减区间为…（6分）
（Ⅱ）证明：（法一）当a=1时 f（x）+e x＞x2+x+1
只需证明：e x﹣lnx﹣1＞0设g（x）=e x﹣lnx﹣1（x＞0）
问题转化为证明?x＞0，g（x）＞0
令，，
∴为（0，+∞）上的增函数，且…（8分）
∴存在惟一的，使得g'（x o）=0，，
∴g（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增…（10分）
∴，
∴g（x）min＞0∴不等式得证…（12分）
（法二）先证：x﹣1≥lnx（x＞0）
令h（x）=x﹣1﹣lnx（x＞0）∴，
∴h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）min=h（1）=0，∴h（x）≥h（1）?x﹣1≥lnx…（8分）
∴1+lnx≤1+x﹣1=x?ln（1+x）≤x，
∴e ln（1+x）≤e x…（10分），
∴e x≥x+1＞x≥1+lnx，
∴e x＞1+lnx
故e x﹣lnx﹣1＞0，证毕…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．
19. 在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2，
BA=BS=4．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．
参考答案：
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）用余弦定理求出BD=2，从而利用勾股定理得BD⊥AD，BD⊥SD，由此能证明BD⊥平面SAD．
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SB﹣C的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵∠SAD=30°，AD=SD=2，∴∠SDA=120°，
SA==6，
∵底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，BA=BS=4．
∴cos60°=，解得BD=2，
∴AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，
∵SD2+BD2=SB2，∴BD⊥SD，
∵AD∩SD=D，∴BD⊥平面SAD．
解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，
过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，2，0），S（﹣，0，3），
=（3，0，﹣3），=（），=（﹣，2，﹣3），
设平面ABS的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，），
设平面BCS的法向量=（a，b，c），
则，取b=3，得=（0，3，2），
设二面角A﹣SB﹣C的平面角为θ，
则cosθ===．
∴二面角A﹣SB﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查应用意识，属于中档题．
20. 已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点G(0，)的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】圆锥曲线的存在性问题；轨迹方程；直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．
（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．
【解答】解：（1）由题意得，
∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，
∴点M的轨迹C的方程为．
（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．
由求根公式化简整理得，
假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，
=
==
．
∴求得m=﹣1．
因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．
21. (12分)已知a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式－ax＋1>0对?x∈R 恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．
参考答案：
解∵函数y＝a x在R上单调递增，∴p：a>1.
不等式ax2－ax＋1>0对?x∈R恒成立，
∴a>0且a2－4a<0，解得0<a<4，∴q：0<a<4.
∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，
∴p、q中必有一真一假．
①当p真，q假时，，得a≥4.
②当p假，q真时，，得0<a≤1.
故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．
略
22. 将圆每一点的，横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C．
（Ⅰ）写出Ｃ的参数方程；
（Ⅱ）设直线：与Ｃ的交点为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，求线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程．
参考答案：
略。