山东省诸冯学校九年级第一次学情检测数学试题及答案

诸冯学校第一次学情检测.10
（120分钟 120分）
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）
A． 2 B．C．D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（）
A． B．C．D．
3．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）
A．sinA的值越大，梯子越陡B．cosA的值越大，梯子越陡
C． tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠A的函数值无关
第1题图第2题图第3题图第4题图
4．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为
（）
A．cm B．cm C．cm D．
4cm
5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）
A．B．﹣1 C．2﹣D．
6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）
A．44° B．54° C．72° D．53°
第5题图第6题图第7题图第8题图
7．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°
B．点B到AO的距离为tan36°
C．点A到OC的距离为sin36°sin54°
D．点A到OC的距离为cos36°sin54°
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）
A．45°B．50°C．60°D．75°
第9题图第10题图第11题图第12题图
9．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）
A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°
10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，CD=3，
AB=4，则⊙O的直径等于（）
A．B．3C．
5D．7
11．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（）
A．4B．8C．
2D．4
12．如图，在⊙O上有顶点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与
PB的延长线交于点Q，已知⊙O的直径为10，tan∠ABC=4
3
，则CQ最大值为
（）
A．5 B．15
2
C．
25
4
D．
20
3
二．填空题（共6小题，每小题3分，共16分）
13．已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则
α+β=．
14．如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，连接OC，CD⊥OC交⊙O 于点D．则CD的最大值为．
第14题图第16题图第17题图
15．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B处观测观光塔底部D 处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是m．
第15题图第18题图
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为．
17．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为．
18．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，若AD=6，那么AC=．
三．解答题（共6小题）
19．（本题满分10分）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
20．（本题满分12分）为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，
AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．
（1）求BT的长（不考虑其他因素）．
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹
车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．
（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）
21．（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
22．（本题满分11分）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
23．（本题满分12分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC 的交点分别为D、E，且=．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．
24．（本题满分12分）今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A点海拔121米．C点海拔721米．
（1）求B点的海拔；
（2）求斜坡AB的坡度．
城北学校第一次月考数学试参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）
A． 2 B．C．D．
解析：如图：
，
由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B==，故选：D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（）
A． B．C．D．
解析：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB===3．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD．∴sin∠ACD=sin∠B==，
故选A．
3．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）
A．sinA的值越大，梯子越陡B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡D．
陡缓程度与∠A的函数值无关
解析：根据锐角三角函数的变化规律，知sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡．
故选：A．
4．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）
A．cm B．cm C．cm
D．4cm
解析：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），∴=，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm），在Rt△DOE中，DE==4（cm），
在Rt△ADE中，AD==4（cm）．故选A．
5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）
A．B．﹣1 C．2﹣D．
解析：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．
又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC．∴tan∠DBC===．故选A．
6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）
A．44° B．54° C．72° D．53°
解析：∵BE是直径，∴∠BAE=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠E=36°，∴∠BEA=∠DAE=36°，∴∠BAD=126°，∴∠ADC=54°，故选B．
7．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）
A．点B到AO的距离为sin54°
B．点B到AO的距离为tan36°
C．点A到OC的距离为sin36°sin54°
D．点A到OC的距离为cos36°sin54°
解析：B到AO的距离是指BO的长，∵AB∥OC，∴∠BAO=∠AOC=36°，∵在
Rt△BOA中，∠BOA=90°，AB=1，∴sin36°=，∴BO=ABsin36°=sin36°，故A、B选
项错误；
过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，∵∠BAO=36°，∠
AOB=90°，∴∠ABO=54°，∵sin36°=，∴AD=AO•sin36°，∵sin54°=，∴
