高三年级第一次月考数学试题

常州市第一中学2007—2008学年度高三年级第一次月考
数学试卷
一、选择题：
1、已知22{|1},{|1}M x y x N y y x ==-==-，那么M N = （ C ） A 、∅ B 、M C 、N D 、R
2、已知：:|23|1,
:(3)0p x q x x -< -<，则p 是q 的 （ A ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 3、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：
①//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n .
其中真命题的序号是： （ D ） A 、①② B 、③④ C 、①④ D 、②③ 4、设θ是第二象限角,且cos ,sin cos
2
2
t θ
θ
θ=<,则sin
2
θ的值是 （ C ）
A B C 、 D 、
5、若222sin sin 2sin 0αβα+-=，则22cos cos αβ+的取值范围是 （ B ） A 、[1,5] B 、[1,2] C 、9
[1,]4
D 、[1,2]-
6、若函数f (x)满足1
(1)()
f x f x +=
，且(1,1]时,(),x f x x ∈-=则函数y=f(x)的图象与函数3log y x =的图象的交点的个数为 （ B ） A 、 3 B 、 4 C 、 6 D 、 8
7、若四面体的六条棱中有五条长为a ，则该四面体体积的最大值为 （ A ）
A 、318a
B 3
C 、3112a
D 3
8、已知偶函数y =f (x )在[－1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，则 （ A ） A.(sin )(cos )f f αβ> B.(sin )(cos )f f αβ< C.(sin )(sin )f f αβ> D.(cos )(cos )f f αβ> 9、菱形ABCD 的边长为0,60,,,a A E F G ∠=，H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上，且3
a
BE BF DG DH ====，沿EH 与FG 把菱形的两个锐角对折起来，使A 、C 两点重合，这时A 点到平面EFGH 的距离为
A 、
2a B C D 、)
1a （ A ）
10、已知定义在R 上的奇函数()满足()2y f x y f x π
==+为偶函数，对于函数()y f x =有下列几种描述，
（1）()y f x =是周期函数 （2）x π=是它的一条对称轴 （3）(,0)π-是它图象的一个对称中心 （4）当2
x π
=时，它一定取最大值
其中描述正确的是
（ B ）
A 、（1）（2）
B 、（1）（3）
C 、（2）（4）
D 、（2）（3）
二、填空题：
11、若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为 [1,5] ； 12
、4y x =+的值域为
[14] ；
13、y =f(x)是关于x =3对称的奇函数，f （1）
=1,cos sin x x -15sin 2[]cos()4
x
f x π+= -1 ；
14、已知方程2(1)40x a x a ++++=的两根为12,x x ，且1201x x <<<，则a 的取值范围是 (4,3)-- ； 15、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若a 、b 、c 成等差数列，sin B =45
且△ABC 的面积为32
，则b = 2 .
16、若对终边不在坐标轴上的任意角x ，不等式sin cos x x +22tan cot m x x ≤≤+恒成立，则实数m 的取值范围是
； 三、解答题：
17
、已知函数2π()2sin 4f x x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
． （1）求()f x 的最大值和最小值；
（2）若不等式()2f x m -<在ππ,42
x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立，求实数m 的取值范围．
解：（1
）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦∵π12sin 23x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭．
又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，ππ2π
2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛
⎫
+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3,()2f x f x ==∴．
（2）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，
14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．
18
、已知函数21
()2sin 1[]2
f x x x x θ=+- ∈。

（1）当6
π
θ=
时，求()f x 的最大值和最小值。

（2）若()f x
在1
[]2
x ∈上是单调函数，且[0,2)θπ∈，求θ的取值范围。

解：（1）6π
θ=时，2215()1()24f x x x x =+-=+-。

由1
[]2
x ∈，当12x =-时，()f x 有最小值为54-，当12x =
时，()f x 有最大值为14
-。

（2）2()2sin 1f x x x θ=+-的图象的对称轴为sin x θ=-，由于()f x
在1
[,]2
x ∈
上是单调函数，所以sin θ-≤1sin 2θ-≥
，即sin θ或1sin 2θ≤-，所求θ的取值范围是2711[,][,
]3366ππππ
19、已知命题:p 1x 和2x 是方程2
20x mx --=的两个实根，不等式21253||a a x x --≥-对任意实数
[1,1]m ∈-恒成立；命题:q 只有一个实数x
满足不等式2
110x a ++≤，若命题p 是假命题，命题q
是真命题，求a 的取值范围。

