甘肃省天水市2021届新高考四诊数学试题含解析

甘肃省天水市2021届新高考四诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知3log 74a =，2log b m =，5
2
c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23
C ．8
D ．17
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可； 【详解】
解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8. 故选：C 【点睛】
本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.
2．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）
A ．5i >
B ．8i >
C ．10i >
D ．12i >
【答案】C 【解析】 【分析】
根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i 的值，进而得判断框内容. 【详解】
根据循环程序框图可知，0,1S i ==
则1,3S i ==，
4,5S i ==， 9,7S i ==， 16,9S i ==， 25,11S i ==，
此时输出S ，因而9i =不符合条件框的内容，但11=i 符合条件框内容，结合选项可知C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】
本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.
3．设12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲
线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ）
A ．±1
B ．)
1±
C ．)
1±
D ．【答案】C 【解析】 【分析】
如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，2
2a PN c =
，12ab
F N c
=
，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】
如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，
121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，
在1Rt MOF ∆中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故22a PN c
=，1
2ab F N c =，
根据勾股定理：2
42
242162a ab a c c c ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，解得1b a =. 故选：C .
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数
λ=( )
A ．
33
B ．
32
C ．
63
D ．
62
【答案】D 【解析】 【分析】
将AO 、EC 用AB 、AC 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅中计算即可. 【详解】
由0OA OB OC ++=，知O 为ABC ∆的重心，
所以211
()323
AO AB AC =
⨯+=()AB AC +，又2AE EB =， 所以2
3
EC AC AE AC AB =-=-，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅2()3AC AB -
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅，所以22
23AB AC =，||362||
AB AC λ=
==.
故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
5．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的值域为（ ）
A ．1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．[]0,1
D ．1,02
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】A 【解析】 【分析】 由50,
12x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
计算出23x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的值域. 【详解】
50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，72,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2123x π⎛
⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， 因此，函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的值域为1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. 故选：A. 【点睛】
本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.
6．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2
230q q --=，运算即可得解.
【详解】
解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2
230q q --=，
又0q >，解得3q =. 故选：C. 【点睛】
本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题. 7．已知
5
2i 12i
a =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ）
A B ．3
C ．1
D ．5
【答案】C
【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【详解】 由
5
2i 12i
a =+-，得12i 2i a +=+，解得1a =. 故选:C. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题. 8．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）
A ．1i -
B ．1i +
C ．
22
- D ．
22
+ 【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数模与除法运算即可得到结果. 【详解】
解: )()())1111111222
i i i z i
i i i ---=
=
===-+++-， 故选：C 【点睛】
本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.
9．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2
2a b c =+-，则sin 4C π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（ ）
A ．1
B ．
C D 【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】
解：由()2
2a b c =+-，
得222
143sin 22ab C a b c ab ⨯=+-+，
∵ 2222cos a b c ab C +-=， ∴ 23sin 2cos 2ab C ab C ab =+， 即3sin cos 1C C -=
即2sin 16C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
则1sin 62
C π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 56
6
6
C π
π
π-
<-
<
， ∴ 6
6
C π
π
-
=
，即3
C π
=
，
则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭321262
222+⨯+⨯=
， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．
10．函数()2x
x e f x x
=的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据()0f x >排除C ，D ，利用极限思想进行排除即可． 【详解】
解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()0f x >恒成立，排除C ，D ，
当0x >时，2()x
x x e f x xe x
==，当0x →，()0f x →，排除B ，
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题． 11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且
8AB =，则抛物线的方程是( )
A ．22y x =
B ．24y x =
C ．28y x =
D ．210y x =
【答案】B 【解析】 【分析】
利用抛物线的定义可得,12||||||22
p p
AB AF BF x x =+=+++,把线段AB 中点的横坐标为3,||8AB =代入可得p 值,然后可得出抛物线的方程. 【详解】
设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F,设点()()1122,,,A x y B x y ，
由抛物线的定义可知()1212||||||22
p p
AB AF BF x x x x p =+=+
++=++， 线段AB 中点的横坐标为3，又||8AB =，86p ∴=+，可得2p =， 所以抛物线方程为2
4y x =. 故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键. 12．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）
A B ．1
C ．
2
D ．
12
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果. 【详解】
由题可知：()()()22
212221111i i i i i z i i i i --=
==++-- 由21i =-，所以1z i =+
所以22
1
12
z=+=
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若,x y满足约束条件
22
20
22
x y
y
x y
+≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪-≤
⎩
，则z x y
=+的最大值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
【详解】
作出可行域如图所示：
由
22
2
x y
y
-=
⎧
⎨
=
⎩
，解得()
2,2
A.