AO=AB•sin54°，∵AB=1，
∴AD=AB•sin54°•sin36°=1×sin54°•sin36°=sin54°•sin36°，故C选项正确，D选项错误；故选C．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）
A．45° B．50° C．60°D．75°
解析：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；∵四边形OADC是平行四边形，
∴∠ADC=∠AOC；∵∠ADC=β，∠AOC=α；而α+β=180°，∴，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，故选C．
9．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）
A．60° B．120°C．60°或120°D．30°或150°
解析：作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，
∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．
10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，CD=3，
AB=4，则⊙O的直径等于（）
A．B．3C．5D．7 解析：作直径AE，连接BE，∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形，由勾股定理得
AD==4．∵∠ACD=∠AEB，（同弧圆周角相等）∠ABE=90°，（半圆上的圆周角是直角）∴△ADC∽△ABE，AE：AC=AB：AD，∴AE==5，则直径AE=5．故选C．
11．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（）
A．4B．8C．2D．
4
解析：∵⊙O的直径AB=12，∴OB=AB=6，∵BP：AP=1：5，∴BP=AB=×12=2，∴OP=OB﹣BP=6﹣2=4，∵CD⊥AB，∴CD=2PC．如图，连接OC，在Rt△OPC中，∵OC=6，OP=4，∴PC===2，∴CD=2PC=2×2=4．故选D．
12．12．如图，在⊙O上有顶点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂
线与PB的延长线交于点Q，已知⊙O的直径为10，tan∠ABC=4
3
，则CQ最大值为
（）
A．5 B．15
2
C．
25
4
D．
20
3
答案：B
二．填空题（共6小题）
13．已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β=75°．解析：∵|sinα﹣|+=0，∴sinα=，tanβ=1，∴α=30°，β=45°，则
α+β=30°+45°=75°．故答案为：75°．
14．如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，连接OC，CD⊥OC交⊙O 于点D．则CD的最大值为．
解析：连结OD，作OH⊥AB，如图，∴AH=BH=AB=，∵CD⊥OC，∴
CD=，
∵OD为圆的半径，∴当OC最小时，CD最大，∴C点运动到H点时，OC最小，此时CD=HB=，即CD的最大值为．故答案为．
15．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B处观测观光塔底部D 处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是m．
解析：在Rt △ABD 中，∠BDA =30°，故tan 30°=33=AD AB ，AB =45，故AD =345； 在Rt △ABD 中，∠CAD =60°，故tan 60°=3=AD
CD ，故CD =1353345=⋅.故答案为135 .
16．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则的度数为 50° ．
解析：连接CD ，∵∠A=25°，∴∠B=65°，∵CB=CD ，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠BCD=50°，∴的度数为50°．故答案为：50°．
17．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为（2，1）．
解析：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，
∵点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），∴O1的坐标是（2，1）．
故答案为：（2，1）．
18．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分
∠BAC，若AD=6，那么AC=．
解析：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=30°，∴在Rt△ABD中，AB===4，∴在
Rt△ABC中，AC=AB•cos60°=4×=2．故答案为：2．
三．解答题（共8小题）
19．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，
∴AC=AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD=30°，
在Rt△COE中，，
∴，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，
∴，
又∵BE=OE，
∴OE=2，
∴，
∴．
20．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯
照亮地面的宽度BC的长为m．
（1）求BT的长（不考虑其他因素）．
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹
车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．
（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）
解：（1）根据题意及图知：∠ACT=31°，∠ABT=22°
∵AT⊥MN
∴∠A TC=90°
在Rt△ACT中，∠ACT=31°
∴tan31°=
可设AT=3x，则CT=5x
在Rt△ABT中，∠ABT=22°
∴tan22°=
即：
解得：
∴，
∴；
（2），
，
∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°．
22．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH 的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，
∴8米高旗杆DE的影子为：12m，
∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，
∴GH=12﹣3﹣1=8（m），
∴GM=MH=4m．
如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．
设小桥所在圆的半径为r，
∵MN=2m，
∴OM=（r﹣2）m．
在Rt△OGM中，由勾股定理得：
∴OG2=OM2+42，
∴r2=（r﹣2）2+16，
解得：r=5，
答：小桥所在圆的半径为5m．
23．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．
解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：
连结AE，如图，
∵=，
∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE=CE=BC=×12=6，
在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，
∴AE==8，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AE•BC=BD•AC，
∴BD==，
在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=，
∴AD==，
∴sin∠ABD===．
24．今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A点海拔121米．C点海拔721米．
（1）求B点的海拔；
（2）求斜坡AB的坡度．
解：如图，过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足．
在C点测得B点的俯角为30°，
∴∠CBD=30°，又BC=400米，
∴CD=400×sin30°=400×=200（米）．
∴B点的海拔为721﹣200=521（米）．
（2）∵BE=DF=521﹣121=400米，
又∵AB=1040米，AE===960米，∴AB的坡度i AB===．
故斜坡AB的坡度为1：2.4．。