解：（1）:
p 1x 和2x 是220x mx --=
的两根，所以121212||2
x x m
x x x x +=⎧⇒-⎨
⋅=-⎩又[1,1]m ∈-
，则有12||x x -∈。

因为不等式21253||a a x x --≥-对任意实数[1,1]m ∈-恒成立，所以212max 53||3a a x x --≥-=，所以2533(,1][6,)a a a --≥⇒∈-∞-+∞
:q
由题意有211()41100或2
a a a ∆=--⨯=⇒==
由命题“
p 或q ”是假命题，命题“p 且q ”是假命题，有p 假q 假，所以11{}2
a ∈。

20、设()f x 的定义域为(0,)+∞，且满足(4)1f =，12,(0,)x x ∀∈+∞，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，当
(0,1)x ∈时，()0f x <。

（1）求(1)f 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式(31)(26)3f x f x ++-≤。

解：（1）令121x x ==，则(1)0f =
（2）12,(0,)x x ∀∈+∞且12x x <时，1122()()()x f x f x f x -=，因为1122
001x
x x x <<∴<<，又当(0,1)x ∈时，()0f x <，所以1
122
()()(
)0x f x f x f x -=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调增。

（3）令124x x ==，则(16)(4)(4)2f f f =+=；令124,16x x ==，则(64)(4)(16)3f f f =+=
所以(31)(26)3(64)f x f x f ++-≤=，所以310260
(3,5](31)(26)64x x x x x +>⎧⎪
->⇒∈⎨⎪+-≤⎩
21、在五棱锥P-ABCDE 中，P A=AB=AE=2a ，
PB=PE=，BC=DE=a ，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°． （1）求证：P A ⊥平面ABCDE ；（2）若G 为PE 中点，求证：AG ⊥平面PDE （3）求二面角A-PD-E 的正弦值；（4）求点C 到平面PDE 的距离 解：（1）证明∵P A =AB =2a ，PB
,∴P A 2+AB 2=PB 2，∴∠P AB =90°， 即P A ⊥AB ．同理P A ⊥AE ． ∵AB ∩AE =A ，∴P A ⊥平面ABCDE ． 3分
（2）∵∠AED ＝90°，∴AE ⊥ED ．∵P A ⊥平面ABCDE ，∴P A ⊥ED ．∴ED ⊥平面P AE ，所以DE ⊥AG 。

PA AE = ，G 为PE 中点，所以AG ⊥PE ，∴AG ⊥平面PDE 6分 （3）∵∠AED ＝90°，∴AE ⊥ED ．∵P A ⊥平面ABCDE ，∴P A ⊥ED ．∴ED ⊥平面P AE ．过A 作AG ⊥PE 于G ，过DE ⊥AG ， ∴AG ⊥平面PDE ．过G 作GH ⊥PD 于H ，连AH ，由三垂线定理得AH ⊥PD ． ∴∠AHG 为二面角A-PD-E 的平面角．
8分
在直角△P AE中，AG
．在直角△P AD中，AH
a，∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝
AG
AH
＝A-PD-E
10分
（4）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°, BC=DE=a,AB=AE=2a, 取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE⊂平面PDE，CF⊄平面PDE，∴CF ∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．∵P A⊥平面ABCDE，∴P A⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面P AE．∴平面P AE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．
∴FG的长即F点到平面PDE的距离．13分
在△P AE中，P A=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE，∴FG
．∴点C到平面PDE
．（或用等体积法求）
22、设函数()log(3)(0且1)
a
f x x a a a
=->≠，当点(,)
P x y是函数()
y f x
=的图象上的点时，点(2,)
Q x a y
--是函数()
y g x
=的图象上的点。

（1）求出函数()
y g x
=的解析式；
（2）若当[2,3]
x a a
∈++时，恒有|()()|1
f x
g x
-≤，试确定a的取值范围。

解：（1）设''
(,)
Q x y，则
''
''
22
x x a x x a
y y y y
⎧⎧
=-=+
⎪⎪
⇒
⎨⎨
=-=-
⎪⎪
⎩⎩
，又l o g(3)
a
y x a
=-，则''
log(23)
a
y x a a
-=+-，
所以()log()
a
g x x a
=--。