目标函数z x y
=+，即为y x z
=-+，平移斜率为-1的直线，经过点()
2,2
A时，224
max
z=+=. 14．如图，在矩形中，为边的中点，1
AB=，2
BC=，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧EB、EC（在线段AD上）.由两圆弧EB、EC及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为.
【答案】
【解析】
由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为
；则所求几何体
的体积为
.
考点：旋转体的组合体.
15．已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则6a 的值为____________. 【答案】
116
【解析】 【分析】
易得1113n n a a +-=，所以1{}n
a 是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可. 【详解】
由已知，0n a ≠，因1130n n n n a a a a +++-=，所以
1113n n a a +-=，所以数列1
{}n
a 是以 1
1
1a 为首项，3为公差的等差数列，故
61
1(61)316a =+-⨯=，所以6a =116
. 故答案为：116
【点睛】
本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.
16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有010
1101
2n
n
a n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】 【分析】
利用行列式定义，得到n a 与n S 的关系，赋值1n =，即可求出结果。

【详解】
由01
1101
011(2)102121
2n n n n n n
a a a S n n S n
n S -=-=++=---，令1n =，
得11(2)10a a ++=，解得11a =-。

【点睛】
本题主要考查行列式定义的应用。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道DE 将ABC ∆分成面积之比为2:1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）.设AD x =，1DE y =，2AM y =（单位：百米）
.
（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；
（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.
【答案】（1）2
1236
6y x x
=+-，[]2,3x ∈.2229342
x y x =
++，
[]2,3
x ∈. （2）当6AD =百米时，两条直道的长度之和取得最小值3262⎭
百米.
【解析】 【分析】 （1）由2
3
ADE ABC S S ∆∆=
，可解得AE .方法一：再在ADE ∆中，利用余弦定理，可得1y 关于x 的函数关系式；在ADE ∆和AEM ∆中，利用余弦定理，可得2y 关于x 的函数关系式.方法二：在ADE ∆中，可得
DE AE AD =-，则有222
2DE AE AE AD AD =-⋅+，化简整理即得；同理()
12
AM AD AE =+，化
简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得. 【详解】 解：（1）
2
3
ADE ABC S S ∆∆=
，ABC ∆是边长为3的等边三角形，又AD x =， 2121sin 3sin 23323AD AE ππ⎛⎫∴⋅⋅=⨯⨯ ⎪⎝⎭，6AE x
∴=. 由036
03AD x AE x <=≤⎧⎪⎨<=≤⎪⎩
，得23x ≤≤. 法1：在ADE ∆中，由余弦定理，得
2222236
2cos
63
DE AD AE AD AE x x
π
=+-⋅⋅=+
-.
故直道DE 长度1y 关于x
的函数关系式为1y =，[]2,3x ∈. 在ADE ∆和AEM ∆中，由余弦定理，得
2222cos AD DM AM DM AM AMD
=+-⋅⋅∠①
()
2222cos AE EM AM EM AM AMD π=+-⋅⋅-∠②
因为M 为DE 的中点，所以1
2
DM EM DE ==
. 由①+②，得2
2
2
2
2
221
222
AD AE DM EM AM DE AM +=++=
+， 所以2
222
26136622x x AM x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以2229342x AM x =++.
所以，直道AM 长度2y 关于x 的函数关系式为
2y =
[]2,3
x ∈. 法2：因为在ADE ∆中，DE AE AD =-，
所以2
2
2
2DE AE AE AD AD =-⋅+2
22266362cos 63x x x x x x π⎛⎫=-⋅+=+- ⎪⎝⎭
. 所以，直道DE 长度1y 关于x
的函数关系式为1y =[]2,3x ∈. 在ADE ∆中，因为M 为DE 的中点，所以()
1
2
AM AD AE =+. 所以()
2
222211362644AM AD AE AD AE x x ⎛⎫=
++⋅=++ ⎪⎝⎭
. 所以，直道AM 长度2y 关于x
的函数关系式为2y =[]2,3
x ∈. （2）由（1）得，两条直道的长度之和为
12DE AM y y +=+=
≥
2=（当且仅当2222
36
9
4x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即x =“=”）.
故当6AD =百米时，两条直道的长度之和取得最小值3262⎛⎫
+
⎪ ⎪⎭
百米. 【点睛】
本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题. 18．已知函数()|2|f x x a a =-+.
（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；
（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞． 【解析】
试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由
()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于 |1|3a a -+≥，解之得2a ≥.
试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为
.
（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+， 当1
2
x =
时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 考点：不等式选讲.
19．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π
sin sin()33
c B b C b =-. （1）求角C 的大小； （2）若7,3c a b =
+=，求AB 边上的高.
【答案】（1）2π3；（2）
21
7
【解析】
（1
）利用正弦定理将边化成角，可得πsin sin()3C C =-+π
sin()16
C -=，从而可求出角C ；
（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，进而可得2
()7a b ab +-=，由3a b +=，可求出ab 的值，设AB 边上的高为h ，可得ABC 的面积为11
sin 22
ab C ch =，从而可求出h . 【详解】
（1
）由题意，由正弦定理得π
sin sin sin sin(
)3
C B B C B =-. 因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >
，所以πsin sin()3C C =-
，展开得1sin cos sin 22
C C C =-+整理得π
sin()16
C -=. 因为0πC <<，所以ππ5π666C -
<-<，故ππ62C -=，即2π
3
C =
. （2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，则227a b ab ++=，得2
()7a b ab +-=，故
2()7972ab a b =+-=-=，
故ABC
的面积为
12πsin sin 23ab C ==
设AB 边上的高为h
=
，故h = 所以AB
边上的高为7
. 【点睛】
本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
20．已知直线l
的参数方程为1212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||AP PB +的值. 【答案】（1
）10x -=；2
2
(2)4x y -+=（2
【分析】
（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（2）将直线参数方程代入圆的普通方程，可得
123
t t+=，123
t t=-，而根据直线参数方程的几何意义，
知()2
121212
||||4
PA PB t t t t t t
+=-=+-，代入即可解决.
【详解】
（1）直线l的参数方程为
3
1
1
2
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数），
消去t；得310
x y
--=
曲线C的极坐标方程为4cos
ρθ
=.
由cos
xρθ
=，sin
yρθ
=，222
x yρ
+=，
可得224
x y x
+=，即曲线C的直角坐标方程为22
(2)4
x y
-+=；
（2）将直线l的参数方程
3
1
2
1
2
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数）代入C的方程22
(2)4
x y
-+=，
可得2330
t t
--=，>0
∆，
设1t，2t是点,A B对应的参数值，
12
3
t t+=，123
t t=-，则()2
121212
||||415
PA PB t t t t t t
+=-=+-=.
【点睛】
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题. 21．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，60
ADC
∠=︒，PAD
△为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点.