（2）|()()||log(3)log()|1
a a
f x
g x x a x a
-=-+-≤，定义域为
30
(3,)
x a
x a
x a
->
⎧
⇒∈+∞
⎨
->
⎩
，又[2,3]
x a a
∈++，则有23101
a a a a
+>⇒<⇒<<，所以|()()||log(3)()|1
a
f x
g x x a x a
-=--≤
1log(3)()1,[2,3]
a
x a x a x a a
⇒-≤--≤ ∈++，令2222
()(3)()43(2)
u x x a x a x ax a x a a
=--=-+=--
22()
a a u x
<+ ∴
在区间[2,3]
a a
++上单调增，
1
()
a u x
a
∴≤≤
22
22
43
1
43
x ax a a
a
x ax a
a
⎧-+≥
⎪
∴⇒<
⎨
-+≤
⎪
⎩
理科学生做（选择填空题每题4分）
1.矩阵
01
10
-
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
的逆矩阵是( )
A．
01
10
⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦
B．
10
01
-⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C．
10
01
⎡⎤
⎢⎥
-
⎣⎦
D．
01
10
-
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
2.表示x轴的反射变换的矩阵是( )
A.
10
01
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
B. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡-
1
1
C.
01
10
⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦
D.
10
01
⎡⎤
⎢⎥
-
⎣⎦
3.极坐标方程cos2sin2
ρθθ
=表示的曲线为（）
A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆
4. 若曲线22421x xy y ++= 在矩阵11a b ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦的作用下变换成曲线2221x y -= ，则a b + 的值为______。

5. 点(),P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。

6.
已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧ ⎨=⎩（θ 为参数），P 是圆C 与y 轴的交点，若以圆心C 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点P 圆C 的切线的极坐标方程是 .
7. （本题6分）
过点P 作倾斜角为α的直线与曲线2221x y +=交于点,M N ，求PM PN ⋅的最小值及相应的α的值。

8.
（本题10分）当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；（3）第n 年时，兔子数量n R 用表示，狐狸数量用n F 表示；（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有0100R = 只，狐狸数量有030F = 只。

请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型（n R 、n F 的关系式）； （2）求出n R 、n F 关于n 的关系式； （3）讨论当n 越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。

参考答案：
1、A ；
2、D ；
3、C ；
4、2；5
；6、2cos()23πρθ-= 或 2cos()23πρθ+= ；
7
、解：设直线为cos (为参数)sin x t t y t αα⎧=
⎪⎨⎪=⎩
，（1分） 代入曲线并整理得
223
(1sin ))02
t t αα+++
= （2分） 则122321sin PM PN t t α
⋅==+ （4分） 所以当2sin 1α=时，即2
π
α=
，PM PN ⋅的最小值为
34
，此时2πα=。

（6分）
8、解：⑴11
11
1.10.15(1)0.10.85n n n n n n R R F n F R F ----=-⎧≥⎨=+⎩ (2)
⑵设n n n R F α⎡⎤= ⎢⎥⎣⎦
， 1.10.1M ⎡= ⎢⎣ 0.150.85-⎤ ⎥⎦ ∴12()n n n M M M ααα--== =……=0n M α
又矩阵M 的特征多项式 1.1
()0.1
f λλ-=
-
0.15
0.85
λ -=2 1.950.95(1)(0.95)λλλλ-+=--
令()0f λ= 得：121,0.95λλ== ……………………4’
特征值11λ= 对应的一个特征向量为132α⎡⎤
= ⎢⎥⎣⎦
特征值20.95λ= 对应的一个特征向量为211α⎡⎤
= ⎢⎥⎣⎦ ……………………6’
且0121003170110701103021ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==-=- ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∴01
12
270110n
n
n
n M ααλαλα==-
=312101100.95701100.95211401100.95n n n ⎡⎤-∙⎡⎤⎡⎤-∙= ⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-∙⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ∴2101100.95
1401100.95n
n n
n
R F ⎧=-∙⎪ ⎨=-∙⎪⎩....................................8 ⑶当n 越来越大时，0.95n 越来越接近于0，n R ,n F 分别趋向于常量210,140。

即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。

(10)。