（1）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；
（2）求二面角D-AP-B 的余弦值；
（3）试判断直线MN 与平面PAB 的位置关系，并给出证明. 【答案】（1）
15（2）5
-（3）直线//MN 平面PAB ，证明见解析 【解析】 【分析】
取AD 中点O ，连接OC ，则OC AD ⊥，再由已知证明OP ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OC ，OD ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的一个法向量n ．
（1）求出CM →的坐标，由n →与CM →
所成角的余弦值可得直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值； （2）求出平面PAD 的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角D AP B --的余弦值； （3）求出MN →
的坐标，由0n MN →
→
⋅=，结合MN ⊄平面PAB ，可得直线//MN 平面PAB ． 【详解】
底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，
ACD ∴∆为等边三角形．
取AD 中点O ，连接OC ，则OC AD ⊥，
PAD ∆为等边三角形，
OP AD ∴⊥，
又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD
平面ABCD AD =，
OP ∴⊥平面ABCD ．
以O 为坐标原点，分别以OC ，OD ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．
则(0A ，1-，0)，(0D ，1，0)，(3C 0，0)，(3B ，2-，0)，(0P ，03)， (0M ，
12
3
，3N 1-，0)．
3)AP →
=，(3,1,0)AB →
=-，设平面PAB 的一个法向量为n (x,y,z)→
=．
由3030
n AP y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取3y =3,1)n →
=-．
（1）证明：设直线CM 与平面PAB 所成角为θ，
1
(2CM →=，
则||sin |cos ,|||||
n CM n CM n CM θ→→
→
→
→
→
⋅=<>=
=
=
⋅
即直线CM 与平面PAB （2）设平面DAP 的一个法向量为(1,0,0)m →
=，
由cos ,||||51n m n m n m →→
⋅<>=
==⋅⨯，
得二面角D AP B --的余弦值为
（3）
3,2MN →
=-，
∴
0n MN →→
⋅=，
又MN ⊄平面PAB ，
∴直线//MN 平面PAB ．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 22．已知()21f x x =+，()3g x x =-. （1）解()()f x g x ≥；
（2）若21a b -≤，证明：()()4f a g b +≥. 【答案】（1）(]1,5,3⎡⎫
-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）在不等式213x x +≥-两边平方化简转化为二次不等式，解此二次不等式即可得出结果； （2）利用绝对值三角不等式可证得()()4f a g b +≥成立. 【详解】 （1）
()21f x x =+，()3g x x =-，由()()f x g x ≥得213x x +≥-，
不等式两边平方得()()2
2
223x x +≥-，即()()3150x x -+≥，解得5x ≤-或13
x ≥
. 因此，不等式()()f x g x ≥的解集为(]
1,5,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
； （2）
21a b -≤，121a b ∴-≤-≤，
由绝对值三角不等式可得
()()()()223223f a g b a b a b +=++-≥+--2525154a b a b =-+≥-+≥-+=.
因此，()()4f a g b +≥. 【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 23．已知函数
（1）讨论的单调性； （2）当
时，
，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】 【分析】
（1）f′（x ）=（x+1）e x -ax-a=（x+1）（e x -a ）．对a 分类讨论，即可得出单调性． （2）由xe x -ax-a+1≥0，可得a （x+1）≤xe x +1，当x=-1时，0≤-+1恒成立．当x ＞-1时，a
令g （x ）
=，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【详解】 解法一：（1）
①当
时，
-1
- 0 +
↘极小值↗
所以在上单调递减，在单调递增.
②当时，的根为或.
若，即，
-1
+ 0 - 0 +
↗极大值↘极小值↗所以在，上单调递增，在上单调递减.
若，即，
在上恒成立，所以在上单调递增，无减区间.
若，即，
-1
+ 0 - 0 +
↗极大值↘极小值↗所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
自时，在上单调递增，无减区间；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，所以.
当时，恒成立.
当时，.
令，，
设，
因为在上恒成立，
即在上单调递增.
又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以.
综上，的取值范围为.
解法二：（1）同解法一；
（2）令，
所以，
当时，，则在上单调递增，
所以，满足题意.
当时，
令，
因为，即在上单调递增. 又因为，，
所以在上有唯一的解，记为，
- 0 +
↘极小值↗
，满足题意.
当时，，不满足题意.
综上，的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。